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Cahier de l'élève -Mathématiques

Formules de trigonométrie

Le but de cet article est de réunir la plupart des formules de trigonométrie dont on peut avoir l'utilité durant ses études. Le tout a été classé par niveau : collège, lycée, études supérieurs. Cela dit, fort heureusement pour moi, je ne suis pas prof, donc je ne connais pas les programmes par coeur, par conséquent, les niveaux sont un peu approximatifs, mais ça vous donne une petite idée quand même.
En espérant que tout ceci vous sera utile :)

Collège

Image
Triangle ABC rectangle en B

\,\,\,cos \, = \, \frac{cote \,adjacent}{hypotenuse }\,\,\, \,\,\,sin \, = \, \frac{cote \,oppose}{hypotenuse }\,\,\, \,\,\,tan \, = \, \frac{ cote \, oppose}{cote \, adjacent }\,\,\,

On peut utiliser le mot : SOHCAHTOA comme moyen mémo technique. En effet, si on le sépare en 3 :
SOH : Sin, Opposé, Hypoténuse
CAH : Cas, Adjacent, Hypoténuse
TOA : Tan, Opposé, Adjacent

Lycée

Image
Le cercle trigonométrique

Formules : Cosinus et sinus des angles associés
\cos(-x) = \cos(x)
\sin(-x) = - \sin(x)

\cos(\pi - x) = - \cos(x)
\sin(\pi - x) = \sin(x)

\cos(x + \pi) = - \cos(x)
\sin(x + \pi) = - \sin(x)

\cos(\pi/2 - x) = \sin(x)
\sin(\pi/2 - x) = \cos(x)

\cos(\pi/2 + x) = - \sin(x)
\sin(\pi/2 + x) = \cos(x)

Formules d'Euler
cos(\theta) \, = \, \frac{e^{i \theta} + e^{- i \theta}}{2}
sin(\theta) \, = \, \frac{e^{i \theta} - e^{- i \theta}}{2i}

Formules d'additions
\cos(a + b) = cos(a) \times cos(b) - sin(a) \times sin(b)
\sin(a + b) = sin(a) \times cos(b) + sin(b) \times cos(a)

\cos(a - b) = cos(a) \times cos(b) + sin(a) \times sin(b)
\sin(a - b) = sin(a) \times cos(b) - sin(b) \times cos(a)
On trouve ces formules grâces aux formules d'Euler sur les exponentielles.

Moyen mémo-technique pour se souvenir
Cosinus - Contrariant.
Sinus si gentils.

En effet, une somme d'un cosinus se traduit par une différence.
Alors qu'avec le sinus, si c'est une somme cela reste une somme et une différence une différence...

Formules de duplication
Pour tout réel a:
\cos(2a) = cos(a)^2 - sin(a)^2
\cos(2a) = 2cos(a)^2 - 1
\cos(2a) = 1 - 2sin(a)^2

Pour tout réel a:
\sin(2a) = 2sin(a) \times cos(a)

Formules de linéarisation
Des formules de duplication on obtient :
\cos(a)^2 = \frac{1 + cos(2a)}{2}
\sin(a)^2 = \frac{1 - cos(2a)}{2}

Etudes supérieurs

Applications des nombres complexes

e^{i\theta} \, + \, e^{i\theta'} \, = \, e^{i\frac{\theta+\theta'}{2}} \, \times \, 2 cos(\frac{\theta - \theta'}{2})
e^{i\theta} \, - \, e^{i\theta'} \, = \, e^{i\frac{\theta+\theta'}{2}} \, \times \, 2 i sin(\frac{\theta - \theta'}{2})

On obtient alors une autre forme des formules d'additions :

cos(p) \, + \, cos(q) \, = \, 2 cos(\frac{p+q}{2}) \, cos(\frac{p-q}{2})
cos(p) \, - \, cos(q) \, = \, - 2 sin(\frac{p+q}{2}) \, sin(\frac{p-q}{2})
sin(p) \, + \, sin(q) \, = \, 2 sin(\frac{p+q}{2}) \, cos(\frac{p-q}{2})
sin(p) \, - \, sin(q) \, = \, 2 sin(\frac{p-q}{2}) \, cos(\frac{p+q}{2})

Linéarisation
D'après les formules d'additions :
cos(a) cos(b) = \frac{1}{2} [cos(a+b) + cos(a-b)]
sin(a) sin(b) = \frac{1}{2} [- cos(a+b) + cos(a-b)]
sin(a) cos(b) = \frac{1}{2} [sin(a+b) + sin(a-b)]

Exemple d'application
Exprimons \cos(3x) en fonction de \cos(x) :
  • Version à l'ancienne : cos(3x) = cos(2x+x) ... Un peu long et pas adapté dès qu'on veut faire \cos(10000x)
  • Ou, nouvelle version : cos(3x) = \mathcal{R}e \left(cos(3x)+isin(3x)\right) = \left(cos(x)+isin(x)\right)^3 = cos(x)^3 + 3icos(x)^2sin(x) - 3cos(x)sin(x)^2 - i sin(x)^3
    D'où : cos(3x) = 4cos(x)^3 - 3 cos(x)
    Et : sin(3x) = -4sin(x)^3 + 3 sin(x)

Conclusion

Et voilà un bon gros tour des formules de trigonométrie usuelles. Maintenant, plus qu'une seule solution : les apprendre et les s'entrainer à les utiliser pour avoir l'idée de s'en servir dans des démonstrations ou des exercices :)

ROC - Formule d'intégration par parties

Formule d'intégration par parties

Soit u et v deux fonctions continues et dérivables sur [a,b] (a<b). Alors :
\color{red}\int_{a}^{b} u v' = [u v]_a^b - \int_{a}^{b} u' v


Pour ceux a qui cela poserait problème, on dit la même chose en écrivant :
Soit u et v deux fonctions continues et dérivables sur [a,b] (a<b). Alors :
\color{red}\int_{a}^{b} u(x) \, v'(x) \, dx = [u(x) \, v(x)]_a^b - \int_{a}^{b} u'(x) \, v(x) \, dx


Démonstration

Soit u et v deux fonctions continues et dérivables sur [a,b] (a<b). Cherchons la dérivée de u v

(u v)' = u' v + u v'
Donc, puisque les dérivées de u et v sont continues, et puisque le produit de deux fonctions continues est une fonction continue, on peut intégrer sur [a,b] (a<b) :
\int_{a}^{b} (u v)' = \int_{a}^{b} (u' v + u v') = \int_{a}^{b} u' v + \int_{a}^{b} u v'
D'où la formule d'intégration par partie :
\int_{a}^{b} u v' = \int_{a}^{b} (u v)' - \int_{a}^{b} u' v = [u v]_a^b - \int_{a}^{b} u' v


Exemple d'application

Soit \,\, \forall x \in \mathbb{R} \,\, I=\int_{0}^{\pi} e^x \sin(x)dx \,\, et \,\, J=\int_{0}^{\pi} e^x \cos(x)dx.
Montrons que I=-J.

