La Bnbox !

Voici le deuxième thème d'anglais de la série. (traduction du français vers l'anglais) Vous trouverez au début de l'article le thème en lui-même (composé de 10 phrases grammaticales et d'un texte littéraire Oeuvres Libres (1935) de Louis Bertrand éh ouais ;)) puis sa correction.
Au passage, ce thème porte sur le "thème" suivant  : Pronoms relatifs : forme et emploi ; omission des relatifs : équivalents du relatif : relatifs composés.
Good luck folks :D

Thème

1) Ce sont les petits délits qui sont les plus terrifiants.

2) Luc Ferry a présenté un document qui, selon lui, fixera les règles de l'enseignement pour les 50 ans à venir.

3) Quatre cents spectateurs ont été blessés à Bastia le 4 mai 1992, dont beaucoup gravement.

4) Ce qui m'inquiète, c'est le coût de la mesure pour le contribuable.

5) Larry King, dont les entretiens télévisés avec les candidats américains à la présidence ont été diversement reçus, a débuté sa carrière comme disc-jockey à Miami en 1957.

6) Les agriculteurs ont toujours montré une remarquable adaptabilité, quelles que soient les circonstances.

7) Le président de l'OLP a signé une lettre dans laquelle il s'engageait à poursuivre les négociations avec Israël sur Jéricho et la bande de Gaza.

8) Le catamaran dont les coques ont été endommagées est en train d'être réparé dans les chantiers navals de Saint-Malo.

9) Les Congolais ont élu un nouveau président l'an dernier, ce qui a mis fin au règne de l'ancien dictateur qui était à la tête du pays depuis la partition.

10) Il n'y a aucun honnête homme qui ne veuille un contrôle plus strict de l'utilisation des appareils d'écoute téléphonique.

Autant que je me rappelle, j'avais dû prendre à la gare de Lyon un express qui partait de Paris vers quatorze heures pour arriver à Marseille le lendemain vers six ou sept heures du matin. [...] J'avais vingt-deux ans. Récemment nommé professeur de seconde au lycée d'Aix en Provence, j'allais rejoindre mon poste. [...] Le lendemain, à l'aube, je descendrais de wagon devant des paysages tout neufs pour mes yeux, dans un pays dont j'avais longtemps rêvé, et qui ne pouvait être que merveilleux??? J'aurais dû être enchanté et, avec mon habituel tempérament, fou de joie ! Et pourtant, j'étais triste, inquiet, mécontent de moi et des autres.

Correction du thème

1) Ce sont les petits délits qui sont les plus terrifiants.
Vocabulaire important :
Terrifying : terrifiant.
Terrified : terrifié.
Petty crimes : petits délits.
Petty officer : sous officier.

Traduction :
It is the petty crimes which are the most terrifying.


2) Luc Ferry a présenté un document qui, selon lui, fixera les règles de l'enseignement pour les 50 ans à venir.
Vocabulaire important :
The next 50 years/The 50 years to come : 50 ans à venir.
Patten : ensemble total des choses.
To set : fixer.
Rules : les règles.
To present a document : présenter un document.
To release a document : présenter, révéler, soumettre un document.
According to hom/In his view : selon lui.

Explication :
Il n'y a pas d'élément de date, donc prétérit ou présent perfect.

Traduction :
Luc Ferry (has) presented a document which, in his view, will set the rules for schools in/for the next 50 years.



3) Quatre cents spectateurs ont été blessés à Bastia le 4 mai 1992, dont beaucoup gravement.
Vocabulaire important :
Spectator : un spectateur.
To wound (he was wounded) : blesser (comme à la guerre, c'est gore et tout).
To injure : blesser mais moins que to hurt.
To hurt - hurt - hurt : faire (du) mal.
To wind - wound - wound : remonter un ressort.
Seriously, severely : sérieusement.
Many, a lot of : beaucoup.

Explication :
Majuscules aux mois et aux jours. (différent en français)
On May 4, 1992
On Monday, May 4, 1992
On Monday
In May
In 1992
In Bastia, in London...
$3,000.67 = 3 000,67$ en français.

Traduction :
Four hundred spectators were injured in Bastia on May 4, 1992, many of them seriously.



4) Ce qui m'inquiète, c'est le coût de la mesure pour le contribuable.
Vocabulaire important :
Tax-payer : contribuable.
A measure : une mesure.
What I'm worrying about : sous officier.

Traduction :
What I am worrying about, it's the cost of the measure for the tax-payer.



5) Larry King, dont les entretiens télévisés avec les candidats américains à la présidence ont été diversement reçus, a débuté sa carrière comme disc-jockey à Miami en 1957.
Vocabulaire important :
To carry : porter.
A carrier : un porteur.
A career : une carrière.
Differently : différement.
Mix reception : diversement reçu.
The presidency : présidence.
Presidential : présidentiel.
A talk show on television : un entretien TV.

Explication :
Whose, génitif, se sont ses entretiens.

Traduction :
Larry King whose talk shows on television with American candidates to the presidency have had a mix reception, started his carrier as a disc-jockey in Miami in 1957.


6) Les agriculteurs ont toujours montré une remarquable adaptabilité, quelles que soient les circonstances.
Vocabulaire important :
A farmer : un agriculteur.
To show - showed - shown/showed : montrer.
Remarkable : remarquable.
Whatever : quelque soi.
Resilience : capacité.

Traduction :
Farmers had always shown a remarkable resilience to adapt, whatever the circumstances.



7) Le président de l'OLP a signé une lettre dans laquelle il s'engageait à poursuivre les négociations avec Israël sur Jéricho et la bande de Gaza.
Vocabulaire important :
PLO : OPL -> Opération de Libération de la Palestine.
A chairman : Un prédisent de structure.
Chairman Mao : pour le président Mao, c'est une exception, on devrait dire President Mao.
To sign : signer.
To be committed to ...ing, to commit yourself to ...ing : s'engager à faire quelque chose.
The Gaza stripe : la bande de Gaza.
To pursue : poursuivre.

Traduction :
The PLO chairman (has) signed a letter in which he committed himself to pursuing the negotiation with Israel over Jericho and the Gaza stripe.



8) Le catamaran dont les coques ont été endommagées est en train d'être réparé dans les chantiers navals de Saint-Malo.
Vocabulaire important :
A shipyard : un chantier naval.
Damaged : endommagé.
Is being repaired/fixed : est en train d'être réparé.
The hull : la coque d'un bateau.
A shell : une coque (receptacle).

Explication :
In the Saint-Malo shipyard ou in Saint-Malo's shipyard.

Traduction :
The catamaran the hull of which/whose hulls have been/were damaged is being repaired in/at Saint-Malo's shipyard.



9) Les Congolais ont élu un nouveau président l'an dernier, ce qui a mis fin au règne de l'ancien dictateur qui était à la tête du pays depuis la partition.
Vocabulaire important :
Since the partition : depuis la partition.
To elect : élire.
An elector : un grand électeur.
A votor : un électeur.
To put and end : mettre fin.

Explication :
Il n'est plus dictateur (puisque c'est l'ancien) donc c'est du passé : prétérit. Et lorsqu'il l'était, c'est donc du passé de passé, donc : plus que parfait (had been).

Traduction :
The Congolese elected a new President last year, which put an end to the reign of the former dictator who had been at the head of the country/leading the country since the partition.



10) Il n'y a aucun honnête homme qui ne veuille un contrôle plus strict de l'utilisation des appareils d'écoute téléphonique.
Vocabulaire important :
A hoNest : un honnête.
A gadget, a device : un appareil.
To tap : écouter les conversations qui ne nous sont pas destinés, à l'origine : se brancher pour tirer ce qu'il y a dans le tonneau de vin.
A tap : un robinet.
To bug : = to tap.

Traduction :
There is no honest man who doesn't want/but wants stricter control over the use of phone tapping/bugging devices/gadgets.




Autant que je me rappelle, j'avais dû prendre à la gare de Lyon un express qui partait de Paris vers quatorze heures pour arriver à Marseille le lendemain vers six ou sept heures du matin. [...] J'avais vingt-deux ans. Récemment nommé professeur de seconde au lycée d'Aix en Provence, j'allais rejoindre mon poste. [...] Le lendemain, à l'aube, je descendrais de wagon devant des paysages tout neufs pour mes yeux, dans un pays dont j'avais longtemps rêvé, et qui ne pouvait être que merveilleux??? J'aurais dû être enchanté et, avec mon habituel tempérament, fou de joie ! Et pourtant, j'étais triste, inquiet, mécontent de moi et des autres.
Vocabulaire important :
As far as I can remembered : autant que je me rappelle.
To catch - caught - caught : attraper (un train) idiomatic.
An express train : Un train express.
At around/about 2 P.M : à environ 14h.
Leave at Paris : partir de Paris.
Lyons, Marseilles, London : Lyon et Marseille, Londres.
At : lieu réduit, confiné, petit (c'est relatif : We are at D'Arsonval high school in Saint-Maur).
In : lieu plus grand, mais ça peut aussi être un lieu petit.
To appoint : nommer quelqu'un autoritairement.
A professor : titre honorifique.
The dusk : le crépuscule.
The dawn : l'aube.
The sunrise, the sunset, the day break : aube ou crépuscule.
A carriage, a car : un wagon.
To get off : descendre.
To get down : sortir (et aussi sortir en boite).
A landscape : Un paysage.
For a long time/long : longtemps.
Brand new : flambant neuf.
Delighted  : enchanté.
I should have been : j'aurais, conditionnel passé.
In keeping with my usual nature : en accord avec mon habituelle nature.
Over joy : excés de joie, fou de joie.
However : Pourtant.
And yet : et pourtant.
Worried : inquiet.
Disgruntled : mécontent de moi.

Explication :
14h-> 2 P.M ou 2 o clock P.M
14h-> 14 hours pour les militaires
FR : seconde, lycée
EN : 5th form, grammar/comprehensive school
US : 5th grad, high school/senior

Traduction :
As far as I remembered, I must have caught an express train leaving in Paris at about 2P.M from Gare de Lyons and arriving arriving in Marseilles at about 6 or 7 A.M. Having been appointed recently as a fifth grad/form teacher at the high/grammar school in Aix-en-Provence, I was going to take up my job. At day break the following day, I would be getting of the carriage/car to find myself faced (to faced) with landscapes that were brand new to my eyes, in a region (that) I have long dreamed about/of and that was bound to be wonderful. I should have been delighted and in keeping with my usual nature and over joy. Ant yet I was sad, worried, disgruntled with myself and with others.




Et voilà, nous en avons terminé avec ce thème. A la prochaine pour de nouvelles aventures ;)

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Voici donc le deuxième QCM d'anglais (Questionnaire à Choix Multiples. Une seule réponse à chaque question). Vous pouvez vous entrainer avec, puis lire la correction qui le suit. Cette correction est annotée, comporte le vocabulaire important et la traduction de chaque question.
Good luck folks ;) (Bonne chance les gens :p)

QCM

1) Mr Gorbatchev is determined to get substantial financial aid, ... .

• a) make or break
• b) wear and tear
• c) doom and gloom
• d) by hook or by crook

2) She dismisses ... the idea that "greenery" might be a passing phenomenon.

• a) under hand
• b) out of hand
• c) offhand
• d) in hand

3) These are small points when set ... the expertise displayed.

• a) up
• b) down
• c) off
• d) against

4) ... he can is one of the lagging questions left behind.

• a) Either
• b) Whether
• c) Which
• d) What

5) ... people spend their time may reveal more about a society than ... they spend their money.

• a) How, how
• b) How, what
• c) What, what
• d) What, how

6) The Minister's diaries, ... perfect, provide the most accurate version we have.

• a) when far from
• b) while far from
• c) however from
• d) no matter how

7) If Japanese television is as mind-numbing as American TV, we may ... win the competitive race.

• a) already
• b) always
• c) ever
• d) yet

8) Recent economic data look like a ... of pluses and minuses.

• a) mixed bag
• b) mixture bag
• c) mixing bag
• d) mix bag

9) ... they may be, members of Mexico's business elite will be hard-pressed to summon the capital and expertise they need.

• a) Richer how
• b) As rich as
• c) No matter rich
• d) Though rich

10) In California, the key issue is resolving the struggle over the ... budget.

• a) state $56 billion
• b) state's $56 billion
• c) states' $56 billion
• d) state's $56 billions

11) Listen ! I ... ! Why don't we fo to the restaurant tonight ?

• a) have been thinking
• b) thought
• c) am thinking
• d) was thinking

12) With the deal, IBM has a good ... at ... its most dangerous competitor, Compaq.

• a) shot, displace
• b) shot, displacing
• c) shoot, displace
• d) shoot, displacing

13) The Japanese buy American cars as a way to express themselves. ... playing to Japanese consumrs is a snap.

• a) Not what
• b) No what
• c) Not that
• d) No that

14) I can tell you he ... the dog in. The kitchen is in a mess !

• a) is letting
• b) had let
• c) was letting
• d) has let

15) There shall be vegetarian dishes for ... people ... do not eat meat.

• a) such, what
• b) such, who
• c) such, as
• d) such, that

16) It is ... that money is the root of all ... .

• a) said, evil
• b) told, evil
• c) said, ill
• d) told, ill

17) She kept asking ... the manager how the system worked.

• a) to
• b) for
• c)
• d) of

18) Moving house ... spending days packing.

• a) meant
• b) turned out
• c) ended up
• d) amounted

19) ... the ... good then ?

• a) Are, news
• b) Are, new
• c) Is, new
• d) Is, news

20) The is typical of Kevin's numerous ... standards of behaviour.

• a) girlfriend's
• b) girlfriends
• c) girlfriends'
• d) girlfriend

Correction du QCM

1) Mr Gorbatchev is determined to get substantial financial aid, by hook or by crook.

• d) by hook or by crook

Explications :
Expression idiomatique.

Traduction :
M. Gorbatchev est déterminé à obtenir une aide financière substanciel/importante, de gré ou de force.



2) She dismisses out of hand the idea that "greenery" might be a passing phenomenon.

• b) out of hand

Vocabulaire important :
Out of hand : catégoriquement.
Greenery : écologie, mouvement des verts.
To dismiss : refuser, rejeter.

Traduction :
Elle refuse/rejette catégoriquement/demblé l'idée que la vague écologique soit un phénonème fugace/de passage.



3) These are small points when set against the expertise displayed.

• d) against

Vocabulaire important :
To set against : comparer à/ au niveau de (expression idiomatique.
These are small points : Négligeable, sans importance.

Traduction :
Tout ça est sans importance quand on le compare au niveau de compétences mis en jeu.



4) Whether he can is one of the lagging questions left behind.

• b) Whether

Vocabulaire important :
Either ... or ...  : soit, une chose ou l'autre, l'un ou l'autre.
Whether : si, alternative.

Traduction :
Une des questions qui reste en suspens c'est de savoir s'il peut le faire.



5) How people spend their time may reveal more about a society than how they spend their money.

• a) How, how

Explications :
Time is money le vocabulaire est le même pour l'argent et pour le temps. You spend money and time too.

Traduction :
La façon dont les gens passent leur temps en dit peut-être plus long sur une société que la façon dont ils dépensent leur argent.



6) The Minister's diaries, while far from perfect, provide the most accurate version we have.

• b) while far from

Vocabulaire important :
The minister's diaries : les carnets, les journaux du ministre.

Traduction :
Tout en étant loin d'être parfait, les carnets/journaux du ministre ffre la version la plus exacte dont nous disposions.



7) If Japanese television is as mind-numbing as American TV, we may yet win the competitive race.

• d) yet

Vocabulaire important :
Mind-numbing : abrutissante.
Competitive : concurrence.

Explications :
We may yet, il se pourrait qu'on puisse encore, already impliquerait que c'est déjà gagné.

Traduction :
Si la télévision Japonaise est aussi abrutissante que l'américaine, nous pouvons peut-être encore gagner la bataille de la concurrence.



8) Recent economic data look like a mixed bag of pluses and minuses.