Pour cela, utilisons la formule d'intégration par parties en prenant :
\forall x \in \mathbb{R} \,\, u'(x) = e^x c'est-à-dire u(x) = e^x et
\forall x \in \mathbb{R} \,\, v(x)= \sin x c'est-à-dire v'(x) = \cos x.
Alors :
\forall x \in \mathbb{R} \,\, I = [e^x\sin x]_0^\pi - \int_{0}^{\pi} e^x\cos xdx = - \int_{0}^{\pi} e^x\cos xdx = - J
On a donc bien I=-J.




Ce ROC a été posé au bac S (France métropolitaine) en 2007. (dont vous aurez peut-être un jour le correction complète sur la Bnbox si DarKnight et moi avons le courage de la recopier)

Retrouvez d'autres ROC sur la Bnbox :)

Liste de primitives classiques

Cet article a pour but de recenser la plupart des primitives classiques à connaitre (études supérieurs) pour trouver des primitives plus complexes.
Bon courage :)

Liste des primitives

Je n'ai pas précisé les bornes partout parce que c'est un peu évident.

Fonction f Une primitive de f Fonction f Une primitive de f
(ax+b)^{\beta} \, (a \neq 0 \; \beta \neq -1) \frac{(ax+b)^{\beta + 1}}{a(\beta + 1)} \cos(ax+b) \frac{1}{a} \sin(ax+b)
\frac{1}{ax+b} \, (a \neq 0) \frac{1}{a} \ln |ax+b| \sin(ax+b) -\frac{1}{a} \cos(ax+b)
a^x \, (a \in \mathbb{R}^*_+ \ {1}) \frac{a^x}{\ln a} \frac{1}{\cos^2 x} \tan x
e^{ax+b} \, (a \neq 0) \frac{1}{a} e^{ax+b} \frac{1}{\sin^2 x} -cotan\,x
\ln x \, (x \in \mathbb{R}^*_+ \ {1}) x \ln x-x \frac{1}{\cos x} \ln \left|tan\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|
\frac{1}{x^2+a^2} \frac{1}{a} \arctan \left(\frac{x}{|a|}\right) \frac{1}{\sin x} \ln \left|tan\left(\frac{x}{2}\right)\right|
\frac{1}{x^2-a^2} \frac{1}{2a} \ln\left(\frac{x-a}{x+a}\right) \tan x -\ln \left|cos x\right|
\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} \ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)
ou
argsh \left(\frac{x}{|a|}\right)
cotan \, x \ln \left|sin x\right|
\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}} \ln\left||x+\sqrt{x^2-a^2}\right| \tan^2 x \tan x - x
\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \arcsin\left(\frac{x}{|a|}\right) \frac{1}{\cosh^2x} \tanh x
I_n \, = \, \int \frac{dx}{(1+x^2)^n 2I_{n+1} \, = \, \frac{x}{(1+x^2)^n} + (2n-1)In \frac{1}{\sinh^2x} -cotanh\,x
I_n \, = \, \int \frac{dx}{(1-x^2)^n 2I_{n+1} \, = \, \frac{x}{(1-x^2)^n} + (2n-1)In \frac{1}{\cosh x} 2 \arctan(e^x)
\frac{1}{(a+x^2)^{\frac{3}{2}} \frac{x}{a \sqrt{a+x^2} \frac{1}{\sinh x} \ln \left|\tanh \frac{x}{2} \right|
\frac{1}{(a-x^2)^{\frac{3}{2}} \frac{x}{a \sqrt{a-x^2} \tanh^2x x - \tanh x
\tanh x \ln \left|\tanh x\right|
cotanh \, x \ln \left|\sinh x\right|



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Infinité de l'ensemble des nombres premiers

Théorème

L'ensemble des nombres premiers est infini.

Lemme utile à la démonstration

Tout entier naturel n non premier mais différent de 1 admet au moins un diviseur premier.

Démonstration à connaitre

Raisonnons par l'absurde.
Supposons qu'il existe un nombre fini d'entiers premiers. Notons \mathcal{P} cet ensemble fini.
Alors il existe p tel que : \forall n \in \mathcal{P} \,\, n<p. C'est-à-dire que p est le plus grand entier premier. 2, 3, 5, 7, ..., p.

Le symbôle \forall signifie "Quelque soit", "Pour tout".
Le symbôle \in signifie "appartient".
Ce sont des symbôles Mathématique compréhensible par les matheux des quatre coins de la planète !!

Notons N \, = \, 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times ... \times p
Et notons alors N' \, = \, N + 1 \, = \, 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times ... \times p + 1
Le reste de la division euclidienne par 2, par 3, par 5, ..., par p est 1. Donc N' n'est pas divisible par 2, par 3, par 5, ..., par p.
N' est différent de 1, distinguons 2 cas :
  • Si N' n'est pas premier, alors, d'après le lemme, N' admet moins un diviseur premier qui sera supérieur à p. (en effet N' n'est pas divisible par 2, par 3, ..., par p) Il y a donc contradiction avec \forall n \in \mathcal{P} \,\, n<p. Donc l'ensemble des entiers premiers est infini.
  • Si N' est premier alors : N'>N>p. Il y a donc contradiction avec \forall n \in \mathcal{P} \,\, n<p. Donc l'ensemble des entiers premiers est infini.

Par conséquent, on peut en conclure qu'il y a une infinité de nombres premiers.



Retrouvez d'autres ROC sur la Bnbox :)


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Le raisonnement par analyse-synthèse

Introduction

Dans la série des "grosses méthodes de raisonnement" en mathématiques, je voudrais le petit frère...
Et oui, vous avez deviné, on va recommencer à raisonner ici, mais d'une manière encore différente.
Récapitulons... en Mathématiques, on distingue plusieurs types de raisonnement : le raisonnement direct, le raisonnement par récurrence, le raisonnement par l'absurde, et enfin le raisonnement par analyse-synthèse.

Il est un peu moins utilisé que ses grands frères, mais peut s'avérer très utile pour certaines démonstrations.

Mais alors qu'est-ce que tu attends ? Explique-nous !

Oui, oui, j'y viens j'y viens.

Principe


Je vais d'abord vous donner le principe global de la chose, puis j'expliquerai en détail avec un exemple imagé, et ensuite avec des vrais exemples mathématiques.

Supposons qu'on vous demande de démontrer quelque chose qui vous semble très compliqué au premier abord. Tellement que vous ne savez pas comment faire.
Le raisonnement par analyse-synthèse peut s'avérer une bonne solution. Il se déroule en 2 étapes :

L'Analyse : Supposez que ce que vous voulez démontrer est vrai, et cherchez des conditions nécessaires à satisfaire pour que cela puisse être vrai.

La Synthèse : Vérifiez si la chose qui vérifie ces conditions est bien solution du problème posé.

Bon, vu comme ça, c'est très abstrait ;). Donc on va travailler sur des exemples assez simples : un exemple complètement hors du domaine des mathématiques, pour vous permettre de mieux appréhender le principe du raisonnement; et un autre exemple d'utilisation en mathématiques.

Exemples


Le BN géant
Un jour, on vous demande de prouver l'existence d'un BN au chocolat géant vivant !
A première vue, ça semble assez difficile à faire... Et vous n'avez aucune idée de la manière de procéder.
Alors procédons par Analyse-Synthèse !

  • Première partie, l'analyse : supposons qu'il existe un BN au chocolat géant vivant quelque part dans le monde.
    Si un BN de ce genre existe, il est évident qu'il vivra nécessairement loin de l'eau, parce qu'un BN dans l'eau devient tout mou et se dissous...
    Si ce type de BN existe, il se trouvera nécessairement loin des régions chaudes, sinon son chocolat fondrait et il disparaitrait :(.
    Il sera aussi nécessairement loin des régions très froides, pour ne pas geler.

    Ces conditions nécessaires qu'on vient de trouver réduisent déjà notre champ de recherche. On sait que maintenant, le seul endroit où on peut trouver un BN de ce type, c'est en France.
    Mais la France c'est toujours assez grand. On va donc chercher d'autres conditions nécessaires encore plus restrictives.

    Un grand BN comme ça, ça a besoin de beaucoup de chocolat pour tenir ensemble... Ca doit donc vivre nécessairement près d'une chocolaterie, ou d'une biscuiterie.
    Et en plus, les BN sont créés à Nantes, donc forcément, le grand BN habite près de ses parents, donc près de Nantes.
    Ce qui nous amène directement à la conclusion que le BN géant habite dans la biscuiterie BN.

  • Deuxième partie, la synthèse : nous devons vérifier notre conclusion, c'est-à-dire que nous devons prendre le premier avion pour Nantes (ou le premier TGV :P), et nous rendre à la biscuiterie pour vérifier que le BN géant s'y trouve.
    Soit on le trouve, et on a bien prouvé qu'il existe.
    Soit on ne le trouve pas, et on a prouvé qu'il n'existe pas, puisqu'il n'est pas à l'endroit où il devait nécessairement être.

(Maintenant, eh bien je vous laisse aller vérifier par vous-même. :P)



Fonctions paires et impaires
Voici l'énoncé de l'exercice : Soit f une application définie sur \mathbb{R}. Montrer que f s'écrit d'une façon unique comme la somme d'une application paire et d'une application impaire (application est synonyme de fonction dans ce cas).

A première vue, et en essayant différentes méthodes, ce problème paraît difficile à résoudre. Il se peut même que vous n'y arriviez pas :P. Mais c'est normal.
Pour résoudre ce problème, il faut utiliser le raisonnement par analyse-synthèse.

Allez on est partis !

Première étape : L'Analyse

Soit f une fonction définie sur \mathbb{R}.
Supposons qu'il existe 2 fonctions, que l'on nommera p et i (p pour paire, et i pour impaire, un peu d'originalité :P), qui soient solution du problème, c'est-à-dire des fonctions telles que :

- p soit paire
- i soit impaire
- f soit la somme de ces deux fonctions, i.e. f \, = \, p \, + \, i

Traduisons ces 3 phrases : ces deux fonctions sont donc telles que :

 \forall x \in \mathbb{R} \, \left\{ \begin{array}{rcl} f(x) \, = \, p(x) \, + \, i(x) \\ p(-x) \, = \, p(x)\\ i(-x) \, = \, -i(x)\\ \end{array} \right.
Jusque là on n'a fait que traduire en rajoutant des x les 3 conditions vérifiées par i et p pour être solutions du problème.
Evidemment, pour l'instant, cela ne nous avance pas à grand chose.
Mais le principe de l'analyse-synthèse, comme pour l'exemple du BN géant, est d'affiner au maximum la recherche pour obtenir à la fin des conditions nécessaires suffisamment restrictives.

On va donc faire quelques petites manipulations sur les 3 "équations" obtenues.

Par exemple, cherchons f(-x). (Oui, j'avoue, il faut parfois faire preuve d'inventivité... Ca peut sembler tomber du ciel, mais au bout d'un moment, vous aurez pris l'habitude, et vous aurez un certain flair pour détecter ce qu'il faut faire.)