• a) mixed bag

Vocabulaire important :
Mixed bag : pot-pourri (idiomatic).
Data : des données.

Explications :
Data est le pluriel de datum c'est pour ça que c'est look et non pas looks.

Traduction :
Les données économiques récentes ressemblent à un pot-pourri d'avantages et d'inconvénients.



9) As rich as they may be, members of Mexico's business elite will be hard-pressed to summon the capital and expertise they need.

• b) As rich as

Vocabulaire important :
Mexico city : Mexico (la ville).
Mexico : le Mexique (le pays).
To summon : ordonner à quelqu'un de venir, invoquer.

Traduction :
Aussi riche puissent-ils être, les membres de l'élite des hommes d'affaires mexicaine auront du mal à trouver les capitaux et les savoir-faire recquis.



10) In California, the key issue is resolving the struggle over the state's "56 billion budget.

• b) state's $56 billion

Vocabulaire important :
An (key) issue : un problème clé.

Traduction :
En Californie le grand problème est d'arriver à boucler le budget de l'état qui s'élève à 56 millions de dollars.



11) Listen ! I have been thinking ! Why don't we fo to the restaurant tonight ?

• a) have been thinking

Traduction :
Ecoutez ! J'ai réfléchi ! Pourquoi n'allons-nous pas au restaurant ce soir ?



12) With the deal, IBM has a good shot at displacing its most dangerous competitor, Compaq.

• b) shot, displacing

Vocabulaire important :
A deal : un accord.
To shoot : tirer.

Explications :
A good implique une forme nominal, donc shot et at something, ici at displacing.

Traduction :
L'accord peut permettre à IBM de tenter de détrôner son plus dangereux rival Compaq.



13) The Japanese buy American cars as a way to express themselves. Not that playing to Japanese consumrs is a snap.

• c) Not that

Vocabulaire important :
Snap : bruit de la branche qui se casse vite d'un seul coup.
It is a snap : c'est facile.

Explications :
Playing a l'air sous sa forme nominale, mais c'est un sujet. Il faut donc une forme adverbiale : not.
En anglais Boire est extrêmement dangereux : To drink Drinking is ...

Traduction :
Pour les Japonais acheter une voiture américaine est une forme d'expression, non pas que/ce qui ne veut pas dire qu'il soit si facile que ça de leur vendre quoi que ce soit.



14) I can tell you he has let the dog in. The kitchen is in a mess !

• d) has let

Explications :
Bilan de ce qu'il a fait au passé : présent perfect donc has let.

Traduction :
Je suis sûr qu'il a laissé entré le chien ! La cuisine est dans un sale état.



15) There shall be vegetarian dishes for such people as do not eat meat.

• c) such, as

Vocabulaire important :
Dishe : plat.

Explications :
such, as, expression idiomatique. , who, aurait marché.

Traduction :
Il y aura des plats végétariens pour tout ceux qui ne mangent pas de viande.



16) It is said that money is the root of all evil.

• a) said, evil

Explications :
On dit que => It is said that car il n'y a pas l'expression de l'autorité.
Traduction :
L'argent est la source de tous les maux.



17) She kept asking the manager how the system worked.

• c)

Vocabulaire important :
To keep asking : ne pas cesser de demander.

Explications :
You ask a question to someone but you ask someone a question.
I ask something to someone but I ask you for something.

Traduction :
Elle n'arrêtait pas de demander au directeur comment fonctionnait le système.



18) Moving house meant spending days packing.

• a) meant

Traduction :
Déménager signifie passer des jours à faire des cartons.



19) Is the news good then ?

• d) Is, news

Vocabulaire important :
News : (singulier) les nouvelles.
A piece of news : une nouvelle.

Traduction :
Alors, les nouvelles sont bonnes ?



20) The is typical of Kevin's numerous girlfriends' standards of behaviour.

• c) girlfriends'

Vocabulaire important :
Numerous : nombreux, multiple.
Behaviour : comportement, conduite, attitude.

Traduction :
Ce comportement est caractéristique/typique des nombreuses petites amies de Kévin.



That's all :)
QCM tiré de la Collection Ellipses.




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Fonction mémoire : c'est vraiment un joli mot. Mais en pratique, qu'est-ce que c'est ?

On va commencer par une approche assez simple pour vous faire comprendre ce en quoi ça consiste.

<h4 id="memoire_electrique">Une mémoire électrique</h4>

Partons d'un problème simple : vous avez un moteur électrique que vous voulez faire fonctionner grâce à un interrupteur marche. (On le nommera m par la suite, souvenez-vous en ;)).

Comment allez-vous faire ? Eh bien, à priori, vous allez le brancher comme cela :


Petite explication du circuit :
D'un côté (la branche du haut), on a toute la partie qui va commander les actions du moteur (via l'interrupteur par exemple). Cette partie du circuit est parcourue par un courant de faible voltage (du 12V par exemple). Cette branche du haut est appelée circuit de commande (et hop un peu de vocabulaire :D).
En bas, on a le moteur, qui nécessite une tension plus importante (ici, un courant de 220V). On appelle ce circuit le circuit de puissance.

Vous vous demandez sûrement qu'est-ce que c'est que cette boîte bizarre après l'interrupteur marche (m) ? Eh bien c'est ce qu'on appelle un relais. La seule chose à retenir pour ne pas entrer dans des considérations électromagnétiques à n'en plus finir, c'est que c'est en fait une bobine qui est reliée à un ou plusieurs interrupteurs. C'est ce composant qui permet de faire le lien entre le circuit de commande, qui demande un faible voltage, et le circuit de puissance (avec notre moteur), qui lui veut du 220V.
Le principe de fonctionnement est assez simple : quand le relais est alimenté en électricité (quand l'interrupteur m est fermé), la bobine agit sur l'interrupteur K, qui se ferme à son tour, et voilà notre moteur alimenté !

Voilà tout ce qu'il faut savoir sur le relais pour comprendre la suite du cours.
(Ah oui, encore un petit mot de vocabulaire : un relais avec tous ses interrupteurs s'appelle un contacteur.)


Voilà donc votre moteur branché et alimenté. Mais là, vous vous rendez vite compte qu'il ne sert pas à grand chose. Pourquoi ?
Eh bien parce que dans la configuration actuelle, votre moteur ne fonctionne que lorsque vous appuyez sur m. Dès que vous le lâchez, le moteur s'éteind. Nous voilà bien embêtés.
On voudrait que lorsqu'on appuie sur marche, le moteur retienne qu'on lui a demandé de fonctionner, et qu'il continue même lorsqu'on aura relâché le bouton.
On veut donc créer un circuit électrique ayant une Fonction Mémoire, qui retienne l'ordre donné au moteur.

Il va falloir trouver une solution. Et vous pouvez vous amuser à chercher comment faire. Mais puisque c'est un cours, je vais vous montrer la solution ^^. (A priori, avec un peu d'imagination, vous devriez arriver à la même solution.)

La voici :


Voyons comment fonctionne ce nouveau circuit.
Tout d'abord sachez que les pointillés qui relient le relais et l'interrupteur k signifient que ce dernier est aussi commandé par le relais. (Le logiciel que j'utilise pour les schémas proposait des relais à 2 interrupteurs, mais c'est plus simple pour la compréhension de présenter le contacteur de manière séparée comme ici.)

Ici, lorsqu'on va fermer l'interrupteur m, le relais K va être alimenté comme précédemment. La différence vient du fait que ce relais va commander la fermeture de l'interrupteur k que l'on a rajouté. Le résultat, c'est que quand on relâche le bouton m, puisque k est fermé, le courant électrique alimente toujours le relais K, et donc notre moteur est toujours alimenté.

On a donc créé une mémoire électrique, puisque le circuit est capable de "mémoriser" l'ordre donné par le bouton m.


Tout ça est bien beau, mais il se pose un nouveau problème. Comment arrêter votre moteur ? Parce que pour l'instant, quoi que vous fassiez après l'avoir activé, vous ne pourrez pas le stopper.
En cherchant comment résoudre ce problème, on en vient vite à la solution suivante : ajouter un interrupteur arrêt (a), qui lorsqu'on appuie dessus, coupe l'alimentation du relais.
Cet interrupteur sera donc un interrupteur normalement fermé (NF) (il s'ouvre quand on l'actionne, contrairement aux interrupteurs plus "classiques", qui se ferment quand on les actionne).
Reste à savoir où le placer. Et vous allez voir que l'on a 2 solutions de placement, selon le fonctionnement que vous voulez pour le moteur, selon que l'on souhaite un fonctionnement à déclenchement prioritaire, ou à enclenchement prioritaire.

Mémoire électrique à déclenchement prioritaire :

Première solution :

On place l'interrupteur arrêt selon ce schéma :



Essayez de voir un peu comment fonctionne le moteur avec ce nouvel ajout. Et pour répertorier tous les cas possibles, on va devoir faire une petite table de vérité :).
Dans cette table, on mettra les états logiques des interrupteurs marche et arrêt, mais il faudra aussi tenir compte de l'état du moteur avant notre éventuelle action. En effet, maintenant que notre circuit "mémorise" ce qu'on lui a demandé de faire, il réagira différemment à un appui sur le bouton marche s'il est déjà en marche ou s'il est à l'arrêt.

Etudions donc tous les cas grâce à cette table de vérité :

m	a		K=M
0	0	0 1	0 1
0	1	0 1	0 0
1	1	0 1	0 0
1	0	0 1	1 1

Et puisqu'elle me paraît difficile à décrypter (:P), je vais vous faire le décryptage de la 3ème ligne. Procédez de la même façon pour les autres lignes.
Premièrement, on regarde ce qui se passe à l'état précédent, c'est-à-dire dans la colonne .
2 cas se présentent : Soit l'interrupteur k était ouvert (moteur éteint), et dans ce cas, puisqu'on a appuyé sur marche et arrêt en même temps (m et a sont tous deux à l'état logique 1), et bien il ne se passe rien pour le moteur qui reste à l'état 0, i.e. éteint.
Soit le moteur était en marche, et on a appuyé sur les deux interrupteurs en même temps. Le résultat est donc une extinction du moteur.


J'espère que vous avez compris mon explication. (Et si vous avez vraiment un problème pour la lecture de cette table de vérité, je suis présent sur le forum ;)).


Eh bien vous avez sûrement remarqué que lorsque le moteur est allumé, si on appuie sur arrêt, il va obligatoirement s'éteindre. Et ce même si on appuie sur marche en même temps. L'arrêt du moteur est prioritaire ! Voilà pourquoi on parle de mémoire à arrêt prioritaire dans le cas d'un moteur, et de mémoire à déclenchement prioritaire dans un cas plus général (déclenchement par opposition à enclenchement, que nous allons voir juste après).

Mémoire électrique à enclenchement prioritaire :

L'autre solution pour mettre le bouton arrêt est celle-ci :


Ensuite, si on essaye de tracer la table de vérité du fonctionnement du circuit (exactement de la même manière que précédemment), on obtient cette table :

m	a		K=M
0	0	0 1	0 1
0	1	0 1	0 0
1	1	0 1	1 1
1	0	0 1	1 1

La lecture de la table s'effectue de la même façon que dans le cas précédent.
On remarque une certaine ressemblance entre les 2 tables (et pour cause, ce sont presque les mêmes). Mais on note quand même une différence dans le cas où on appuie sur les boutons arrêt et marche en même temps : dans ce cas, quelque soit son état précédent, le moteur s'allume.
C'est donc le bouton marche qui est prioritaire. On a affaire à une mémoire à marche prioritaire, ou bien dans un cas plus général, à une mémoire à enclenchement prioritaire.


<h4 id="memoire_electronique">Une mémoire électronique</h4>

Pour ce qui est de la mémoire électronique, je ne vais pas trop entrer dans les détails ici, mais je vais simplement essayer de relier notre histoire de moteur à ce qui remplit la fonction de mémoire en électronique, c'est-à-dire les bascules.

Reprenons notre exemple précédent, et leurs tables de vérité.

Pour la bascule à déclenchement prioritaire :

Traçons le logigramme correspondant à la table de vérité de cette mémoire :


On obtient assez rapidement un logigramme de cette forme là.


Or on vous a certainement dit que tous les circuits électroniques étaient réalisés grâce à des portes NAND ou NOR uniquement (parce qu'elles sont moins chères). Modifions donc ce logigramme pour faire apparaître des portes NAND et/ ou NOR.



-La complémentation entourée en vert a déjà été expliquée plus haut.
-On rajoute deux complémentation à la même variable (deux portes NON si vous préférez), entourées en rouge sur le schéma. On ne change donc pas son état logique. On a le droit de le faire puisque ça ne modifie pas le fonctionnement.
La première porte logique devient une porte NOR, et la seconde également (grâce aux lois de De Morgan).

On peut alors retracer le logigramme avec ces deux portes NOR :


Et ce beau logigramme que l'on obtient représente celui de ce qu'on appelle ... une bascule !
Eh oui, une bascule, c'est en fait ça : un composant électronique composé de portes logiques.
(Note : Les deux fils qui se croisent n'échangent pas leur variable logique... Imaginez que l'un passe au dessus de l'autre sans se toucher.)

Cette bascule là est de type RS, et évidemment à déclenchement prioritaire. Il y a de nombreux types de bascules, par exemple les RS, les JK, certaines asynchrones, d'autres synchrones... Enfin bref, tout un merveilleux univers à découvrir... Mon ambition étant que vous compreniez un maximum de choses pour être ensuite incollables sur les bascules.

Allez, avant de passer aux bascules proprement dites, on va voir de quoi est composée une bascule à enclenchement prioritaire.

Pour la bascule à enclenchement prioritaire :

Reprenons le même processus que précédemment. A partir de la table de vérité, on trace le logigramme, puis on essaye de faire des modifications pour faire apparaître des portes NAND ou NOR.



En premier lieu, on fait apparaître les deux complémentations rouges du schéma 1, puis celles du schéma 2. Ainsi, on obtient un logigramme ne comportant que des portes NAND (la porte NOR présente devient une porte NAND grâce aux lois de De Morgan).

Finalement, on obtient ce résultat :


Et ce logigramme représente celui d'une bascule RS à enclenchement prioritaire.

Bon j'avoue que j'ai été un peu vite sur cette partie, et que vous devez certainement être encore dans un grand flou concernant les bascules. Mais n'ayez pas peur, c'est normal. Pour ce qui est des bascules proprement dites, on en reparlera beaucoup plus sérieusement dans la partie suivante. Et là, enfin, j'espère que vous pourrez dire "Eurêka !".


<h4 id="memoire_pneumatique">Une mémoire pneumatique</h4>

En pneumatique, ce qui sert de mémoire est ce qu'on appelle les séquenceurs. En fait, ce ne sont rien d'autre que des distributeurs 5/2 bistables.
Ici, je ne m'attarde pas sur ce type de mémoire, parce que cela revient au même sur le plan du principe. Seul le fonctionnement est légèrement différent, puisqu'on n'agit plus sur des interrupteurs, mais c'est l'air qui agit sur le dispositif.
Je vais donc vous laisser admirer ci-dessous les schémas d'un séquenceur à enclenchement prioritaire, et celui d'un séquenceur à déclenchement prioritaire. Je vous laisse essayer par la suite de tracer leur table de vérité pour vérifier que le fonctionnement logique est le même qu'une bascule ou que le dispositif électrique mis en place plus haut.
(Si vous doutez de quelque chose ou que vous êtes plus spécialement intéressés par ce type de système mémoire, venez poser vos questions sur le forum.)

Séquenceur à enclenchement prioritaire :

Description du schéma :

-A et non-A représentent les sorties du séquenceur (destinées par exemple à alimenter un vérin double effet).
-AD signifie admission.
-E signifie échappement
-r et s sont les arrivées d'air qui servent de mise à 0 ou de mise à 1 de A/non-A (à rapprocher des boutons marche et arrêt de l'exemple électrique).
-Les butées noires ont pour rôle d'assurer que le grand piston ait toujours une section plus grande que le petit, pour que la force exercée sur ce piston soit plus grande que sur l'autre.
-Le petit échappement d'air sous l'orifice r est un dispositif de sécurité, qui permet, lorsque le piston arrive en butée droite, d'évacuer l'air coincé entre le piston et le corps du séquenceur.