D'après les définitions des fonctions paires et impaires, on obtient :


 \forall x \in \mathbb{R} \, f(-x)  = \, p(-x) \, + \, i(-x)
 = \, p(x) \, - \, i(x) \,\,\, (1)

Or on sait qu'on a aussi :


 \forall x \in \mathbb{R} \, f(x)  = \, p(x) \, + \, i(x) \,\,\, (2)

On dispose donc des relations (1) et (2) ci-dessus.
Il faut maintenant en faire quelque chose. Et là, (oh miracle! ^^) on remarque que si on fait la somme de ces deux relations, on aura disparition de la fonction i.
De même on voit que si on fait la différence des deux relations, ce sera la fonction p qui va disparaître.
La preuve :





 (1) \, + \, (2) \, \longrightarrow \forall x \in \mathbb{R} \,\, f(-x) \, + \, f(x) = \, p(x) \, + \, p(x) \, + \, i(x) \, - \, i(x)
= \, 2p(x)

D'où on en tire par simple division : \forall x \in \mathbb{R} \,\, p(x) \, = \, \frac{f(x) \, + \, f(-x)}{2}

D'autre part, on a :




 (1) \, - \, (2) \, \longrightarrow \forall x \in \mathbb{R} \,\, f(-x) \, - \, f(x) = \, p(x) \, - \, p(x) \, - \, i(x) \, - \, i(x)
= \, -2i(x)

D'où on en tire par une division et un petit changement de signe : \forall x \in \mathbb{R} \,\, i(x) \, = \, \frac{f(x) \, - \, f(-x)}{2}

Vous vous en doutez, après cela, on arrive bientôt à la fin de notre analyse... On a assez torturé les formules, et elles n'ont plus rien à nous dire.

Faisons donc une conclusion de l'analyse.
On sait que si f peut s'écrire comme une somme de deux fonctions, l'une paire et l'autre impaire, il est nécessaire que ces fonctions soient de la forme :
\forall x \in \mathbb{R} \,\, p(x) \, = \, \frac{f(x) \, + \, f(-x)}{2}
\forall x \in \mathbb{R} \,\, i(x) \, = \, \frac{f(x) \, - \, f(-x)}{2}
Ceci nous assure aussi que si ces fonctions existent, elles sont uniques (en effet, il n'y a qu'une seule fonction que l'on peut définir de telle manière).

On a bien avancé dans notre travail, et on a fait le plus dur.
Mais tout n'est pas terminé.


Deuxième étape : La Synthèse

Il reste à vérifier si les fonctions p et i trouvées sont bien solution du problème, c'est-à-dire que : p est paire, i est impaire, et f s'écrit comme la somme des deux.

Reprenons les fonctions p et i définies à la fin de notre analyse.
On a alors :

\forall x \in \mathbb{R} \,\, p(-x)  = \, \frac{f(-x) \, + \, f(-(-x))}{2}
 = \, \frac{f(-x) \, + \, f(x)}{2}
 = \, p(x)

D'où p est bien une fonction paire.

De plus:

\forall x \in \mathbb{R} \,\, i(-x)  = \, \frac{f(-x) \, - \, f(-(-x))}{2}
 = \, \frac{f(-x) \, - \, f(x)}{2}
 = \, -i(x)

D'où i est bien une fonction impaire.

Enfin, on a :
\forall x \in \mathbb{R} \,\, i(x) \, + \, p(x)  = \, \frac{f(x) \, - \, f(-x) \, + \, f(x) \, + \, f(-x)}{2}
 = \, \frac{2f(x)}{2}
 = \, f(x)

D'où on a bien  f \, = \, p \, + \, i .

Les 3 conditions de départ étant bien vérifiées par i et p, on en déduit que ces deux fonctions sont bien solution du problème posé. Donc que celui-ci admet bien une solution :P.

Donc : une fonction f étant donnée, il existe un unique couple de fonctions, l'une paire, l'autre impaire, telles que leur somme soit égale à f.

Et vous pouvez enfin mettre à la fin de votre copie le beau CQFD habituel. ;)

Conclusion


Je sais que vous pouvez trouver ça très étrange comme méthode de pensée. J'avoue que j'ai moi-même eu un peu de mal à m'y faire et à bien comprendre le principe.
Mais ne vous inquiétez pas. Comme d'habitude, la pratique amène une meilleure compréhension de la théorie. A force de faire ce type de raisonnements, vous finirez par bien le maîtriser ;).



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Bases de la logique

Introduction



La logique est quelque chose d'important, non-seulement en mathématiques, mais aussi dans la vie de tous les jours. En effet, c'est mieux d'avoir un esprit bien structuré :P.

Vous m'objecterez que la logique, c'est quelque chose d'intuitif : on dit de quelqu'un qu'il est "logique", ou l'inverse, au vu de ses actions, de ses attitudes, etc...
En effet, la logique est quelque chose d'intuitif, de très intuitif.
Mais depuis longtemps, certains ont pensé codifier cette "logique".

Je sais que cela va vous paraître bizarre, mais en lisant la suite du cours, tout va s'éclairer (j'espère, sinon je n'aurai servi à rien :P).

A propos de la logique en mathématiques maintenant, on peut dire qu'elle est la base de beaucoup de choses, et notamment des méthodes de raisonnement. Ce lien entre la logique et les méthodes de raisonnement sera explicité un peu plus loin, mais sachez simplement que si personne n'avait codifié la "logique" intuitive, que nous possédons tous, eh bien cette logique sauvage n'aurait peut-être pas permis de démontrer tous ces théorèmes.
Car on ne démontre quelque chose qu'en ayant l'esprit bien structuré.

Ce cours n'a pas pour but de vous formater le cerveau :P. Il expose les bases de la logique utilisée en mathématiques (semblable à celle utilisée en SI, ou dans d'autres matières), et et a simplement pour but de vous aider à avoir les idées claires avant de vous lancer dans une démonstration compliquée. Il sera complété par un autre cours, axé principalement sur les méthodes de raisonnement.


Les assertions


Définition :
On appelle assertion toute phrase qui ne peut être que vraie ou fausse.

Ici, je pense que la définition est assez claire :P. Une assertion est une phrase qui peut être soit vraie, soit fausse.

Exemples :

Exemple dans la vie de tous les jours :
"J'ai un chien."
Cette phrase est une assertion. Soit elle est vraie, et on a un chien, soit elle est fausse et on n'en a pas.
On ne peut pas avoir un demi-chien (si, si je vous assure :P).


Exemples en maths :
-"2 est un entier naturel."
Cette phrase est une assertion, et elle est vraie.
-"\sqrt 2 est un nombre rationnel."
Cette phrase est aussi une assertion, mais celle-ci est fausse (cf. cours sur le raisonnement par l'absurde si vous voulez une preuve ;)).


Bon, je pense que vous avez compris ce qu'est une assertion. Vous voyez, la "logique", ce n'est rien de tordu qui tend à formater nos cerveaux, c'est quelque chose de tout a fait "logique", et rationnel.
Une fois que vous êtes sûrs d'avoir bien compris, on va passer à l'étape suivante, on va parler d'opérateurs logiques, et ça va se compliquer un petit peu. Mais n'ayez pas peur, c'est toujours logique :P.


Les opérateurs logiques


C'est quoi ?

Lorsque l'on a une ou plusieurs assertions (une ou plusieurs phrases), on peut en former d'autres, grâce à ce qu'on appelle des opérateurs logique.
Par exemple, vous pourrez grâce à eux dire que 2 phrases sont vraies en même temps, ou que soit l'une soit l'autre est vraie, ou que l'une implique l'autre.
C'est une notion assez étrange, et surtout le mot "opérateur", qui déstabilise un peu au début. Mais tout ça n'a rien de très sorcier.


La négation, la conjonction, et la disjonction :

La négation

On commence par le plus simple : la négation, aussi appelé opérateur NON.

Prenez une assertion que vous appelez A : "J'ai un chien".
Supposez qu'elle est vraie, et que vous ayez un chien.

On appelle non-A, la négation de A, c'est-à-dire l'assertion contraire  : "Je n'ai pas de chien".
En l'occurence, puisque vous avez un chien et que A est une phrase vraie, alors non-A est une phrase fausse.

Si vous vous placez dans la situation inverse : vous n'avez pas de chien.
Alors pour vous, la phrase non-A sera vraie, et A sera fausse.

J'espère que vous avez suivi ;).
Résumons-nous :
non-A est l'assertion qui est vraie lorsque A est fausse; et fausse lorsque A est vraie.


On peut résumer cela par un tableau qu'on appelle table de vérité :


A non-A
Vraie Fausse
Fausse Vraie

Je pense que vous comprendrez mieux avec le tableau.
Pour le lire, partez de la gauche et suivez : si la phrase A est vraie, non-A est fausse.
Puis ligne suivante : si A est fausse, non-A est vraie.

Ce tableau de vérité recense tous les cas possibles pour les deux phrases. Vous verrez qu'ils sont très utiles par la suite pour voir comment fonctionnent les autres opérateurs logiques. Donc je vous conseille de bien avoir assimilé la notion de tableau de vérité.

(Vous pouvez vous entraîner à former des négations de phrases diverses, ça vous sera très utile par la suite ;)).



La conjonction

Prenons deux assertions : A et B.
A : "Je mange du dessert".
B : "Je mange du fromage".

Ce qu'on appelle conjonction des deux assertions, c'est la phrase qui relie les deux par le mot ET. (La conjonction est aussi appelée l'opérateur ET ^^).

Dans notre cas, la phrase (A et B), est la phrase : "Je mange du fromage ET du dessert".
Rien de très savant, comme vous le voyez :P.

On définit donc la conjonction ainsi :
(A et B) est une nouvelle assertion (phrase) qui est vraie si et seulement si A et B sont vraies en même temps.

Définition un peu tordue qu'on va se dépêcher de mettre dans une table de vérité pour y voir plus clair :


A B A et B
Fausse Fausse Fausse
Fausse Vraie Fausse
Vraie Fausse Fausse
Vraie Vraie Vraie

Interprétons le tableau :
Ligne 1 : A est fausse et B aussi, donc d'après la définition, la phrase (A et B) est fausse.
Ligne 2 : C'est pareil puisque B est vraie, mais A est fausse.
Ligne 3 : Idem.
Ligne 4 : Cette fois, les deux phrases sont vraies en même temps, donc (A et B) est une assertion vraie.

(Référez-vous en toujours à un exemple de phrase simple en cas de problème, ça aide toujours à comprendre.)



La disjonction

Je pense que vous commencez à comprendre, donc on va passer assez vite sur cet opérateur là : la disjonction (aussi appelé l'opérateur OU).
Rien qu'au nom vous devez deviner de quoi il s'agit ^^.
Eh oui, c'est un opérateur qui sert à dire "ou".
"Je mange du fromage OU du dessert".

(Attention  ! Le "OU" mathématique n'est pas exclusif, c'est-à-dire que si vous mangez du fromage et du dessert, ça marche quand même.)

Une petite définition pour bien poser les choses :
(A ou B) est une assertion vraie lorsque l'une des deux phrases est vraie au moins.


A B A ou B
Fausse Fausse Fausse
Fausse Vraie Vraie
Vraie Fausse Vraie
Vraie Vraie Vraie

Ligne 1 : Aucune des deux phrases n'est vraie, donc forcément, (A ou B) est fausse.
Ligne 2 : On a la phrase B qui est vraie, donc (A ou B) est vraie.
Ligne 3 : idem avec A.
Ligne 4 : Les deux phrases A et B sont vraies. Donc au moins l'une d'elle est vraie. Cela rejoint ce que j'ai expliqué plus haut. Le OU ne se traduit pas par : soit l'un soit l'autre. Quand les deux assertions sont vraies en même temps, la disjonction des deux est vraie aussi :).


Voilà on arrive à la fin de cette petite sous-partie. Ces 3 opérateurs sont une petite mise en bouche avant ceux qui servent quotidiennement en maths ;).
Mais pour pouvoir utiliser ces-derniers, il vaut mieux avoir compris les précédents. Donc je vous conseille une relecture attentive de ce qui est juste avant, et puis une fois que vous êtes au point avec votre fromage et votre dessert (:P), passez à la suite.



L'implication, et l'équivalence :

L'implication

Allons-y, passons aux maths proprement dit.
Sachez que les deux opérateurs logiques que vous verrez dans ce paragraphe sont utilisés tous les jours (voire même plus) dans les théorèmes, les exercices, les démonstrations (même si vous ne les voyez parfois pas).

L'implication... Qu'est-ce que c'est  ? Comment la définir avec des mots simples...
Imaginez qu'il pleuve. Vous êtes devant la porte de votre maison, prêt(e) à sortir, habillé(e) en T-shirt manches courtes. Là, un de vos amis vous dit : "Attention  ! Il pleut  !".
Là vous vous dîtes (si vous êtes sains d'esprit :p) : "Ah, mais s'il pleut, alors je vais mettre un k-way".
Dans notre cas, le fait qu'il pleuve implique que vous mettiez un k-way.

Après cette approche simple de la notion d'implication, voici la vraie définition :
A \Longrightarrow B (qui se lit "A implique B") est une assertion fausse dans le SEUL cas où A est vraie alors que B est fausse.