Séquenceur à déclenchement prioritaire :

Ce schéma ressemble beaucoup au précédent, mais je vous invite à essayer d'en saisir les différences, si vous êtes à l'aise en pneumatique, et que mes schémas ne vous rebutent pas ^^.

Conclusion :

J'espère que cette petite introduction à la "fonction mémoire" vous a permis de mieux appréhender ce que ce mot voulait dire (pas grand chose en fait ^^), et quelles sont les questions qui ont pû mener à l'invention de ces "fonctions", dans toutes sortes de domaines.

La prochaine partie de ce dossier se consacre en majorité aux bascules RS. On reviendra en détail sur ces bascules, en essayant d'approfondir un peu, mais en reprenant tout à la base, pour que tout soit bien clair, et avec des notions plus intuitives. Donc si vous n'avez pas tout saisi dans ce chapitre (notamment les parties sur les logigrammes), je vous invite à lire quand même la suite, qui pourra certainement vous éclairer un peu mieux.




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Fonction mémoire ? Bascules ? Kézako ?

Ce petit cours, qui sera composé de plusieurs chapitres, est là pour vous éclairer sur toutes les questions que vous vous posez à propos des bascules, de leur fonction, de leur intérêt, de la façon dont on les réalise, et enfin, cet article fera un point sur les différents types de bascules les plus courants.

Prérequis

Pour bien suivre ce cours et être en mesure de comprendre à peu près tout, il vous faut :

• Avoir déjà vu, étudié, construit des logigrammes, et être familiarisé en particulier avec les portes NAND et NOR (non-OU et non-ET).
• Savoir lire un circuit électrique basique, et avoir quelques idées sur le fonctionnement d'un moteur (ça ne devrait pas être trop dur si vous en avez un dans votre voiture :P, même si ici on parlera de moteurs électriques).
• Être habitué à lire et à construire des tables de vérité (en général, si vous connaissez les logigrammes, vous devriez connaître les tables de vérité).

Et enfin et surtout le plus important :

• Un peu de patience et de volonté.
• Des yeux (:D).

Pour conclure, je pense que si vous avez dépassé le niveau 1ère Scientifique option SI (ou Seconde Générale option ISI), vous devriez
être tout à fait en mesure de tout comprendre parfaitement.


Si vous êtes prêts, on va se lancer :D. Ne vous inquiétez pas, j'irai doucement au début, et puis j'accélèrerai progressivement.

Ah, oui, avant tout ça, voici le plan que nous allons suivre :

Sommaire

Introduction (vous y êtes ^^)

• La fonction mémoire
  [liste_s]Une mémoire électrique[/liste_s] [liste_s]Une mémoire électronique[/liste_s][liste_s]Une mémoire pneumatique[/liste_s]
  
• Les bascules RS (à venir) [liste_s]Approche intuitive[/liste_s]
  [liste_s]Comment fabriquer une bascule ?[/liste_s]
  [liste_s]Les Bascules RS synchrones[/liste_s]
  [liste_s]Les Bascules RS asynchrones[/liste_s]
  
• A venir

Puisque vous êtes désormais au courant de ce qui vous attend, vous avez une dernière chance de faire demi-tour. Et si vous êtes courageux, suivez-moi :D.






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Encore le premier d'une série hypothétiquement longue, voici un thème d'anglais. (traduction du français vers l'anglais) Vous trouverez au début de l'article le thème en lui-même (composé de 10 phrases grammaticales et d'un texte littéraire Le silence de la mer (1961) de Vercors (1902 - 1991) éh ouais) puis sa correction.
Au passage, ce thème porte sur le "thème" suivant (c'était facile ^^) : réfléchis et réciproques, exclamatives.
Good luck folks :D

Thème

1) Quel soulagement pour les Ivoiriens lorsqu'un pont aérien a été établi !
2) Il a donné sa démission tant était forte la pression des média.
3) Le Prince Charles a profité de l'occasion pour souligner le rôle joué par le Royaume Uni dans le succès économique de Hong Kong.
4) Je ne me considère pas comme un expert de ces questions.
5) Les syndicats d'enseignants et les ministres de l'éducation se font rarement confiance.
6) Les travaux vont créer de tels ralentissements que vous feriez mieux de choisir un autre itinéraire.
7) Comme l'équilibre politique est fragile dans certains pays d'Afrique !
8) On lisait la peur sur son visage tandis qu'il regardait autour de lui.
9) Les dettes d'Eurotunnel s'élèvent à 9 milliards de livres sterling. Pas possible !
10) Quelle difficulté pour contrôler la situation politique du Libéria !

11) On est plus ou moins sensible, n'est-ce-pas aux malheurs des autres. Mon ami Renaud le fut de tout temps à l'extrême. C'est pourquoi je l'aime, s'il arrive souvent que je le comprends mal.
Je le connais depuis si longtemps qu'il m'est difficile d'imaginer une part de ma vie sans lui, sans qu'il soit plus ou moins mêlé à elle. Pourtant je me rappelle quand je l'ai vu pour la première fois. Quand il est entré, long et mince, avec cet air qu'il avait, à la fois surpris et attentif dans la classe du père Clopart. Il dit son nom, et je compris : "rémoulade". [...] En fait il s'appelait Houlade, Renaud Houlade. On le fit assoir à deux ou trois rangs derrière moi.

Correction du thème

1) Quel soulagement pour les Ivoiriens lorsqu'un pont aérien a été établi !
Vocabulaire important :
An airlift : un pont aérien.
A relief : un soulagement -> To be relieved.
What a relief : quel soulagement !
The Ivory Coast : la Côte d'Ivoire.
The Ivory Coast inhabitant/people: les Ivoiriens.
To establish : établir.

Explication :
Ivorian n'existe pas !
"Ils ont été soulagé au moment où un pont aérien a été établi" donc : prétérit.

Traduction :
What a relief for the Ivoriy Coast people when an airlift was established.


2) Il a donné sa démission tant était forte la pression des média.
Vocabulaire important :
The pressure : la pression.
To resign, to handing his resignation : démissioner, remettre sa démission.
To quit : cesser de faire quelque chose, arrêter une habitude.
SO strong : tant était fort. (sens différent de because)


Traduction :
Media pressure was so strong he (has) resigned.


3) Le Prince Charles a profité de l'occasion pour souligner le rôle joué par le Royaume Uni dans le succès économique de Hong Kong.
Vocabulaire important :
The Prince, The President : le prince, le président.
Prince Charles, President Sarkozy : le prince Charles, le président Sarkozy.
France, Italia, China... : France, Italie, Chine. MAIS :
The United States, The United Kingdom, The Soviet Union, The Ivory Coast : Les Etats-Unis, le Royaume uni, l'union soviétique, la côté d'Ivoire. Parce que ce sont des pluriels. Ou (pour The Ivory Coast) parce que c'est une exception.
THE economic success of Hong Kong = Hong Kong's economic success : le succès économique d'Hong Kong.
To take advantage of something, to avail oneself of an opportunity : Profiter de quelque chose.
The part, the role : le rôle.
Economical : bon marché !!!
Economic : économique. (au sens de monaitaire)

Traduction :
Prince Charles has availed himself of the opportunity to stress/underline/put into relief/accent/emphasize the role played by the United Kingdom in Hong Kong economic success.


4) Je ne me considère pas comme un expert de ces questions.
Vocabulaire important :
To be an expert on : être un expert en.
I consider myself : je me considère.

Traduction :
I don't consider myself as an expert on these questions.


5) Les syndicats d'enseignants et les ministres de l'éducation se font rarement confiance.
Vocabulaire important :
A union : un syndicat.
A syndicate : la mafia, un gang.
Seldom, rarely : rarement.
Hardly : à peine, pas vraiment.
To trust : avoir confiance.
To have confidence : avoir confiance (en soi).
Each other : entre eux (2 personnes).
One another : entre eux, les uns les autres (plus que 2).

Traduction :
Teacher's unions and education minister seldom trust each other.


6) Les travaux vont créer de tels ralentissements que vous feriez mieux de choisir un autre itinéraire.
Vocabulaire important :
A route : un itinéraire.
A slowing down, a delay : un ralentissement.

Explication :
So + adjectif : He is so clever
such + nom : He is such a clever boy. (ou He is so clever a boy. C'st juste mais ça ne se dit pas)

Traduction :
Road works will create/cause such delays, that you had better choose another route.


7) Comme l'équilibre politique est fragile dans certains pays d'Afrique !
Vocabulaire important :
How + adj ... !/ How stupid, how strange ! : Comme ... !
Fragile : fragile.
Political balance : équilibre politique.

Traduction :
How fragile the political balance is in some African countries.


8) On lisait la peur sur son visage tandis qu'il regardait autour de lui.
Vocabulaire important :
fear : la peur.

Traduction :
Fear could be read on his face when/as he looked around him.


9) Les dettes d'Eurotunnel s'élèvent à 9 milliards de livres sterling. Pas possible !
Vocabulaire important :
Pounds Sterlings : livres sterling.
Billion : milliad.
Debts : dettes.
To amount to, to add to : s'élever à.

Traduction :
Eurotunnel debts amount to 9 billion pounds (Sterlings). Unbelievable ! Really ! You don't say ! I can't believe that !


10) Quelle difficulté pour contrôler la situation politique du Libéria !
Vocabulaire important :
To control, to be on top of things : contrôler.

Traduction :
How difficult to control the political situation/to be on top of political things in Liberia.


11) On est plus ou moins sensible, n'est-ce-pas aux malheurs des autres. Mon ami Renaud le fut de tout temps à l'extrême. C'est pourquoi je l'aime, s'il arrive souvent que je le comprends mal.
Je le connais depuis si longtemps qu'il m'est difficile d'imaginer une part de ma vie sans lui, sans qu'il soit plus ou moins mêlé à elle. Pourtant je me rappelle quand je l'ai vu pour la première fois. Quand il est entré, long et mince, avec cet air qu'il avait, à la fois surpris et attentif dans la classe du père Clopart. Il dit son nom, et je compris : "rémoulade". [...] En fait il s'appelait Houlade, Renaud Houlade. On le fit assoir à deux ou trois rangs derrière moi.
Vocabulaire important :
Others : les autres. (forme nominal)
Misfortunes : les malheurs.
Sensitive : sensible.
Sensible : qui a du bon sens.
Always : de tout temps.
Utterly, extremely so : l'extrême, complètement.
To overreact : réagir à l'excés, trop.
This is (the reason) why : c'est pourquoi, c'est la raison pour laquelle.
Even so, ou, moins bien even if : même s'il.
Involved : mélé.
Sensible : qui a du bon sens.
Without his comming : sans qu'il soit venu. (forme noble)
Attentive, thoughtful : attentif.
To look bewildered : être surpris.
Give his name : dire/donner son nom.
Actually : au fait, en fait.
A row : un rang.
To make someone do something : obliger quelqu'un à faire quelque chose.
He was made to sit down : on le fit assoir.

Explication/Point clé :

• N'est-ce pas ? : reprise de l'auxiliaire : have -> haven't, are -> aren't, is -> isn't, -> don't.
  Si c'est affirmatif -> négatif, si c'est négatif -> affirmatif.
  Exeption : à l'impératif ! On utilise shall pour la reprise, sans négation.
  Exemples :
  I can take this bottle, can't I ?
  You are ok, aren't you ?
  MAIS : Let's go, shall we ?
• Depuis si longtemps implique du passé ! Le présent de naration n'existe pas en anglais. De plus le présent simple ne s'emploie jamais pour quelque chose s'étant déroulé dans le temps, c'est hors du temps, hors de la durée. Il faut donc utiliser du present perfect qui est du présent à valeur de passé : I have know him for 20 years/since 1952.
• Father Clopart's classroom c'est le lieu n'appartient pas au père Clopart, mais les élèves sont bien sa classe.
• When he came to car ce n'est pas un véritable lieu. (la classe représente des élèves) Si on avait utilisé classroom, il aurait fallu utiliser into.

Traduction :
People are more or less sensitive to the others' misfortunes, aren't we ? My friend Renaud always used to overreact (OU was utterly/an extremely so). This is why I love him, even so I often misunderstand him/I have trouble understanding him.
I have known for such a long time/so long, that it is hard for me to imagine part of my life without him, without his/(him) being more or less involved in it. However, I remember when I saw him for the first time. When he came, tall and slim/thin looking as he did. He gave his name and I understood "rémoulade" [...] Actually, his name was Houlade, Renaud Houlade. He was made to sit down two or three rows behind me.



Et voilà, nous en avons terminé avec ce petit thème. A la prochaine pour de nouvelles aventures ;) (je devrai créer un petit jinggle, le même que dans les dessins animés débiles pour apprendre l'anglais...)





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Le premier d'une, je l'espère, longue série, voici un QCM d'anglais (Questionnaire à Choix Multiples. Une seule réponse à chaque question). Vous pouvez vous entrainer avec, puis lire la correction qui le suit. Cette correction est annotée, comporte le vocabulaire important et la traduction de chaque question.
Chaque QCM portant sur quelques thèmes particuliers (par exemple celui-ci vous fait, notamment, jouer avec le passif et les particules apposées aux verbes) vous avez donc au final un petit récapitulatif de quelques notions importantes en anglais.
Good luck folks ;) (Bonne chance les gens :d)

QCM

1) The building is thought ... one of the city's chief historical landmarks.

• a) of as
• b) as
• c) like
• d) of

2) He is ... to have been very busy at the time.

• a) referred
• b) told
• c) pretented
• d) said

3) Your mother will see this as clearly as I do, when you ... her.

• a) 'll tell
• b) 'd tell
• c) tell
• d) told

4) He was felt ... the man for the job.

• a) that he were
• b) to be
• c) the he would be
• d) being

5) You should ... this parcel sent last week.

• a) have had
• b) have
• c) have made
• d) make

6) Herbert Smith is the ... law firm.

• a) largest tenth
• b) tenth-larger
• c) tenth-largest
• d) ten largest

7) The environmentalists worry themselves ... over pollution.

• a) deadly
• b) deathly
• c) at death
• d) to death

8) Although he eventually got two-thirds of his members ... the strike, it did not word.

• a) in backing
• b) back
• c) for backing
• d) to back

9) Officials were at pains to have the competitors ... the difficulty of organizing the event.

• a) realise
• b) realised
• c) to realise
• d) realising

10) Mr Wright heard his former employers ... for unfair dismissal.

• a) to blame
• b) blame
• c) blaming
• d) blamed

11) He declared that working in the same office with her was like ... in a closet with killer bees.

• a) to be trapped
• b) being trapped
• c) be trapped
• d) be trapping

12) The singer said he was "content to ... people judge ... the merits of the work."

• a) let, themselves
• b) let, itself
• c) let, for themselves
• d) leave, for itself

13) One way to become a member of the club is apparently to by ... .

• a) their way in
• b) one's way in
• c) its way up
• d) its way in

14) All stock markets are basically ... by and ... the benefit of big wheeler dealers.

• a) run, for
• b) ruled, at
• c) ruled, of
• d) run, of

15) If the collapse of the BBCI leads to banking reforms, then good may come out of this sorry ... .

• a) mess already
• b) already mess
• c) mess yet
• d) mess after

16) Businesses, through no fault ... own, have become the victims of mismanagement and fraud.

• a) on their
• b) on its
• c) of their
• d) of its

17) The Bank of England had no alternative but ... it ... .

• a) close, up
• b) to close, down
• c) closing, up
• d) close, down

18) The new laws enabled business persons to transfer hard currency ... they believed were safer havens in Luxembourg or elsewhere.

• a) of what
• b) for which
• c) of which
• d) to what

19) A terrible blunder has occurred, ... no exact responsibility can be allocated.

• a) to which
• b) for which
• c) to what
• d) for whose

20) The was ... confidence that the peace plan would hold.