Revenons à notre histoire de k-way, et essayons de regarder dans quel cas notre implication est fausse.
Comme dit dans la définition, elle est fausse lorsque, alors qu'il pleut, vous ne prenez pas votre k-way.
En effet, dans ce cas là, le fait qu'il pleuve n'implique pas que vous preniez votre parapluie.

Attention : Si votre assertion de gauche est fausse, alors elle implique tout, nimporte quoi, et ce que vous voulez.
Exemple : Les poules ont des dents \Longrightarrow Je mets mon K-way.
Le soleil est noir \Longrightarrow Je mets mon K-way.
etc, etc...

Récapitulons le tout sous forme d'une table de vérité :


A B A implique B
Fausse Fausse Vraie
Fausse Vraie Vraie
Vraie Fausse FAUSSE
Vraie Vraie Vraie

Et effectivement, on retrouve bien ce que dit la définition : Le seul moment ou (A implique B) est une phrase fausse, c'est lorsque B est fausse alors que A est vraie.



Information importante : (A implique B) est aussi la phrase (non-B implique non-A). Je vous laisse le soin de faire une petite table de vérité pour le vérifier, c'est à votre portée maintenant ;). Cependant, sachez que la phrase (non-B implique non-A) est appelée contraposée de l'implication (A implique B). Elle se révèle très utile pour certaines démonstrations où elle est plus simple à démontrer que l'implication.


Petite info supplémentaire pour ceux que cela peut intéresser : La phrase (A implique B) est aussi la phrase ((non-A) ou B).
Vous pouvez vous amuser à faire la table de vérité de cette dernière phrase pour vérifier, cela fera un bon exercice pour vos méninges ;). Sachez aussi que cett propriété ne sert jamais (je ne m'en suis jamais servi ^^). Je ne vous la donne qu'à titre d'exercice et d'information ;)).


L'équivalence

Comme le précédent opérateur, celui-ci va également servir dans beaucoup de démonstrations.
L'équivalence, qu'est-ce que c'est en simple ?
Je pense que le mieux est de vous donner la définition en premier :
Si on a A et B deux assertions, alors on dit que A "équivaut" à B si et seulement si les deux assertions sont simultanément vraies et fausses. On note l'équivalence entre A et B par une double flèche : A \Longleftrightarrow B.

Il s'agit en fait d'une double implication (on peut le voir aux flèches qui ressemblent aux flèches d'implication^^).
Si A est vraie, alors B est vraie, et si B est vraie, alors A est vraie.
Idem si l'une des phrases est fausse. On a donc bien les deux phrases qui sont vraies ou fausses en même temps.

Une petite table de vérité pour récapituler ça, puis on passera à quelques propriétés des opérateurs logiques. :)

A B A équivaut à B
Fausse Fausse Vraie
Fausse Vraie Fausse
Vraie Fausse Fausse
Vraie Vraie Vraie

Comme je l'ai dit avant, l'équivalence peut se voir comme une double implication (ou une double contraposée, cf. plus haut^^). La phrase (A équivaut à B) est docn aussi la phrase :
-((A implique B) ET (B implique A))
mais aussi
-((A implique B) ET (non-A implique non-B)) (par la contraposée).
Ce qui nous montre que pour démontrer une équivalence, il faudra démontrer les deux implications ;). (Voir l'article sur les méthodes de raisonnement^^)


Quelques petites choses à savoir :

Bon je l'avoue je suis passé assez vite sur la présentation de l'équivalence. Mais ne vous inquiétez pas, à force de l'utiliser, vous verrez de mieux en mieux ce que c'est.
Tout ce qui suit est un ensemble de propriétés plus ou moins intéressantes sur les opérateurs logiques.
Veillez à bien les connaître, parce qu'elles peuvent toujours servir.;).

Associativité, distributivité, commutativité :

Les opérateurs logique ET et OU sont associatifs et commutatifs.

Associatifs veut dire que l'on peut les associer comme on l'entend, cela ne change pas le sens de la phrase que l'on veut dire :
(A et B et C)=(A et(B et C))=(A et B) et C) (et pareil pour le OU ;)).
Par analogie aux nombres entiers : (1+2)+3 = 1+(2+3) = 1+2+3.
Cela peut être pratique dans certains cas.

Commutatifs veut dire que leur place importe peu, et donc qu'on peut échanger deux phrases reliées par un tel opérateur.
Exemple : (A ou B) = (B ou A)
En effet : "Je prendrai du fromage ou du dessert" et "Je prendrai du dessert ou du fromage" sont deux assertions qui veulent dire la même chose.
On peut à nouveau comparer ces propriétés à celles des nombres entiers : 1+2 = 2+1.


Et à propos de la distributivité ?
Eh bien sachez que chacun des deux opérateurs ET et OU est distributif par rapport à l'autre.
C'est-à-dire qu'ils se comportent comme la multiplication par rapport à l'addition : a(b+c)= ab + bc.

Ainsi : (A et (B ou C)) est aussi la phrase ((A et B) ou (A et C)).
Et : (A ou (B et C)) est aussi la phrase ((A ou B) et (A ou C)).

Ces trois propriétés des opérateurs OU et ET se démontrent très facilement en construisant des tables de vérité. Je vous conseille d'essayer de le faire d'ailleurs, c'est un très bon entraînement.

Lois de De Morgan :

Ces lois sont assez simple à retenir dans le principe, mais les écrire avec les notations que j'ai utilisé jusqu'à présent va être difficile.
Enfin... Vous allez avoir du mal à comprendre facilement.
Mais je vous fait confiance, un peu de courage ;).
(Juste après, je vous donnerai un moyen mnémotechnique pour s'en rappeler à coup sûr).

Voici donc ces lois :

non-(A et B) est aussi ((non-A) ou (non-B))
et
non-(A ou B) est aussi ((non-A) et (non-B))


Vous voyez-bien que vous êtes perdus ? :p
Bon maintenant je vais vous montrer comment je les ai apprises et comment je m'en souviens.
Tout d'abord il faut s'imaginer et retenir que l'opérateur OU s'écrit par un +.
Et l'opérateur ET par un point, comme pour la multiplication : . .
Ensuite, la négation de la phrase se représente par une barre : \bar{A}= non-A.

(Si vous avez fait de la SI au lycée, vous êtes certainement déjà familiarisés avec ces notations, dans ce cas, tant mieux. Sinon, il va falloir faire un effort.)
Si on réécrit les lois, on a donc :
(\bar{A.B}) = \bar{A} + \bar{B}
et
(\bar{A+B}) = \bar{A} . \bar{B}

Je ne sais pas vous, mais moi ça me paraît de suite plus limpide :P.
Enfin bref... Comment se souvenir de cette loi ?
Pour ma part, je me dis que si j'ai A.B avec une barre au-dessus et que je veux le changer, je coupe la barre en deux, et je change le truc du milieu...

Vous pouvez aussi essayer de retenir la version normale :
La négation d'une conjonction de deux phrases est la disjonction de la négation de ces phrases.
Ou encore :
Le NON d'un ET est le OU des NON.

A vous de trouver ce qui vous convient le mieux. Tant que vous les retenez, c'est l'essentiel ;).


A propos de la démonstration de ces lois... Eh bien vous vous doutez bien qu'elle se fait de la même manière que pour les autres propriétés, c'est-à-dire grâce à la table de vérité ! ^^

Et voilà, on est arrivés à la fin de cette grande première partie sur les opérateurs. Je vous conseille de vous reposer un peu avant de passer à la suite, parce que c'est encore plus "prise de tête". :d

Il existe d'autres opérateurs logiques, comme le OU-exclusif, le NOR, ou le NAND (en anglais). Mais ils ne sont pas utilisés en général en maths. S'ils vous intéressent (table de vérité, comment ça marche, etc...), posez vos questions sur le forum.


Les prédicats


C'est quoi ?

Huh  ? ? :blink: Qu'est-ce que tu vas encore nous inventer  ? Tu crois pas qu'on a assez mal à la tête comme ça  ?

Euh, je suis sûr que si... Mais il faudra bien y passer un jour.
Je vous donne la définition tout de suite, comme ça vous souffrirez moins longtemps ;).
(Mais ne vous inquiétez pas, je ne vais pas vous laisser agoniser, je vais tout vous expliquer.)

Soit E un ensemble. Un prédicat de référentiel E est un énoncé de la forme : A(x, y, ...) où x et y sont des lettres appelées variables telles que lorsque l'on transforme ces variables par des objets de E, on obtienne une assertion.

Maintenant que le gros morceau de ce cours est passé (et oui après c'est vraiment super simple;)), je passe aux explications (une petite partie a été emprunté à BN (dans son cours sur le raisonnement par récurrence), parce que j'ai trouvé ça assez bien expliqué ;)).

On commence par E : c'est un ensemble.
C'est-à-dire ? Eh bien c'est à dire que c'est un ensemble de nombres, de patates,de carottes, de BN, bref de tout ce que vous voulez  ! En gros c'est comme si vous aviez un sac de billes.

Maintenant prenons un prédicat que l'on appellera A et dont la variable sera x.
(Une variable est comme son nom l'indique... "variable". Donc elle n'est pas définie, elle peut prendre toutes les valeurs qu'on lui donne.)
Par exemple A(x) sera : "x est bleue".
Voilà ce qu'on appelle un prédicat : une phrase qui ressemble à une assertion, mais où il y a quelque chose qu'on ne connaît pas : la variable.

Attention : un prédicat n'est ni vrai ni faux. En effet dans un prédicat on ne précise pas ce qu'est la variable. (c'est comme si on vous disait : "j'ai une boîte et je vais faire entrer des objets dedans", ne connaissant ni la taille de la boîte, ni celle des objets, vous êtes dans l'incapacité de me dire si mon objet rentrera ou non dans la boîte.
Par contre si on remplace la variable de notre prédicat par des éléments de notre sac de billes, on obtiendra une assertion.

Imaginons que la bille 1 soit rouge et la bille 2 soit bleue.

On aura A(1) : "La bille 1 est bleue", qui sera une assertion fausse.
Par contre A(2) sera vraie, puisque la deuxième bille est bien bleue.


J'espère que vous commencez à entrevoir que ce n'est pas aussi compliqué que la définition semblait faire croire ;).

Allez on passe à quelques exemples, et tout devrait être bon après ;).


Quelques exemples :

Exemple 1 :

Prenons un prédicat A de référentiel \mathbb{R}.
(cela veut dire que dans notre prédicat, on remplacera la variable par des éléments de \mathbb{R} pour avoir une assertion vraie ou fausse.
A(y) : "y est un entier"

On aura donc : A(2) vraie, puisque "2 est un entier".
Mais A(1.2) fausse, tout comme A(\sqrt 2).

Deuxième exemple :

Prenons le prédicat B(c) : " c ne mange jamais ", de référentiel l'ensemble des êtres humains.

On peut avec presque 100% de chances affirmer que B(Jacques) est fausse, aussi bien que B(Pierre) et B(Jean).

(Bon c'était un exemple un peu débile, je l'avoue :P)

Allez un petit troisième pour la route :

Soit C(x,y) le prédicat de référentiel \mathbb{N} : "x divise y".

(Attention, ici on a 2 variables dans le prédicat. Mais cela ne change rien au principe, comme vous allez le voir.)

On sait que 2 divise 4. Donc on peut écrire C(2,4) est une assertion vraie.
De même C(2,18) est également vraie.
Par contre, puisque 3 ne divise pas 19, on a C(3,19) qui est une assertion fausse.


J'espère que vous avez tout compris. Si ce n'est pas le cas, je vous invite vivement à faire un tour sur le Bar à Nougat pour poser vos questions. C'est essentiel de comprendre ce qu'est un prédicat, même si c'est assez abstrait je vous l'accorde. :oui:
On va enfin pouvoir passer à la dernière partie du cours : celle qui entre enfin dans les maths proprement dit. ;).


Les quantificateurs


Définition :


Les quantificateurs sont des "objets", des "choses", utilisés partout en mathématiques.
C'est donc le dernier point de ce cours, et il est fondamental.
Prenons un A(x) un prédicat de référentiel E.

On peut alors définir deux assertions :


La première :
\forall x \in E \,\, A(x)

Cette assertion est vraie si et seulement si, quelque soit l'objet x de E que l'on prend, A(x) est vraie.

La seconde :
\exists x \in E \,\, A(x)

Cette assertion est vraie si et seulement si il existe au moins un objet de E tel que A(x) soit vraie.