• a) no great
• b) not a lot
• c) not great
• d) not some

Correction du QCM

1) The building is thought of as one of the city's chief historical landmarks.

• a) of as

Vocabulaire important :
chief : (adjectif) principal, main

Explications :
Avant le "trou" se situe un verbe. La question à se poser est : ce verbe "to think" est-il suivi d'une particule dans le contexte actuel ? La réponse est oui : to think of (ou about parfois) D'où la réponse.

Traduction :
On considère ce bâtiment comme l'un des sites historiques les plus importants.



2) He is said to have been very busy at the time.

• d) said

Vocabulaire important :
to tell - told - told : Dire. C'est un ordre, il y a une position d'autorité. D'ailleurs, celui qui raconte une histoire a la position de l'autorité.
Ex : I told you to shut up. I told you to work.
to say : Dire. Il n'y a pas de notions d'autorité.
to refer someone to : renvoyer quelqu'un vérifier quelquechose. (notion de cf)
to pretend : faire semblant, faire comme si, prétendre.

Explications :

Traduction :
On dit/Il se dit qu'il était très occupé à l'époque.



3) Your mother will see this as clearly as I do, when you tell her.

• c) tell

Vocabulaire important :

Explications :
En anglais, il n'y a que deux temps : le présent et le passé. On peut donner une indication de futur avec will ou shall dans la principale, mais une fois cette indication donnée, on ne la redonne pas, c'est inutile. D'où l'utilisation de "tell".

Traduction :
Ta mère comprendra cela aussi bien que moi, lorsque tu lui raconteras.

Bonus :
Au prétérit, cette phrase aurait donné : Your mother would see this ..., ... you told her.



4) He was felt to be the man for the job.

• b) to be

Vocabulaire important :
to feel - felt - felt : sentir.

Explications :
"He" est le sujet de la phrase.

Traduction :
On pensait qu'il était l'homme de la situation.



5) You should have had this parcel sent last week.

• a) have had

Vocabulaire important :
to have something done to somebody : faire faire quelquechose à quelqu'un.

Explications :
"last week" implique du passé, or on a du conditionnel (avec "should") il faut donc du conditionnel passé : "have had".

Traduction :
Tu aurais dû faire envoyer ce paquet la semaine dernière.



6) Herbert Smith is the tenth-largest law firm.

• c) tenth-largest

Vocabulaire important :
law firm : cabinet d'avocat.

Explications :
C'est un superlatif ("est" car cela porte sur plus que deux choses) avec un rang. C'est la construction inverse du français ;) (éh ouais)

Traduction :
Le cabinet d'avocat de M. H. S. est le dixième plus gros.



7) The environmentalists worry themselves to death over pollution.

• d) to death

Vocabulaire important :
Environmentalist : écologiste.
To worry yourself to death : se faire énormément du souci, s'inquièter à mot quoi ^^

Explications :
Si ça avait été un adjectif : ...
Mais c'est un verbe, donc : to ...
Cela dit, c'est une expression idiomatique, donc...

Traduction :
La pollution inquiétait énormément les écolos.



8) Although he eventually got two-thirds of his members to back the strike, it did not word.

• d) to back

Vocabulaire important :
Two-thirds : les deux tiers.
The strike : la grève.
Although : bien que, quoique.
Eventually : au bout du compte.

Explications :
"I got to go". C'est "to got to ...".

Traduction :
Bien qu'il ait au bout du compte fini par convaincre les deux tiers de ses adhérents de soutenir la grève, cela n'a pas marché.



9) Officials were at pains to have the competitors realise the difficulty of organizing the event.

• a) realise

Vocabulaire important :
To have someone do something : faire faire quelque chose à quelqu'un.
To be at pains to do something : tenir beaucoup à faire quelque chose.

Explications :

Traduction :
Les organisateurs tenaient beaucoup à faire comprendre ax concurrents la difficulté d'organiser l'évenement.



10) Mr Wright heard his former employers blamed for unfair dismissal.

• d) blamed

Vocabulaire important :
To dismiss : renvoyer.
Unfair : injuste.

Explications :
C'est une sorte de passif : "he heard his employers who were blamed ..."

Traduction :
M. W. a entendu ses anciens employeurs se faire reprocher des licenciements abusifs..



11) He declared that working in the same office with her was like being trapped in a closet with killer bees.

• b) being trapped

Vocabulaire important :

Explications :
"like" c'est comme un signe égal ici. Il faut donc reproduire la même structure que dans la principale.

Traduction :
Il a déclaré que travailler dans le même bureau qu'elle revenait à être enfermé dans un placard avec des abeilles tueuses.



12) The singer said he was "content to let people judge for themselves the merits of the work."

• c) let, for themselves

Vocabulaire important :
Let me judge for myself : laisse moi juger par moi-même.
People : gens.
Peoples : peuple.
To be content to : être content de, se contenter de.
A work : une ½uvre (pour un artiste).

Explications :

Traduction :
Le chanteur déclara/a déclaré qu'il se contentait de laisser les gens juger par eux même des mérites de l'oeuvre.


13) One way to become a member of the club is apparently to by one's way in.

• b) one's way in

Vocabulaire important :
You buy your way in : acheter son droit d'entrer.
Apparently: apparemment, vraissemblablement.

Explications :
Il faut éviter le mot "club" au concours pour les grandes écoles. Les correcteurs n'aiment pas trop l'anglicisme ;) (idem avec "foot", "basket", etc)

Traduction :
Apparemment, il faut payer un droit d'entrer pour entrer dans ce salon.



14) All stock markets are basically run by and for the benefit of big wheeler dealers.

• a) run, for

Vocabulaire important :
To run : diriger, gérer.
A wheelerdeaker: magouilleur, dealer, combinard.
A stockmarket : une bourse.

Explications :

Traduction :
Toutes les bourses de valeurs sont pour l'essentiel gérer par et aux profits de gros opérateurs combinards.



15) If the collapse of the BBCI leads to banking reforms, then good may come out of this sorry mess yet.

• c) mess yet

Vocabulaire important :
A mess : un désordre.
A sorry mess : un triste/pas glorieux désordre.
Yet : qui peut encore se produire.
Collapse : l'effondrement.
To lead - led - led : mener.

Explications :

Traduction :
Si l'effondrement de la BBCI mène à une réforme bancaire, alors cette triste histoire n'aura pas été complètement stérile.



16) Businesses, through no fault of their own, have become the victims of mismanagement and fraud.

• c) of their

Vocabulaire important :
It is no fault of our/their own : c'est n'est pas notre/leur faute.
He has his own room OU He has a room of his own : il a sa chambre personnelle.

Explications :

Traduction :
Sans y être pour rien, les entreprises snt devenus les victimes d'erreurs de gestion ainsi que de fraudes.



17) The Bank of England had no alternative but to close it down.

• b) to close, down

Vocabulaire important :
FR : une alternative : 2 choix.
EN : an alternative : une solution.

Explications :

Traduction :
La banque d'Angleterre n'avait d'autre choix que de fermer/liquider.



18) The new laws enabled business persons to transfer hard currency to what they believed were safer havens in Luxembourg or elsewhere.

• d) to what

Vocabulaire important :
Havens : les ports, les havres.
Heaven : le paradis.
Hard currency : une devise/monnaie (euro, dollar) forte.

Explications :
To what => to transfer to (verbe de mouvement, d'où le "to")

Traduction :
Les nouvelles lois/législations permettaient aux entrepreneurs/hommes d'affaire de transférer les devises fortes vers ce qu'ils croyaient être des abris plus sûr, au Luxembourg ou ailleurs.



19) A terrible blunder has occurred, for which no exact responsibility can be allocated.

• b) for which

Vocabulaire important :
For which : pour lequel.
A blunder : un maentendu.

Explications :

Traduction :
Il s'est produit un terrible malentendu et il est difficile de savoir à qui en incombe la responsabilité.



20) The was no great confidence that the peace plan would hold.

• a) no great

Vocabulaire important :
No : négation - forme adjectivale.
Not : négation - forme adverbiale.
Confidence : sûr, certain.

Explications :
Une forme adverbiale modifie un verbe ou un autre adjectif. "not great confidence", "not" aurait modifié "great" ce qui ne voulait rien dire. Par contre "no great confidence" a du sens :)

Traduction :
On n'était pas bien certain que le plan de paix durerait/serait durable.




Et voilà, vous en avez fini avec ce premier QCM. Bon courage et à bientôt j'espère ^^
QCM tiré de la Collection Ellipses.




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Le thème de l'année 2007-2008 du cours de Français de prépa PSI (et les autres aussi surement d'ailleurs) est : Penser l'histoire.
Trois oeuvres au programme :
Horace de Corneille (1606 - 1684)
Les mémoires d'outre-tombe (livres IX à XII) de Chateaubriand (1768 - 1848)
Le 18 brumaire de Louis Bonaparte de Karl Marx (1818 - 1883)

I] Définitions

Le mot "histoire" a un double sens :

• événements qui se sont déroulés dans le passé
• récit de ces événements
• On peut rajouter : récit d'événements inventés. Mais ici on va s'en ficher puissamment

Histoire vient du mot "historia" (qui a pour origine le mot "voir") qui signifiait "enquête". Vu que c'est pas super important, on va pas chercher plus loin ^^

Pour "Penser l'histoire", il faut donc :

• Réfléchir sur ce qu'il s'est passé
• Réfléchir aux discours qui expliquent ce qui s'est passé

Les philosophes se sont intéressés très tôt à l'histoire. Eh oui, seul l'homme a une histoire, les animaux n'en n'ont pas. Par conséquent, éh bien c'est intéressant (enfin ça peut l'être :p); voilà pourquoi, par exemple, Hegel, Nietzsche, Foucault, Cicéron se sont penchés dessus. Voyons voir quelques définitions de l'histoire données par des philosophes/historiens :
L'historien Marrou : L'histoire c'est La connaissance du passé humain.
L'historien Marc Bloch : L'histoire est la science du passé des hommes.

Vous voyez alors tout de suite quel va sûrement être un de nos problèmes de l'année : comment définir ce qu'est l'histoire puisqu'on la connait au travers d'un récit ? On peut aussi se poser cette question : Peut-on avoir un passé sans qu'on puisse le raconter ?, etc...
Je suppose que vous avez déjà la migraine rien que de penser au nombre de questions que cela implique. Moi aussi ;)

II] Origine de l'histoire

L'histoire a dû naitre à Sumer (croissant fertile en gros, civilisation Sumérienne), en Chine, ou bien en Egypte. (C'est un peu inexacte tout ça, n'est ce pas ? Après tout, qu'importe ?)
Pour définir la "naissance" de l'histoire le plus simple est de dire que l'histoire naît véritablement avec l'écriture. Au départ elle n'est composée que de listes de guerres, de conquêtes, ou bien de dirigeants. Mais très vite, cela se peaufine et on commence à trouver de véritables récits historiques, d'autant plus que l'histoire est lié à la politique. (Horace de Corneille en est (parait-il :huh:) un très bon exemple.)

Tout cela suppose l'apparition d'une "conscience historique", ce qui implique donc l'idée de "temps". C'est l'idée que "ce que l'on vit ne
va pas se reproduire, c'est donc du passé qu'il faut garder en mémoire à tout prix" ou même "il faut éviter que cela se reproduise, gardons-le en mémoire". Cela dit, il y a tout de même cette idée de "Il n'y a rien de nouveau sous le soleil" (qu'expose Salomon dans l'Ecclésiaste, oui, oui c'est un livre de la Bible mais ça, y a peu de chances qu'on vous le dise en cours) que tout se répète.
Une autre preuve de la prise de conscience d'une "histoire" est l'apparition du calendrier, car ce dernier permet de reconstituer une chronologie, de dater. Un calendrier a même un début. (par exemple le calendrier chrétien place l'an 0 à l'année de la naissance de Jésus-Christ.)

On peut donc dire que "penser l'histoire" c'est en noter les événements importants et établir des liens entres eux selon une logique historique variable.
Pourquoi "variable" ? Bah Hérodote (l'un des pères de l'histoire) par exemple présente son travail comme une recherche, il présente l'histoire comme une "mémoire" et il parle autant de son peuple que des autres, les barbares (ce qui montre déjà un certain souci d'impartialité). A d'autres époques (comme au moyen-âge) on n'avait pas la même tolérance envers les autres peuples.

III] Quelles méthodes pour l'histoire ?

But : La vérité (des faits)
Afin de toucher au but, l'histoire travaille sur des traces, souvent des textes.
Corneille travaille à partir des textes de Tite-Live, Marx sur des journaux et Chateaubriand prouve ses écrits à l'aide de textes officiels. (actes de naissances, mariages, morts, etc.)

Le problème principal c'est que l'histoire, c'est l'histoire de l'homme. Or qui étudie l'histoire de l'homme ? Eh bah c'est l'homme. Gênant n'est-ce pas ? (même problème avec le cerveau, mais seuls ceux qui ont lu l'Ultime secret pourront comprendre :lol:) La subjectivité est donc obligatoire, on ne peut que la limiter. Un bon exemple est sans doute Voltaire (1694 - 1778) qui a effectué un vrai travail d'historien sur Le siècle de Louis XIV, mais il a un parti pris contre la religion. (rappelez-vous, il est déiste)

Il faut aussi songer aux mensonges politiques, à la propagande qui ont falsifiés et corrompus bon nombre de documents. Un petit exemple :
La critique des sources est donc indispensable !

Mais heureusement, malgré tout, on peut essayer de garantir la véracité de l'histoire :

• Les historiens et les philosophes doivent faire un grand travail de comparaison, de confrontation, de vérification des textes, des traces, des faits. Par exemple, le Carbone 14 permet de dater un objet, c'est une des méthodes que l'on peut utiliser pour vérifier des faits. Les historiens travaillent donc en étroite collaboration avec les archéologues.
• Le regard des autres historiens, et de la science permettent de corriger et de vérifier l'histoire. Cela dit, il y a toujours des révisionnistes ou négationnistes qui contestent de grandes parties de l'histoire. (comme par exemple la Shoah. Y a des quiches partout.) D'où problème.

IV] L'histoire est-elle une science ?

Aristote (-384, -322) rejette l'étude scientifique de l'histoire. En effet, l'histoire ce sont des faits, il y a une part de hasard et l'homme étant sujet de l'objet le résultat ne peut-être scientifique.

Cela dit, l'histoire vise désormais à être scientifique. On utilise des méthodes de raisonnement particulière : induction, déduction. Il y a un effort de rationalisation. Les historiens s'appuient désormais sur des chiffres, des quantités, le traitement des données se fait de manière scientifique. Enfin, l'histoire s'enseigne. (cela dit, on enseigne aussi le dessin ou la musique. Donc cet argument est un peu pipeau :unsure:)

Le mythe de l'âge d'or

Hésiode (VIIIème siècle av. J.-C.) dans sa Théogomie raconte l'histoire de l'homme et parle de l'âge d'or : l'homme vit dans une période merveilleuse au milieu du dieu Chronos, maitre du temps. L'homme vit donc dans une éternelle jeunesse. Mais par la faute d'Hybris, c'est la décadence et la fin de cette magnifique époque.

Dans l'histoire on remarque donc un désir de revivre les temps passés.

Conception chrétienne de l'histoire

Pour les chrétiens du moyen-âge le souvenir du péché originel est constant. L'homme et la femme étaient en présence directe avec Dieu dans le jardin d'Eden et ils ont été chassé lorsqu'ils ont cueilli et mangé du fruit de l'arbre de la connaissance du bien et du mal.
On pourrait donc parler d'une envie de se racheter. (malheureusement c'est pas trop possible humainement parlant. D'où la redécouverte au moment de la réforme : l'homme ne peut pas se racheter, mais Dieu l'a déjà racheté par Jésus-Christ. Incroyable, mais vrai.)

De plus, il y a aussi cette pensée providentialisme : Dieu intervient dans l'histoire. (on le voit très clairement dans les textes Bibliques au travers du peuple d'Israël)

Le millénarisme

Croyance qu'il y aura un millénium.

Foi dans le progrès humain - siècle des lumières (17ème)

Cette foi dans l'homme remplace au 17ème siècle, en quelque sorte, la religion. Des philosophes : Diderot, Condorcet, Voltaire... développent cette idée et espèrent un moment heureux où les hommes auront confiance dans l'avenir et le progrès humain.
Hegel (1770 - 1931) écrira d'ailleurs dans La raison de l'histoire : L'histoire n'est que l'image et l'acte de la raison.

Le Marxisme

L'histoire se dirige vers une société sans classe et l'égalité y règnera.

Les philosophes de la fin de l'histoire

Fukuyama (1952 et c'est tout parce qu'il est pas mort ^^) par exemple, un Hégelien (semble-t-il) parlant de la chute du mur (de Berlin - 9 novembre 1989 svp) exprime qu'il n'y aura plus d'histoire car plus d'affrontement entre les blocs. C'est l'idée que l'histoire a une fin.
Mais son raisonnement ne tient pas à une analyse approfondie ! (c'est quiche parce que ça nous aurait éviter de plancher sur "Penser l'histoire" toute l'année. :lol:)

V] Historiographie ou l'histoire de l'histoire

L'histoire exemplaire

Type d'histoire fondé sur des personnages de bataille. (donc plutôt au moyen-âge) C'est donc très souvent romancé : histoire événementielle. Il y a un côté moral. (héros, ...)

Historiscisme

Voltaire critique l'histoire exemplaire. Ranke (1795 - 1886) définit ainsi l'histoire : montrer comment les choses se sont ainsi passées. On tend donc vers une réalité globale.

Voilà pourquoi, bien avant ces deux personnages, l'école d'Athènes formait des chercheurs, des géologistes et aussi des historiens !

Critiques faites à l'historiscisme : cela reste dans l'événement, il y a incapacité de prendre du recul sur l'histoire.

Le marxisme

Marx balance de nouveaux mots clés : l'économie et l'histoire sociale. L'histoire de toute société jusqu'à nos jours n'a été que l'histoire de la lutte des classes. On touche donc ici au matérialisme historique ! L'histoire devient alors une science.

Ecole des annales

Marc Bloch (1886 - 1944) et Lucien Febvre (1878 - 1956) sont contre l'école historisciste, ils créent alors : l'écoles des annales. Ils veulent étudier tous les aspects de l'histoire : "longue durée" ! On voit alors naitre des études sur tout le bassin méditerranéen au 16ème siècle (de manière historiquement scientifique si je puis dire ^^) l'études de village, du bleu à toutes les époques, l'histoire de la propreté...


Et l'évolution de l'histoire n'est pas finie ! D'autres approches vont venir.

VI] Rôle de l'imagination

Au cours de l'histoire, il y eut très vite un procès entre historiens (refusant et s'interdisant l'utilisation de l'imagination) et les auteurs de romains historique. (tolérant l'imagination)
Cela dit au XXème siècle, on redonne à l'imagination un rôle dans l'histoire, car l'histoire devient un genre littéraire L'histoire est d'abord un art, un art littéraire essentiellement. expose G. Duby (1919 - 1996) l'imagination collective est donc nécessaire.

Je suppose et j'espère qu'on aura l'occasion de reparler de l'imagination dans l'histoire.

VII] Conclusion

Alors que dire pour finir ?
Déjà, précisons : le présent s'explique par le passé. Mais pour étudier le passé, il est nécessaire de connaitre le présent. (lire le passé à partir du présent, c'est la méthode qu'emploie Marx dans le 18 Brumaire de Louis Bonaparte)
L'histoire apparait donc comme une forme d'activité intellectuelle à la fois poétique, (c'est-à-dire usant de l'imagination) scientifique et philosophique.


Bon courage pour "Penser l'histoire" cette année, et l'année prochaine pour ces chers sups aussi :p




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Cet article a pour but de recenser la plupart des primitives classiques à connaitre (études supérieurs) pour trouver des primitives plus complexes.
Bon courage :)

Liste des primitives

Je n'ai pas précisé les bornes partout parce que c'est un peu évident.

Fonction f	Une primitive de f	Fonction f	Une primitive de f
()
()
()
()
()
	ou

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Voici la liste des verbes irréguliers anglais. Votre mission si vous l'acceptez : l'apprendre et la connaitre (c'est très différent ^^) par coeur.
Good luck folks ;)

Base Verbale	Prétérit	Participe Passé	Traduction
To awake	awoke	awoken	(se) réveiller
To be	was/were	been	être
To bear	bore	borne	(sup)porter
To beat	beat	beaten	battre
To become	became	become	devenir
To begin	began	begun	commencer
To bend	bent	bent	(se) courber
To bet	bet	bet	parier
To bind	bound	bound	lier
To bite	bit	bitten	mordre
To bleed	bled	bled	saigner
To blow	blew	blown	souffler
To break	broke	broken	casser
To breed	bred	bred	élever
To bring	brought	brought	apporter
To build	built	built	batîr
To burn	burnt	burnt	brûler
To burst	burst	burst	éclater
To buy	bought	bought	acheter
To cast	cast	cast	jeter
To catch	caught	caught	attraper
To choose	chose	chosen	choisir
To cling	clang	clung	s'accrocher
To come	came	come	venir
To cost	cost	cost	coûter
To creep	crept	crept	ramper
To cut	cut	cut	couper
To deal	dealt	dealt	traiter, distribuer
To dig	dug	dug	creuser
To do	did	done	faire
To draw	drew	drawn	tirer, dessiner
To drink	drank	drunk	boire
To drive	drove	driven	conduire
To eat	ate	eaten	manger
To fall	fell	fallen	tomber
To feed	fed	fed	nourir
To feel	felt	felt	(res)sentir
To fight	fought	fought	se battre
To find	found	found	trouver
To flee	fled	fled	s'enfuir
To fling	flung	flung	lancer
To fly	flew	flown	voler
To forbid	forbade	forbidden	interdire
To forget	forgot	forgotten	oublier
To forgive	forgave	forgiven	pardonner
To forsake	forsook	forsaken	abandonner
To freeze	froze	frozen	geler
To get	got	got	obtenir
To give	gave	given	donner
To go	went	gone	aller
To grow	grew	grown	pousser
To hang	hung	hung	suspendre, pendre
To have	had	had	avoir
To hear	heard	heard	entendre
To hide	hid	hidden	cacher
To hit	hit	hit	frapper
To hold	held	held	tenir
To hurt	hurt	hurt	blesser
To keep	kept	kept	garder
To kneel	knelt	knelt	s'agenouiller
To know	knew	known	connaître
To lay	laid	laid	poser
To lead	led	led	mener
To lean	leant	leant	s'appuyer sur
To leap	leapt	leapt	sauter
To learn	leanrt	leanrt	apprendre
To leave	left	left	laisser, quitter
To lend	lent	lent	prêter
To let	let	let	permettre, louer
To lie	lay	lain	être couché
To light	lit	lit	allumer
To lose	lost	lost	perdre
To make	made	made	faire, fabriquer
To mean	meant	meant	signifier
To meet	met	met	rencontrer
To overcome	overcame	overcome	surmonter
To pay	paid	paid	payer
To put	put	put	mettre
To read	read	read	lire
To rend	rent	rent	déchirer
To ride	rode	ridden	aller à vélo, à cheval
To ring	rang	rung	sonner
To rise	rose	risen	s'élever
To run	ran	run	courir
To saw	sawed	sawn	scier
To say	said	said	dire
To see	saw	seen	voir
To seek	sought	sought	chercher
To sell	sold	sold	vendre
To send	sent	sent	envoyer
To set	set	set	fixer
To sew	sewed	sewn	coudre
To shake	shook	shaken	secouer
To shed	shed	shed	verser, perdre, ôter
To shine	shone	shone	briller
To shoot	shot	shot	tirer (au fusil)
To show	showed	shown	montrer
To shrink	shrank	shrunk	rétrecir
To sing	sang	sung	chanter
To sink	sank	sunk	s'enfoncer, couler
To sit	sat	sat	être assis
To slay	slew	slain	massacrer
To sleep	slept	slept	dormir
To slide	slid	slid	glisser
To sow	sowed	sown	semer
To speak	spoke	spoken	parler
To speed	sped	sped	foncer
To spell	spelt	spelt	épeler
To spend	spent	spent	passer (temps), dépenser
To spin	spun	spun	filer, tourner sur soi-même
To split	split	split	partager
To spoil	spoilt	spoilt	gâter
To spread	spread	spread	étaler
To spring	sprang	sprung	jaillir
To stand	stood	stood	être debout
To steal	stole	stolen	voler, dérober
To stick	stuck	stuck	coller
To sting	stung	stung	piquer
To stink	stank	stunk	sentir mauvais
To stride	strode	stridden	aller à grand pas
To strike	struck	struck	frapper
To string	strung	strang	enfiler
To strive	strove	stroven	s'efforcer
To swear	swore	sworn	jurer
To sweep	swept	swept	balayer
To swim	swam	swum	nager
To swing	swung	swung	balancer
To take	took	taken	prendre
To teach	taught	taught	enseigner
To tear	tore	torn	déchirer
To tell	told	told	dire
To think	thought	thought	penser
To throw	threw	thrown	lancer
To thrust	thrust	thrust	enfoncer
To tread	trod	trodden/trod	piétiner
To understand	understood	understood	comprendre
To undertake	undertook	undertaken	entreprendre
To wake	woke	woken	(se) réveiller
To wear	wore	worn	porter (vêtement)
To weep	wept	wept	pleurer
To win	won	won	gagner
To wind	wound	wound	enrouler
To wring	wrung	wrung	tordre
To write	wrote	written	écrire

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Théorème

L'ensemble des nombres premiers est infini.

Lemme utile à la démonstration

Tout entier naturel n non premier mais différent de 1 admet au moins un diviseur premier.

Démonstration à connaitre

Raisonnons par l'absurde.
Supposons qu'il existe un nombre fini d'entiers premiers. Notons cet ensemble fini.
Alors il existe p tel que : . C'est-à-dire que p est le plus grand entier premier. 2, 3, 5, 7, ..., p.


Notons
Et notons alors
Le reste de la division euclidienne par 2, par 3, par 5, ..., par p est 1. Donc n'est pas divisible par 2, par 3, par 5, ..., par p.
est différent de 1, distinguons 2 cas :

• Si n'est pas premier, alors, d'après le lemme, admet moins un diviseur premier qui sera supérieur à p. (en effet n'est pas divisible par 2, par 3, ..., par p) Il y a donc contradiction avec . Donc l'ensemble des entiers premiers est infini.
• Si est premier alors : . Il y a donc contradiction avec . Donc l'ensemble des entiers premiers est infini.

Par conséquent, on peut en conclure qu'il y a une infinité de nombres premiers.



Retrouvez d'autres ROC sur la Bnbox :)


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Introduction

Dans la série des "grosses méthodes de raisonnement" en mathématiques, je voudrais le petit frère...
Et oui, vous avez deviné, on va recommencer à raisonner ici, mais d'une manière encore différente.
Récapitulons... en Mathématiques, on distingue plusieurs types de raisonnement : le raisonnement direct, le raisonnement par récurrence, le raisonnement par l'absurde, et enfin le raisonnement par analyse-synthèse.

Il est un peu moins utilisé que ses grands frères, mais peut s'avérer très utile pour certaines démonstrations.


Oui, oui, j'y viens j'y viens.

Principe

Je vais d'abord vous donner le principe global de la chose, puis j'expliquerai en détail avec un exemple imagé, et ensuite avec des vrais exemples mathématiques.

Supposons qu'on vous demande de démontrer quelque chose qui vous semble très compliqué au premier abord. Tellement que vous ne savez pas comment faire.
Le raisonnement par analyse-synthèse peut s'avérer une bonne solution. Il se déroule en 2 étapes :

L'Analyse : Supposez que ce que vous voulez démontrer est vrai, et cherchez des conditions nécessaires à satisfaire pour que cela puisse être vrai.

La Synthèse : Vérifiez si la chose qui vérifie ces conditions est bien solution du problème posé.

Bon, vu comme ça, c'est très abstrait ;). Donc on va travailler sur des exemples assez simples : un exemple complètement hors du domaine des mathématiques, pour vous permettre de mieux appréhender le principe du raisonnement; et un autre exemple d'utilisation en mathématiques.

Exemples

Le BN géant

Un jour, on vous demande de prouver l'existence d'un BN au chocolat géant vivant !
A première vue, ça semble assez difficile à faire... Et vous n'avez aucune idée de la manière de procéder.
Alors procédons par Analyse-Synthèse !

• Première partie, l'analyse : supposons qu'il existe un BN au chocolat géant vivant quelque part dans le monde.
  Si un BN de ce genre existe, il est évident qu'il vivra nécessairement loin de l'eau, parce qu'un BN dans l'eau devient tout mou et se dissous...
  Si ce type de BN existe, il se trouvera nécessairement loin des régions chaudes, sinon son chocolat fondrait et il disparaitrait :(.
  Il sera aussi nécessairement loin des régions très froides, pour ne pas geler.
  
  Ces conditions nécessaires qu'on vient de trouver réduisent déjà notre champ de recherche. On sait que maintenant, le seul endroit où on peut trouver un BN de ce type, c'est en France.
  Mais la France c'est toujours assez grand. On va donc chercher d'autres conditions nécessaires encore plus restrictives.
  
  Un grand BN comme ça, ça a besoin de beaucoup de chocolat pour tenir ensemble... Ca doit donc vivre nécessairement près d'une chocolaterie, ou d'une biscuiterie.
  Et en plus, les BN sont créés à Nantes, donc forcément, le grand BN habite près de ses parents, donc près de Nantes.
  Ce qui nous amène directement à la conclusion que le BN géant habite dans la biscuiterie BN.
  
  
• Deuxième partie, la synthèse : nous devons vérifier notre conclusion, c'est-à-dire que nous devons prendre le premier avion pour Nantes (ou le premier TGV :P), et nous rendre à la biscuiterie pour vérifier que le BN géant s'y trouve.
  Soit on le trouve, et on a bien prouvé qu'il existe.
  Soit on ne le trouve pas, et on a prouvé qu'il n'existe pas, puisqu'il n'est pas à l'endroit où il devait nécessairement être.

(Maintenant, eh bien je vous laisse aller vérifier par vous-même. :P)

Fonctions paires et impaires

Voici l'énoncé de l'exercice : Soit f une application définie sur . Montrer que f s'écrit d'une façon unique comme la somme d'une application paire et d'une application impaire (application est synonyme de fonction dans ce cas).

A première vue, et en essayant différentes méthodes, ce problème paraît difficile à résoudre. Il se peut même que vous n'y arriviez pas :P. Mais c'est normal.
Pour résoudre ce problème, il faut utiliser le raisonnement par analyse-synthèse.

Allez on est partis !

Première étape : L'Analyse

Soit une fonction définie sur .
Supposons qu'il existe 2 fonctions, que l'on nommera et (p pour paire, et i pour impaire, un peu d'originalité :P), qui soient solution du problème, c'est-à-dire des fonctions telles que :

- soit paire
- soit impaire
- soit la somme de ces deux fonctions, i.e.

Traduisons ces 3 phrases : ces deux fonctions sont donc telles que :


Jusque là on n'a fait que traduire en rajoutant des x les 3 conditions vérifiées par i et p pour être solutions du problème.
Evidemment, pour l'instant, cela ne nous avance pas à grand chose.
Mais le principe de l'analyse-synthèse, comme pour l'exemple du BN géant, est d'affiner au maximum la recherche pour obtenir à la fin des conditions nécessaires suffisamment restrictives.

On va donc faire quelques petites manipulations sur les 3 "équations" obtenues.

Par exemple, cherchons . (Oui, j'avoue, il faut parfois faire preuve d'inventivité... Ca peut sembler tomber du ciel, mais au bout d'un moment, vous aurez pris l'habitude, et vous aurez un certain flair pour détecter ce qu'il faut faire.)

D'après les définitions des fonctions paires et impaires, on obtient :



Or on sait qu'on a aussi :



On dispose donc des relations (1) et (2) ci-dessus.
Il faut maintenant en faire quelque chose. Et là, (oh miracle! ^^) on remarque que si on fait la somme de ces deux relations, on aura disparition de la fonction i.
De même on voit que si on fait la différence des deux relations, ce sera la fonction p qui va disparaître.
La preuve :






D'où on en tire par simple division :

D'autre part, on a :





D'où on en tire par une division et un petit changement de signe :

Vous vous en doutez, après cela, on arrive bientôt à la fin de notre analyse... On a assez torturé les formules, et elles n'ont plus rien à nous dire.

Faisons donc une conclusion de l'analyse.
On sait que si f peut s'écrire comme une somme de deux fonctions, l'une paire et l'autre impaire, il est nécessaire que ces fonctions soient de la forme :


Ceci nous assure aussi que si ces fonctions existent, elles sont uniques (en effet, il n'y a qu'une seule fonction que l'on peut définir de telle manière).

On a bien avancé dans notre travail, et on a fait le plus dur.
Mais tout n'est pas terminé.


Deuxième étape : La Synthèse

Il reste à vérifier si les fonctions p et i trouvées sont bien solution du problème, c'est-à-dire que : p est paire, i est impaire, et f s'écrit comme la somme des deux.

Reprenons les fonctions p et i définies à la fin de notre analyse.
On a alors :


D'où p est bien une fonction paire.

De plus:


D'où i est bien une fonction impaire.

Enfin, on a :

D'où on a bien .

Les 3 conditions de départ étant bien vérifiées par i et p, on en déduit que ces deux fonctions sont bien solution du problème posé. Donc que celui-ci admet bien une solution :P.

Donc : une fonction f étant donnée, il existe un unique couple de fonctions, l'une paire, l'autre impaire, telles que leur somme soit égale à f.

Et vous pouvez enfin mettre à la fin de votre copie le beau CQFD habituel. ;)

Conclusion

Je sais que vous pouvez trouver ça très étrange comme méthode de pensée. J'avoue que j'ai moi-même eu un peu de mal à m'y faire et à bien comprendre le principe.
Mais ne vous inquiétez pas. Comme d'habitude, la pratique amène une meilleure compréhension de la théorie. A force de faire ce type de raisonnements, vous finirez par bien le maîtriser ;).



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Présentation

Bon le morse, tout le monde connaît le morse, non ? :p Ce code composé de points et de traits (ou plutôt de "sons" courts et de "sons" longs) qui était très utilisé auparavant pour n'importe quel message rapide longue distance. Comme vous le savez surement (:p), on n'utilise plus trop le morse de nos jours, le dernier message officiel envoyé en morse a été transmis vers 1995 !
L'alphabet morse a été créé en 1832 aux Etats-Unis par Samuel Morse (1791-1872) et il servira énormément par la suite pour les liaisons radios.
Bref c'est un moyen de communication qui a complètement transformé la radiographie.

Maintenant que nous en savons un peu plus sur le morse, tachons d'apprendre ce code :) J'en profiterai pour vous donner quelques trucs pour le retenir.

Le code morse

Le code

Le tableau ci-dessous vous retrace tout le code morse. Dans la première colonne vous trouverez la lettre, et dans la deuxième le code morse associée. Dans la troisième colonne se trouve le mot associé à la lettre. (moyen mémo-technique pour apprendre facilement en quelques heures le code morse. Le principe est explicité plus bas) Et puis dans la foulée, j'ai aussi mis le mot en langage international associé. (que vous pouvez utiliser dans la monde entier pour épeler un mot. Un exemple est donné plus bas.)

Prononciation et écriture

Il y a plusieurs manières d'utiliser le morse.
La première et la plus courante est de l'utiliser à l'aide d'une lampe, d'un tapotement caractéristique ou à l'aide d'un télégraphe. Dans ces cas, il faut simplement savoir qu'un son long est 3 fois plus long qu'un son court. En général on laisse 1 temps entre chaque son, 4 entre chaque lettre et 7 entre chaque mot.

On peut aussi parler le morse. (si si :p) Mais vu qu'il est assez difficile de dire Point, point point. Trait, trait, trait. Point, point point. on a inventé une convention qui consiste à remplacer un point par ti et un trait par ta. La phrase précédente se prononcera donc : tititi tatata tititi et se traduit bien sûr par SOS :)

La dernière méthode consiste à écrire le code morse. La encore une convention a été mise en place : les lettres sont séparés par un slash ( / ) et les mots par un espace, deux slashs et un espace. ( // )
La phrase suivante Vive la Bnbox ! s'écrira donc :
···-/··/···-/· // ·-··/·- // -···/-·/-···/···/-··- // -·-·--

Moyen mémo-technique

Les mots de la 3ème colonne du tableau vous permettent d'apprendre facilement le code morse grâce à la méthode dites "des consonances en o".
Pour chaque mot, une syllabe comprenant un "o" équivaut à un trait (to), une syllabe ne comprenant pas un "o" équivaut elle à un point (ti). En apprenant les 26 mots (ce qui est plus facile que des ti et des to :D) vous pouvez alors retrouver très facilement les 26 lettres de l'alphabet :)

Voici un petit exemple avec la lettre "Z". Le mot associé est "Zoro est là" soit les syllabes suivantes : Zo, ro, est, là. On trouve un "o" dans les 2 premières syllabes, mais pas dans les 2 suivantes. La lettre "Z" s'écrira donc en morse : --·· (ou tototiti)

Alphabet International

L'alphabet international permet d'épeler un mot partout à travers le monde.
Voici un exemple avec le mot Bnbox :

Bnbox : B Bravo, N November, B Bravo, O Oscar, X X-Ray

Rien de très compliqué comme vous pouvez le constater ^^



Et voilà, il vous reste à mettre tout ça en pratique et vous connaitrez le morse sur le bout des doigts :) D'ailleurs, on parle le morse couramment sur le Bar à Nougat : Participer au topic morse time !


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Introduction

La logique est quelque chose d'important, non-seulement en mathématiques, mais aussi dans la vie de tous les jours. En effet, c'est mieux d'avoir un esprit bien structuré :P.

Vous m'objecterez que la logique, c'est quelque chose d'intuitif : on dit de quelqu'un qu'il est "logique", ou l'inverse, au vu de ses actions, de ses attitudes, etc...
En effet, la logique est quelque chose d'intuitif, de très intuitif.
Mais depuis longtemps, certains ont pensé codifier cette "logique".

Je sais que cela va vous paraître bizarre, mais en lisant la suite du cours, tout va s'éclairer (j'espère, sinon je n'aurai servi à rien :P).

A propos de la logique en mathématiques maintenant, on peut dire qu'elle est la base de beaucoup de choses, et notamment des méthodes de raisonnement. Ce lien entre la logique et les méthodes de raisonnement sera explicité un peu plus loin, mais sachez simplement que si personne n'avait codifié la "logique" intuitive, que nous possédons tous, eh bien cette logique sauvage n'aurait peut-être pas permis de démontrer tous ces théorèmes.
Car on ne démontre quelque chose qu'en ayant l'esprit bien structuré.

Les assertions

Définition :

On appelle assertion toute phrase qui ne peut être que vraie ou fausse.

Ici, je pense que la définition est assez claire :P. Une assertion est une phrase qui peut être soit vraie, soit fausse.

Exemples :

Exemple dans la vie de tous les jours :
"J'ai un chien."
Cette phrase est une assertion. Soit elle est vraie, et on a un chien, soit elle est fausse et on n'en a pas.
On ne peut pas avoir un demi-chien (si, si je vous assure :P).


Exemples en maths :
-"2 est un entier naturel."
Cette phrase est une assertion, et elle est vraie.
-" est un nombre rationnel."
Cette phrase est aussi une assertion, mais celle-ci est fausse (cf. cours sur le raisonnement par l'absurde si vous voulez une preuve ;)).


Bon, je pense que vous avez compris ce qu'est une assertion. Vous voyez, la "logique", ce n'est rien de tordu qui tend à formater nos cerveaux, c'est quelque chose de tout a fait "logique", et rationnel.
Une fois que vous êtes sûrs d'avoir bien compris, on va passer à l'étape suivante, on va parler d'opérateurs logiques, et ça va se compliquer un petit peu. Mais n'ayez pas peur, c'est toujours logique :P.

Les opérateurs logiques

C'est quoi ?

Lorsque l'on a une ou plusieurs assertions (une ou plusieurs phrases), on peut en former d'autres, grâce à ce qu'on appelle des opérateurs logique.
Par exemple, vous pourrez grâce à eux dire que 2 phrases sont vraies en même temps, ou que soit l'une soit l'autre est vraie, ou que l'une implique l'autre.
C'est une notion assez étrange, et surtout le mot "opérateur", qui déstabilise un peu au début. Mais tout ça n'a rien de très sorcier.

La négation, la conjonction, et la disjonction :

La négation

On commence par le plus simple : la négation, aussi appelé opérateur NON.

Prenez une assertion que vous appelez A : "J'ai un chien".
Supposez qu'elle est vraie, et que vous ayez un chien.

On appelle non-A, la négation de A, c'est-à-dire l'assertion contraire  : "Je n'ai pas de chien".
En l'occurence, puisque vous avez un chien et que A est une phrase vraie, alors non-A est une phrase fausse.

Si vous vous placez dans la situation inverse : vous n'avez pas de chien.
Alors pour vous, la phrase non-A sera vraie, et A sera fausse.

J'espère que vous avez suivi ;).
Résumons-nous :
non-A est l'assertion qui est vraie lorsque A est fausse; et fausse lorsque A est vraie.


On peut résumer cela par un tableau qu'on appelle table de vérité :

A	non-A
Vraie	Fausse
Fausse	Vraie

Je pense que vous comprendrez mieux avec le tableau.
Pour le lire, partez de la gauche et suivez : si la phrase A est vraie, non-A est fausse.
Puis ligne suivante : si A est fausse, non-A est vraie.

Ce tableau de vérité recense tous les cas possibles pour les deux phrases. Vous verrez qu'ils sont très utiles par la suite pour voir comment fonctionnent les autres opérateurs logiques. Donc je vous conseille de bien avoir assimilé la notion de tableau de vérité.

(Vous pouvez vous entraîner à former des négations de phrases diverses, ça vous sera très utile par la suite ;)).



La conjonction

Prenons deux assertions : A et B.
A : "Je mange du dessert".
B : "Je mange du fromage".

Ce qu'on appelle conjonction des deux assertions, c'est la phrase qui relie les deux par le mot ET. (La conjonction est aussi appelée l'opérateur ET ^^).

Dans notre cas, la phrase (A et B), est la phrase : "Je mange du fromage ET du dessert".
Rien de très savant, comme vous le voyez :P.

On définit donc la conjonction ainsi :
(A et B) est une nouvelle assertion (phrase) qui est vraie si et seulement si A et B sont vraies en même temps.

Définition un peu tordue qu'on va se dépêcher de mettre dans une table de vérité pour y voir plus clair :

A	B	A et B
Fausse	Fausse	Fausse
Fausse	Vraie	Fausse
Vraie	Fausse	Fausse
Vraie	Vraie	Vraie

Interprétons le tableau :
Ligne 1 : A est fausse et B aussi, donc d'après la définition, la phrase (A et B) est fausse.
Ligne 2 : C'est pareil puisque B est vraie, mais A est fausse.
Ligne 3 : Idem.
Ligne 4 : Cette fois, les deux phrases sont vraies en même temps, donc (A et B) est une assertion vraie.

(Référez-vous en toujours à un exemple de phrase simple en cas de problème, ça aide toujours à comprendre.)



La disjonction

Je pense que vous commencez à comprendre, donc on va passer assez vite sur cet opérateur là : la disjonction (aussi appelé l'opérateur OU).
Rien qu'au nom vous devez deviner de quoi il s'agit ^^.
Eh oui, c'est un opérateur qui sert à dire "ou".
"Je mange du fromage OU du dessert".

(Attention  ! Le "OU" mathématique n'est pas exclusif, c'est-à-dire que si vous mangez du fromage et du dessert, ça marche quand même.)

Une petite définition pour bien poser les choses :
(A ou B) est une assertion vraie lorsque l'une des deux phrases est vraie au moins.

A	B	A ou B
Fausse	Fausse	Fausse
Fausse	Vraie	Vraie
Vraie	Fausse	Vraie
Vraie	Vraie	Vraie

Ligne 1 : Aucune des deux phrases n'est vraie, donc forcément, (A ou B) est fausse.
Ligne 2 : On a la phrase B qui est vraie, donc (A ou B) est vraie.
Ligne 3 : idem avec A.
Ligne 4 : Les deux phrases A et B sont vraies. Donc au moins l'une d'elle est vraie. Cela rejoint ce que j'ai expliqué plus haut. Le OU ne se traduit pas par : soit l'un soit l'autre. Quand les deux assertions sont vraies en même temps, la disjonction des deux est vraie aussi :).


Voilà on arrive à la fin de cette petite sous-partie. Ces 3 opérateurs sont une petite mise en bouche avant ceux qui servent quotidiennement en maths ;).
Mais pour pouvoir utiliser ces-derniers, il vaut mieux avoir compris les précédents. Donc je vous conseille une relecture attentive de ce qui est juste avant, et puis une fois que vous êtes au point avec votre fromage et votre dessert (:P), passez à la suite.

L'implication, et l'équivalence :

L'implication

Allons-y, passons aux maths proprement dit.
Sachez que les deux opérateurs logiques que vous verrez dans ce paragraphe sont utilisés tous les jours (voire même plus) dans les théorèmes, les exercices, les démonstrations (même si vous ne les voyez parfois pas).

L'implication... Qu'est-ce que c'est  ? Comment la définir avec des mots simples...
Imaginez qu'il pleuve. Vous êtes devant la porte de votre maison, prêt(e) à sortir, habillé(e) en T-shirt manches courtes. Là, un de vos amis vous dit : "Attention  ! Il pleut  !".
Là vous vous dîtes (si vous êtes sains d'esprit :p) : "Ah, mais s'il pleut, alors je vais mettre un k-way".
Dans notre cas, le fait qu'il pleuve implique que vous mettiez un k-way.

Après cette approche simple de la notion d'implication, voici la vraie définition :
(qui se lit "A implique B") est une assertion fausse dans le SEUL cas où A est vraie alors que B est fausse.

Revenons à notre histoire de k-way, et essayons de regarder dans quel cas notre implication est fausse.
Comme dit dans la définition, elle est fausse lorsque, alors qu'il pleut, vous ne prenez pas votre k-way.
En effet, dans ce cas là, le fait qu'il pleuve n'implique pas que vous preniez votre parapluie.

Attention : Si votre assertion de gauche est fausse, alors elle implique tout, nimporte quoi, et ce que vous voulez.
Exemple : Les poules ont des dents Je mets mon K-way.
Le soleil est noir Je mets mon K-way.
etc, etc...

Récapitulons le tout sous forme d'une table de vérité :

A	B	A implique B
Fausse	Fausse	Vraie
Fausse	Vraie	Vraie
Vraie	Fausse	FAUSSE
Vraie	Vraie	Vraie

Et effectivement, on retrouve bien ce que dit la définition : Le seul moment ou (A implique B) est une phrase fausse, c'est lorsque B est fausse alors que A est vraie.







L'équivalence

Comme le précédent opérateur, celui-ci va également servir dans beaucoup de démonstrations.
L'équivalence, qu'est-ce que c'est en simple ?
Je pense que le mieux est de vous donner la définition en premier :
Si on a A et B deux assertions, alors on dit que A "équivaut" à B si et seulement si les deux assertions sont simultanément vraies et fausses. On note l'équivalence entre A et B par une double flèche : .

Il s'agit en fait d'une double implication (on peut le voir aux flèches qui ressemblent aux flèches d'implication^^).
Si A est vraie, alors B est vraie, et si B est vraie, alors A est vraie.
Idem si l'une des phrases est fausse. On a donc bien les deux phrases qui sont vraies ou fausses en même temps.

Une petite table de vérité pour récapituler ça, puis on passera à quelques propriétés des opérateurs logiques. :)

A	B	A équivaut à B
Fausse	Fausse	Vraie
Fausse	Vraie	Fausse
Vraie	Fausse	Fausse
Vraie	Vraie	Vraie

Quelques petites choses à savoir :

Bon je l'avoue je suis passé assez vite sur la présentation de l'équivalence. Mais ne vous inquiétez pas, à force de l'utiliser, vous verrez de mieux en mieux ce que c'est.
Tout ce qui suit est un ensemble de propriétés plus ou moins intéressantes sur les opérateurs logiques.
Veillez à bien les connaître, parce qu'elles peuvent toujours servir.;).

Associativité, distributivité, commutativité :

Les opérateurs logique ET et OU sont associatifs et commutatifs.

Associatifs veut dire que l'on peut les associer comme on l'entend, cela ne change pas le sens de la phrase que l'on veut dire :
(A et B et C)=(A et(B et C))=(A et B) et C) (et pareil pour le OU ;)).
Par analogie aux nombres entiers : (1+2)+3 = 1+(2+3) = 1+2+3.
Cela peut être pratique dans certains cas.

Commutatifs veut dire que leur place importe peu, et donc qu'on peut échanger deux phrases reliées par un tel opérateur.
Exemple : (A ou B) = (B ou A)
En effet : "Je prendrai du fromage ou du dessert" et "Je prendrai du dessert ou du fromage" sont deux assertions qui veulent dire la même chose.
On peut à nouveau comparer ces propriétés à celles des nombres entiers : 1+2 = 2+1.


Et à propos de la distributivité ?
Eh bien sachez que chacun des deux opérateurs ET et OU est distributif par rapport à l'autre.
C'est-à-dire qu'ils se comportent comme la multiplication par rapport à l'addition : a(b+c)= ab + bc.

Ainsi : (A et (B ou C)) est aussi la phrase ((A et B) ou (A et C)).
Et : (A ou (B et C)) est aussi la phrase ((A ou B) et (A ou C)).

Ces trois propriétés des opérateurs OU et ET se démontrent très facilement en construisant des tables de vérité. Je vous conseille d'essayer de le faire d'ailleurs, c'est un très bon entraînement.

Lois de De Morgan :

Ces lois sont assez simple à retenir dans le principe, mais les écrire avec les notations que j'ai utilisé jusqu'à présent va être difficile.
Enfin... Vous allez avoir du mal à comprendre facilement.
Mais je vous fait confiance, un peu de courage ;).
(Juste après, je vous donnerai un moyen mnémotechnique pour s'en rappeler à coup sûr).

Voici donc ces lois :

non-(A et B) est aussi ((non-A) ou (non-B))
et
non-(A ou B) est aussi ((non-A) et (non-B))


Vous voyez-bien que vous êtes perdus ? :p
Bon maintenant je vais vous montrer comment je les ai apprises et comment je m'en souviens.
Tout d'abord il faut s'imaginer et retenir que l'opérateur OU s'écrit par un +.
Et l'opérateur ET par un point, comme pour la multiplication : . .
Ensuite, la négation de la phrase se représente par une barre : = non-A.

(Si vous avez fait de la SI au lycée, vous êtes certainement déjà familiarisés avec ces notations, dans ce cas, tant mieux. Sinon, il va falloir faire un effort.)
Si on réécrit les lois, on a donc :

et


Je ne sais pas vous, mais moi ça me paraît de suite plus limpide :P.
Enfin bref... Comment se souvenir de cette loi ?
Pour ma part, je me dis que si j'ai A.B avec une barre au-dessus et que je veux le changer, je coupe la barre en deux, et je change le truc du milieu...

Vous pouvez aussi essayer de retenir la version normale :
La négation d'une conjonction de deux phrases est la disjonction de la négation de ces phrases.
Ou encore :
Le NON d'un ET est le OU des NON.

A vous de trouver ce qui vous convient le mieux. Tant que vous les retenez, c'est l'essentiel ;).


A propos de la démonstration de ces lois... Eh bien vous vous doutez bien qu'elle se fait de la même manière que pour les autres propriétés, c'est-à-dire grâce à la table de vérité ! ^^

Et voilà, on est arrivés à la fin de cette grande première partie sur les opérateurs. Je vous conseille de vous reposer un peu avant de passer à la suite, parce que c'est encore plus "prise de tête". :d

Les prédicats

C'est quoi ?

Euh, je suis sûr que si... Mais il faudra bien y passer un jour.
Je vous donne la définition tout de suite, comme ça vous souffrirez moins longtemps ;).
(Mais ne vous inquiétez pas, je ne vais pas vous laisser agoniser, je vais tout vous expliquer.)

Soit E un ensemble. Un prédicat de référentiel E est un énoncé de la forme : où x et y sont des lettres appelées variables telles que lorsque l'on transforme ces variables par des objets de E, on obtienne une assertion.

Maintenant que le gros morceau de ce cours est passé (et oui après c'est vraiment super simple;)), je passe aux explications (une petite partie a été emprunté à BN (dans son cours sur le raisonnement par récurrence), parce que j'ai trouvé ça assez bien expliqué ;)).

On commence par E : c'est un ensemble.
C'est-à-dire ? Eh bien c'est à dire que c'est un ensemble de nombres, de patates,de carottes, de BN, bref de tout ce que vous voulez  ! En gros c'est comme si vous aviez un sac de billes.

Maintenant prenons un prédicat que l'on appellera A et dont la variable sera x.
(Une variable est comme son nom l'indique... "variable". Donc elle n'est pas définie, elle peut prendre toutes les valeurs qu'on lui donne.)
Par exemple A(x) sera : "x est bleue".
Voilà ce qu'on appelle un prédicat : une phrase qui ressemble à une assertion, mais où il y a quelque chose qu'on ne connaît pas : la variable.

Attention : un prédicat n'est ni vrai ni faux. En effet dans un prédicat on ne précise pas ce qu'est la variable. (c'est comme si on vous disait : "j'ai une boîte et je vais faire entrer des objets dedans", ne connaissant ni la taille de la boîte, ni celle des objets, vous êtes dans l'incapacité de me dire si mon objet rentrera ou non dans la boîte.
Par contre si on remplace la variable de notre prédicat par des éléments de notre sac de billes, on obtiendra une assertion.

Imaginons que la bille 1 soit rouge et la bille 2 soit bleue.

On aura A(1) : "La bille 1 est bleue", qui sera une assertion fausse.
Par contre A(2) sera vraie, puisque la deuxième bille est bien bleue.


J'espère que vous commencez à entrevoir que ce n'est pas aussi compliqué que la définition semblait faire croire ;).

Allez on passe à quelques exemples, et tout devrait être bon après ;).

Quelques exemples :

Exemple 1 :

Prenons un prédicat A de référentiel .
(cela veut dire que dans notre prédicat, on remplacera la variable par des éléments de pour avoir une assertion vraie ou fausse.
A(y) : "y est un entier"

On aura donc : A(2) vraie, puisque "2 est un entier".
Mais A(1.2) fausse, tout comme A().

Deuxième exemple :

Prenons le prédicat B(c) : " c ne mange jamais ", de référentiel l'ensemble des êtres humains.

On peut avec presque 100% de chances affirmer que B(Jacques) est fausse, aussi bien que B(Pierre) et B(Jean).

(Bon c'était un exemple un peu débile, je l'avoue :P)

Allez un petit troisième pour la route :

Soit C(x,y) le prédicat de référentiel  : "x divise y".

(Attention, ici on a 2 variables dans le prédicat. Mais cela ne change rien au principe, comme vous allez le voir.)

On sait que 2 divise 4. Donc on peut écrire C(2,4) est une assertion vraie.
De même C(2,18) est également vraie.
Par contre, puisque 3 ne divise pas 19, on a C(3,19) qui est une assertion fausse.


J'espère que vous avez tout compris. Si ce n'est pas le cas, je vous invite vivement à faire un tour sur le Bar à Nougat pour poser vos questions. C'est essentiel de comprendre ce qu'est un prédicat, même si c'est assez abstrait je vous l'accorde. :oui:
On va enfin pouvoir passer à la dernière partie du cours : celle qui entre enfin dans les maths proprement dit. ;).

Les quantificateurs

Définition :

Les quantificateurs sont des "objets", des "choses", utilisés partout en mathématiques.
C'est donc le dernier point de ce cours, et il est fondamental.
Prenons un A(x) un prédicat de référentiel E.

On peut alors définir deux assertions :


La première :


Cette assertion est vraie si et seulement si, quelque soit l'objet x de E que l'on prend, A(x) est vraie.

La seconde :


Cette assertion est vraie si et seulement si il existe au moins un objet de E tel que A(x) soit vraie.



Vous l'aurez donc compris, le symbole signifie "quelque soit", ou bien "pour tout".
(ex : se lit : "Quelque soit le nombre x réel, son image par la fonction f est 0", ou bien "Pour tout x dans l'ensemble des réels, son image par f est nulle".)


D'autre part, le symbole veut dire : "il existe un élément tel que".

(Attention à ne pas oublier le "tel que"  ! !).


Petit exemple de manipulation des deux assertions :

Soit A(x) un prédicat de référentiel  : "x est un nombre entier".

L'assertion : , c'est-à-dire : "Quelque soit le nombre réel, il est entier", est bien évidemment fausse.

Par contre l'assertion :, c'est-à-dire : "Il existe un nombre réel tel que celui-ci soit un entier", est vraie.


Je pense que cet exemple est assez clair, donc je n'en mettrai pas d'autres. Vous aurez le temps d'en voir beaucoup d'autres au fur et à mesure ;).
Faîtes juste attention de ne pas vous embrouiller l'esprit entre prédicat et assertion, et ça devrait aller.

Choses à savoir sur les quantificateurs:

Prenons un prédicat A(x) de référentiel E, et B l'assertion : "Quelque soit x dans E, A(x) est vraie".

Comment exprimer la négation de B ? C'est-à-dire comment dire le contraire ?
Il suffit de réfléchir quelques secondes et la réponse vous sautera aux yeux.
Comment dire que le fait que tous les élèves d'une classe ont 20/20 à chaque devoir ? Il suffit de dire qu'il y en a un qui n'a pas 20.
Eh bien avec toutes les lettres et symboles bizarres, c'est le même principe.

Si B est :
i.e. : "Quelque soit l'objet de E choisi, A(x) est vraie."
Alors non-B est :
i.e. : "Il existe au moins un objet dans E tel que A(x) est fausse."

Ce qui est génial (^^), c'est que ça fonctionne de la même manière dans l'autre sens. En effet, le contraire de : "Il existe un élève qui n'a pas 20", c'est bien : "Tous les élèves ont 20".

Si C est :
i.e. : "Il existe un objet dans E tel que A(x) est vraie."
Alors non-C est :
i.e. : "Pour tous les objets de E, A(x) est fausse."


C'est assez mécanique, et cela fonctionne de la même manière si on a plusieurs quantificateurs dans la même phrase ( vous verrez certainement cela plus tard ;)). Donc c'est vraiment un truc à prendre  : Le contraire d'il existe est quelque soit, et inversement.

Une fois que vous avez compris ça, ainsi que le principe des prédicats et des assertions, et une fois que vous aurez joué un nombre suffisant de fois avec, tout vous paraîtra limpide et... logique ;).

Conclusion

Bon voilà, c'est fini. J'espère que tout ça vous a plu. Normalement oui, puisque ça ne parlait pas beaucoup de maths ^^. Cela dit, ne vous réjouissez pas trop vite. La "logique", c'est la base. C'est cela qui va nous servir (comme dit en introduction), à toutes nos démonstrations. C'est donc quelque chose de primordial de lire ce chapitre, de bien le comprendre, de l'analyser, et de le mettre en pratique avec plein d'exemples.

Une fois que tout cela est bien assimilé, vous pourrez passer au chapitre suivant, qui concerne les méthodes de raisonnement, où on utilisera à loisir ce que vous avez vu dans ce cours ;).



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Introduction et principe

Parlons maintenant un peu du raisonnement par l'absurde, belle méthode de raisonnement s'il en est !


Bon avant de commencer, une précision : le raisonnement par l'absurde n'est pas absurde comme son nom l'indique. Il est même tout ce qu'il y a de plus logique.
Pour l'expliquer en des mots simples :
Vous savez que quelque chose est vrai. Mais vous ne savez pas trop comment le démontrer...
Eh bien ce n'est pas si compliqué que cela peut le paraître. Prenez ce quelque chose, et, même si vous savez qu'il est vrai, supposez qu'il est faux !


J'y viens, j'y viens. En partant de la supposition que votre quelque chose est faux, et en développant un petit peu (ou beaucoup), au bout d'un moment, vous arriverez forcément à une contradiction, à quelque chose que vous savez être forcément faux.
Si vous obtenez une contradiction, cela veut dire que votre supposition de départ était fausse, et donc que votre quelque chose est vrai.
(Et oui, c'est logique, parce que si, en supposant que votre quelque chose était faux, vous n'aviez pas de contradiction et que vous arriviez à un résultat cohérent, cela voudrait dire... que votre quelque chose était bien faux.)



Tout ça vous semble un peu embrouillé je pense. Mais avec quelques exemples et de la pratique, ça va venir.
D'ailleurs en parlant d'exemples, on va y passer tout de suite, mais avant ceux-ci, je vous rappelle comment raisonner par l'absurde, puisque c'est la formule consacrée ;) :
[---]
- Supposez que ce que vous voulez prouver est faux.
- Cherchez ce qui découle de votre supposition et développez vos calculs jusqu'à obtenir une absurdité.
- Concluez que votre supposition était fausse, et que ce que vous vouliez prouver est donc vrai.
[---]

Exemples

Le raisonnement par l'absurde sert à beaucoup de choses, dans plusieurs branches des mathématiques, comme vous allez le voir ;).
J'ai essayé de rassembler plusieurs exemples assez simples, mais, comme vous allez le constater, le vocabulaire mathématique s'introduit partout, et il est possible que la compréhension de ce vocabulaire soit difficile. Pour tout comprendre, je vous conseille de relire plusieurs fois chaque exemple si besoin, voire même de recopier le raisonnement sur un bout de papier pour être sûrs de bien suivre (parce que comprendre des maths directement sur Internet, c'est impossible ;)).

Exemple 1 : Montrer qu'une fonction et sa réciproque ont le même sens de variation.

Petit rappel avant de commencer, sur ce qu'est une fonction réciproque.
Vous savez ce qu'est une fonction : c'est une machine qui prend des caillous dans une boîte, les transforme en bonbons, et les met dans une autre boîte.
Vous préférez les x et les y, eh bien soit... :D
Donc une fonction prend des nombres x dans son ensemble de définition, et les transforme en nombres y.

Une fonction réciproque, comme son nom l'indique, fait la même chose, mais à l'envers, c'est-à-dire qu'elle prend les y, et les retransforme en x (ou les bonbons en caillous). Vous connaissez certainement la touche de votre calculatrice? Eh bien, cette touche est en fait une fonction utilisée par la calculatrice pour donner, à partir de la valeur du sinus, la valeur de l'angle. C'est la fonction réciproque du sinus.


Je vous ai fait un petit schéma avec des "patates" pour que vous compreniez bien la notion de fonction réciproque, et ensuite on pourra s'enfoncer dans le raisonnement proprement dit ;).


Comprenez bien ce schéma, et regardez-le souvent, puisque c'est lui qui vas servir à notre raisonnement.

[---]
-On veut montrer que et sa fonction réciproque , ont le même sens de variation. On va se limiter ici à un exemple avec f strictement croissante sur l'intervalle I. La démonstration pour f strictement décroissante est exactement la même, ou presque ;).

-On suppose donc f strictement croissante sur l'intervalle I.
-Prenons au hasard deux nombres dans l'intervalle J (qui contient toutes les images des éléments de I par la fonction f). Nommons les a et b, avec par exemple .
-Posons et .

-Commençons enfin la partie "absurde". On veut prouver que est une fonction strictement croissante, c'est-à-dire, puisque , .

(x et x' sont les images de a et b par la fonction , donc si a et b sont rangés dans un certain ordre et que la fonction est croissante, les images seront forcément rangées dans le même ordre)

Raisonnons par l'absurde en supposant que l'on a .

Dans ce cas, puisque la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle I, on a , soit encore .
Et la contradiction apparaît tout de suite, puisqu'on avait supposé .

On a donc forcément , soit .

Conclusion : est strictement croissante sur l'intervalle J. CQFD ;)

[---]

Exemple 2 : Montrer que est un nombre irrationnel.

Voilà l'énoncé que l'on peut vous donner tout de go, comme ça, au début d'un problème d'algèbre. Et il se peut que vous restiez longtemps bloqués puisque vu comme ça, le problème paraît insolvable (enfin moi je sais que je resterai facilement bloqué dessus si je ne savais pas comment faire :)).

Comme vous vous en doutez, c'est là qu'intervient le raisonnement par l'absurde. Et c'est ce raisonnement qui vous débloquera et vous permettra de réussir la question et d'avoir votre bac, votre place dans votre école d'ingénieur, ou que sais-je encore ;).

[---]
- Reprenons donc la première étape du raisonnement : supposons que ce que l'on veut montrer est faux, c'est-à-dire supposons que est un nombre rationnel, ou encore .

- A partir de là, puisqu'une racine carrée est toujours positive, et que est rationnel, on sait qu'on peut l'écrire sous la forme d'une fraction irréductible de deux entiers positifs (je vous renvoie à la définition de l'ensemble des rationnels si vous avez un doute là-dessus ;)).
On appellera ces entiers p et q par la suite. (On ne les connait pas, mais on sait qu'ils existent puisque .)

- On a donc .
En mettant les deux membres de l'égalité au carré, on obtient : .
Si on effectue maintenant le produit en croix, on trouve : .
Ceci nous prouve que est un multiple de 2, donc que est un nombre pair.
Pour l'instant, on n'a aucune contradiction mathématique, donc on continue ;).

- La prochaine étape consiste en un raisonnement par l'absurde imbriqué dans le précédent.
En effet, si on avait le nombre qui était impair, alors il existerait un nombre , entier naturel (), tel que : .
Ce qui nous donnerait : . serait donc un nombre impair, ce qui est contredit par ce que l'on a vu juste précédemment, qui disait que était pair.
Si p ne peux pas être impair, alors c'est que p est forcément pair.

- Puisque p est pair, c'est qu'il existe un nombre entier naturel n tel que l'on ait .
Mais rappelez-vous, on avait l'égalité suivante : .
Si on remplace p par 2n, on obtient : .
Soit encore : .
On en déduit que est pair, et donc q aussi (en suivant le même petit raisonnement que précédemment pour p).

- p et q sont donc tous les deux pairs. Or ceci est en contradiction avec l'hypothèse faite au début : on peut écrire sous la forme d'une fraction irréductible de deux entiers positifs.
p et q sont tous deux pairs, donc multiples de 2, donc n'est pas une fraction irréductible.


-L'hypothèse faite au début nous mène à une contradiction mathématique.
Ceci nous prouve que cette hypothèse est fausse.
Et donc celà nous prouve bien que , que n'est pas un nombre rationnel.
CQFD ;).

[---]

Je ne met ici que deux exemples, pour vous donner une petite idée de l'utilisation du raisonnement par l'absurde.
Sachez qu'il sert à démontrer beaucoup de théorêmes, notamment concernant les suites et les fonctions.
Si vous voulez d'autres exemples (plus compliqués), je reste à votre disposition sur le Bar à Nougat.
Au revoir et à bientôt dans le monde merveilleux des maths ;).



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Le raisonnement par récurrence est un raisonnement très puissant souvent utilisé en mathématiques. Il permet en général de démontrer des propriétés qui dépendent d'entiers, naturels ou relatifs (qui commencent par : quelque soit n entier naturel...).

On pourra distinguer plusieurs types de raisonnements par récurrence :

• Le raisonnement simple. On l'étudie en général à partir du lycée et si vous en êtes à cette étape la de votre scolarité, peut-être ne vous paraît-il pas si "simple" :p Pourtant vous verrez que ce n'est pas très compliqué ! Si, si, c'est vrai !!
• Le raisonnement multiple. Âme sensible s'abstenir ^-^ Enfin, cela dit, personne n'en est encore mort !

Je vais commencer par expliquer de manière très simple le raisonnement par récurrence dans ce cours, puis je ferai un tour plus approfondi des raisonnements par récurrence simple et multiple pour satisfaire les plus curieux :).

Vous vous apercevrez très vite que le principe est simple, mais l'application est parfois un peu plus délicate ! (ce ne serait pas marrant sinon ;-)) Mais ce cours devrait vous apprendre à éradiquer toutes les démonstrations récalcitrantes !
Je préfère vous prévenir tout de suite : j'utilise tout un tas de termes mathématiques qui peuvent vous rebuter au début, mais ne vous inquiétez pas, j'explique tout ! Et au pire, c'est pas très important pour comprendre le principe. ^^ Il est aussi possible que vous n'ayez pas les connaissances mathématiques nécessaire pour suivre toutes les parties de ce cours, (j'utilise certaines notions qu'on ne voit qu'au lycée, voire plus tard) donc ne stressez pas trop si vous ne comprenez pas tout et n'hésitez pas à poser vos questions sur le Bar à Nougat. (forum de la Bnbox)
Vous êtes prêt ? Alors... à l'assaut !

Raisonnement par récurrence (version simplifiée)

Concrêtement on va vous demander de prouver une propriété mathématique, par exemple la suivante :

Traduisons : Montrons que, quelque soit l'entier naturel (1, 2, 5...) n, la somme des entiers naturels de 1 à n est égale à

Nous allons raisonner en 3 étapes. Soyez bien attentif car il faut toujours effectuer ces trois étapes, et les effectuer dans l'ordre.

• On vérifie que la propriété est vraie pour n=0. (n est alors le plus petit possible) On dit alors que la propriété est initialisée.
  
  Pour n=0 et
  Donc la propriété est bien vraie pour n=0, et donc initialisée.
  
• On suppose que, pour n fixé, notre propriété est vraie au rang n. (C'est-à-dire pour un n donné et fixé.) C'est l'hypothèse de récurrence. On démontre alors, grâce à l'hypothèse de récurrence que la propriété est toujours vraie au rang suivant, c'est-à-dire n+1.
  Cela vérifié, on peut alors dire que la propriété est héréditaire. (C'est comme ça qu'on dit, pas ma faute...)
  
  Supposons que, pour n fixé, la propriété est vraie au rang n. Alors :
  
  Donc la propriété est héréditaire.
  

Donc on a montré que si la propriété était vraie pour un entier donné, elle était aussi vraie pour l'entier suivant. N'ayant pas précisé cet entier, et puisque la propriété est vraie à l'entier le plus petit qui nous intéresse (ici 0), elle est forcément vraie au rang 1, puis 2, puis 3, etc... c'est-à-dire pour tout entier!

• Conclusion : On a démontré que la propriété était vraie pour n=0 et qu'elle était héréditaire. Par conséquent, on a démontré que :

Et voilà ! Rien de très sorcier vous voyez. Si vous désirez aller plus loin avec le raisonnement par récurrence, la suite de ce cours est faîte pour vous. Si vous ne comprenez pas tout, n'hésitez pas à relire et à poser des questions sur le Bar à Nougat. Nous verrons d'autres exemples d'utilisation un peu plus loin.

Quand utiliser ce raisonnement ?

On a souvent tendance à n'utiliser le raisonnement par récurrence qu'en dernier recours (entre nous, c'est pas vrai ? :p) pourtant il permet bien souvent d'éviter de se torturer le cerveau ! Encore faut-il savoir l'utiliser à bon escient.
((
Je vais utiliser quelques termes savants puis je traduirai en Français courant. (Ne fuyez donc pas tout de suite. :p)
Soit un prédicat de référentiel . Le raisonnement par récurrence s'emploie lorsque l'on veut prouver que :
Où : est la propriété que l'on nous demande de prouver.


Avant tout, définissons le mot prédicat :
Soit E un ensemble d'élément. (c'est à dire un ensemble de nombres, de chiffres, de patates,de carottes, de BN, bref de tout ce que vous voulez !) Un prédicat de référentiel E est un énoncé de la forme : où x et y sont des lettres appelés variables telles que lorsque l'on transforme ces variables par des objets on obtienne quelque chose qui est vrai ou faux.


Puisque c'est demandé si gentiment... :d
Utilisons une image pour comprendre ce qu'est un prédicat. Imaginez une petite boîte dans laquelle on puisse mettre certains objets. On pourrait s'amuser à tester quels objets rentrent dans cette boîboîte ! (c'est un peu débile je vous l'accorde :p) On peut par exemple y faire entrer un stylo, une punaise, un BN, un bonbon. Par contre, on aura certainement plus de mal à y faire entrer un éléphant ! Où alors il nous faudrait une très très grosse boîte !
est un peu comme cette boîte. Nos objets seront les n. Et en raisonnant, on cherche à démontrer que avec tel n, A(n) est vraie, et que pour tel autre, A(n) est fausse. (Ce qui correspond à un objet pouvant entrer dans la boîte et un autre étant trop grand pour y pénétrer.)

Rappelez-vous ce qu'on nous avait demandé de prouver :
On peut traduire cette phrase mathématique par : "Quelque soit l'entier naturel n, A(n) est vraie". Bref, on nous demande de prouver que ce que dit cette phrase est vraie ! (ou faux^^)
Et c'est dans ces conditions que l'on se sert du raisonnement par récurrence. Quand on nous demande de démontrer quelque chose quelque soit n alors il est possible que la récurrence soit une bonne méthode.

Raisonnement simple

Principe

Il y a trois étapes dans le raisonnement par récurrence qu'il faut bien suivre et dans l'ordre. Démontrons par récurrence cette propriété :
En traduisant : Montrons que, quelque soit l'entier naturel (1, 2, 5...) n, la phrase A(n) est vraie.

• Etape d'initialisation : On vérifie que la propriété est vraie au rang le plus petit possible. C'est à dire pour n le plus petit possible. (Par exemple n=0. C'est souvent le cas)
• On suppose que, pour n fixé, la propriété est vraie au rang n. (c'est à dire pour un n donné.) C'est l'hypothèse de récurrence. On démontre alors, grâce à l'hypothèse de récurrence que la propriété est toujours vraie au rang n+1.
  Cela vérifié, on peut alors dire que la propriété est héréditaire.
  
  La phrase suivante : On suppose que, pour n fixé, la propriété est vraie au rang n. est celle qui vous servira tout le temps, donc n'hésitez pas à l'apprendre par coeur !
  
  
• Conclusion : On a démontré que la propriété était vraie au plus petit rang possible et qu'elle était héréditaire. Par conséquent, on a démontré que :

On peut traduire cette définition simplement en langage mathématique, cela veut dire exactement la même chose.



Maintenant que vous savez en théorie ce qu'est le raisonnement par récurrence, passons à quelques exemples : on va voir ce que vous valez vraiment. :)

Exemple 1

Montrez que :
Si vous voulez devenir un ou une boss du raisonnement par récurrence, il serait bon que vous trouviez la réponse à cet exemple tout seul... (ça ne prend pas très longtemps, je vous assure :)) En tout cas, voici comment il faut faire.

• Pour n=0 :
  et
• Supposons que, pour n fixé, la propriété soit vraie, c'est à dire :
  
  Alors au rang (n+1) :
  
  
• On a donc démontré que la propriété était vraie au rang 0, qu'elle était héréditaire, donc :

Et voilà ! Pour vous entrainer, vous pouvez aussi démontrer que :

Exemple 2

Vous croyiez être devenu un boss du raisonnement par récurrence ? Vous croyiez avoir tout compris ? Voilà qui devrait vous convaincre de la difficulté et de la puissance de ce raisonnement,en effet, nous allons effectuer deux raisonnements par récurrence à la fois. (âme sensible, s'abstenir) Rassurez-vous, si vous n'avez pas dépassé les années lycées, on ne vous demandera pas de comprendre cela.
Nous allons utiliser la suite de Fibonnacci :

Montrons que :

• Pour n=1 :
  
• Supposons que, pour n fixé, et soient vrais. Alors :
  
  
  
  
  Or Donc :
  
  
  
  Or Donc :
  
  
  
  D'où :
  
  
  La propriété est donc héréditaire.
• Par conséquent, on a bien démontré que :
  

Raisonnement multiple

Principe

Il y a toujours trois étapes au raisonnement par récurrence multiple qu'il faut bien suivre et dans l'ordre.
Prenons comme exemple la suite de Fibonacci :

Et montrons que ce qui se traduit par : Quelque soit l'entier naturel n, montrons que Fn est aussi un entier naturel.

• Etape d'initialisation : On vérifie que la propriété est vraie au rang le plus petit possible et un rang plus haut. C'est à dire pour n le plus petit possible et le n situé juste au dessus. (ici n=0 et n=1. C'est souvent le cas)
  
  
  Pour n=0, on a bien
  Pour n=1, on a bien
  
  
• On suppose que, pour n fixé, la propriété est vraie au rang n et au rang n+1. (c'est à dire pour un n donné) C'est l'hypothèse de récurrence. On démontre alors, grâce à l'hypothèse de récurrence que la propriété est toujours vraie au rang n+2.
  Cela vérifié, on peut alors dire que la propriété est héréditaire.
  
  On dit aussi parfois : On suppose que, pour n fixé, la propriété est vraie jusqu'au rang n. Mais si on utilise 3 hypothèses, il ne faut pas oublier d'initialiser 3 fois ! (donc de vérifier que ça marche jusqu'à n=3)
  
  
  Donc, d'après l'hypothèse de récurrence :
  
  
• Conclusion : On a démontré que la propriété était vraie au plus petit rang possible et qu'elle était héréditaire. Par conséquent, on a démontré que :

Exemple 1

On va de nouveau utiliser la suite de Fibonnacci :

Et cette fois-ci, nous allons tenter de démontrer la propriété suivante :
On la notera .

Soit fixé. (en effet, on ne fait une récurrence qu'avec une seule variable. On fait comme si p était connu, ce qui n'enlève rien à la validité du raisonnement.)

• Pour n=1 :
  Pour n=2 :
  Donc la propriété est initialisée.
• Supposons que, pour n fixé, , on ait : et . Alors :
  
  
  
  
  
  Donc la propriété est héréditaire.
• Par conséquent, on a bien démontré que :
  

Démonstration du raisonnement par récurrence

Et voilà le moment tant attendu, nous allons (enfin) démontrer que ce raisonnement tient la route ! Pour cela on va démontrer que, si on démontre par récurrence la propriété suivante :

Alors on a démontré que cette propriété était vraie. Et on va démontrer ça par l'absurde.
Are you ready ? So... go !

On suppose donc que P(0) est vraie et que, pour n fixé dans , si P(n) est vraie, alors P(n+1) est vraie aussi.
Il s'agit de prouver que : est vraie.
Considérons l'ensemble : . Il s'agit donc de montrer que .

Supposons c'est à dire :
Puisque et , admet un plus petit élement b. (d'après l'axiome fondamental de l'ensemble des entiers naturels)
Puisque, par hypothèse, P(0) est vrai, alors donc donc .
Puisque b est le plus petit élément de ,
Puisque , P(a) est vraie, donc, la propriété étant héréditaire, P(a+1) est vraie aussi. Donc Ce qui est impossible.
Donc l'hypothèse de départ : est fausse. Par conséquent on a démontré que .
Donc le raisonnement par récurrence est tout a fait juste, vérifié et certifié. ;-)





Et voilà ! C'est finit ! :) J'espère que vous avez fait un bon voyage dans le monde des Mathématiques ^^


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