Vous l'aurez donc compris, le symbole \forall signifie "quelque soit", ou bien "pour tout".
(ex :  \forall x \in \mathbb{R} \,\, f(x)=0 se lit : "Quelque soit le nombre x réel, son image par la fonction f est 0", ou bien "Pour tout x dans l'ensemble des réels, son image par f est nulle".)


D'autre part, le symbole \exists veut dire : "il existe un élément tel que".

(Attention à ne pas oublier le "tel que"  ! !).


Petit exemple de manipulation des deux assertions :

Soit A(x) un prédicat de référentiel E=\mathbb{R} : "x est un nombre entier".

L'assertion : \forall x \in \mathbb{R} \,\, A(x) , c'est-à-dire : "Quelque soit le nombre réel, il est entier", est bien évidemment fausse.

Par contre l'assertion :\exists x \in \mathbb{R} \,\, A(x) , c'est-à-dire : "Il existe un nombre réel tel que celui-ci soit un entier", est vraie.


Je pense que cet exemple est assez clair, donc je n'en mettrai pas d'autres. Vous aurez le temps d'en voir beaucoup d'autres au fur et à mesure ;).
Faîtes juste attention de ne pas vous embrouiller l'esprit entre prédicat et assertion, et ça devrait aller.


Choses à savoir sur les quantificateurs:

Prenons un prédicat A(x) de référentiel E, et B l'assertion : "Quelque soit x dans E, A(x) est vraie".

Comment exprimer la négation de B ? C'est-à-dire comment dire le contraire ?
Il suffit de réfléchir quelques secondes et la réponse vous sautera aux yeux.
Comment dire que le fait que tous les élèves d'une classe ont 20/20 à chaque devoir ? Il suffit de dire qu'il y en a un qui n'a pas 20.
Eh bien avec toutes les lettres et symboles bizarres, c'est le même principe.

Si B est : \forall x \in E \,\, A(x)
i.e. : "Quelque soit l'objet de E choisi, A(x) est vraie."
Alors non-B est : \exists x \in E \,\, non-A(x)
i.e. : "Il existe au moins un objet dans E tel que A(x) est fausse."


Ce qui est génial (^^), c'est que ça fonctionne de la même manière dans l'autre sens. En effet, le contraire de : "Il existe un élève qui n'a pas 20", c'est bien : "Tous les élèves ont 20".

Si C est : \exists x \in E \,\, A(x)
i.e. : "Il existe un objet dans E tel que A(x) est vraie."
Alors non-C est : \forall x \in E \,\, non-A(x)
i.e. : "Pour tous les objets de E, A(x) est fausse."



C'est assez mécanique, et cela fonctionne de la même manière si on a plusieurs quantificateurs dans la même phrase ( vous verrez certainement cela plus tard ;)). Donc c'est vraiment un truc à prendre  : Le contraire d'il existe est quelque soit, et inversement.

Une fois que vous avez compris ça, ainsi que le principe des prédicats et des assertions, et une fois que vous aurez joué un nombre suffisant de fois avec, tout vous paraîtra limpide et... logique ;).


Conclusion


Bon voilà, c'est fini. J'espère que tout ça vous a plu. Normalement oui, puisque ça ne parlait pas beaucoup de maths ^^. Cela dit, ne vous réjouissez pas trop vite. La "logique", c'est la base. C'est cela qui va nous servir (comme dit en introduction), à toutes nos démonstrations. C'est donc quelque chose de primordial de lire ce chapitre, de bien le comprendre, de l'analyser, et de le mettre en pratique avec plein d'exemples.

Une fois que tout cela est bien assimilé, vous pourrez passer au chapitre suivant, qui concerne les méthodes de raisonnement, où on utilisera à loisir ce que vous avez vu dans ce cours ;).



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Le raisonnement par l'absurde

Introduction et principe


Parlons maintenant un peu du raisonnement par l'absurde, belle méthode de raisonnement s'il en est !

C'est quoi encore ça ? Non mais pas question que j'apprenne quelque chose d'absurde !

Bon avant de commencer, une précision : le raisonnement par l'absurde n'est pas absurde comme son nom l'indique. Il est même tout ce qu'il y a de plus logique.
Pour l'expliquer en des mots simples :
Vous savez que quelque chose est vrai. Mais vous ne savez pas trop comment le démontrer...
Eh bien ce n'est pas si compliqué que cela peut le paraître. Prenez ce quelque chose, et, même si vous savez qu'il est vrai, supposez qu'il est faux !

On sait que c'est vrai... Et tu nous dit de supposer que c'est faux... Où ça nous mène tout ça ?

J'y viens, j'y viens. En partant de la supposition que votre quelque chose est faux, et en développant un petit peu (ou beaucoup), au bout d'un moment, vous arriverez forcément à une contradiction, à quelque chose que vous savez être forcément faux.
Si vous obtenez une contradiction, cela veut dire que votre supposition de départ était fausse, et donc que votre quelque chose est vrai.
(Et oui, c'est logique, parce que si, en supposant que votre quelque chose était faux, vous n'aviez pas de contradiction et que vous arriviez à un résultat cohérent, cela voudrait dire... que votre quelque chose était bien faux.)

Si j'étais vous, je relirai plusieurs fois le paragraphe précédent, de manière à bien comprendre le principe du raisonnement. Même en essayant de faire le plus simple possible,j'ai bien peur que ce ne soit pas vraiment limpide à la première lecture ;)


Tout ça vous semble un peu embrouillé je pense. Mais avec quelques exemples et de la pratique, ça va venir.
D'ailleurs en parlant d'exemples, on va y passer tout de suite, mais avant ceux-ci, je vous rappelle comment raisonner par l'absurde, puisque c'est la formule consacrée ;) :
[---]
- Supposez que ce que vous voulez prouver est faux.
- Cherchez ce qui découle de votre supposition et développez vos calculs jusqu'à obtenir une absurdité.
- Concluez que votre supposition était fausse, et que ce que vous vouliez prouver est donc vrai.

[---]

Attention! Le raisonnement par l'absurde ne set que dans le cas où la phrase que vous devez prouver est soit vraie, soit fausse. Sinon, il faut procéder autrement ;)

Exemples


Le raisonnement par l'absurde sert à beaucoup de choses, dans plusieurs branches des mathématiques, comme vous allez le voir ;).
J'ai essayé de rassembler plusieurs exemples assez simples, mais, comme vous allez le constater, le vocabulaire mathématique s'introduit partout, et il est possible que la compréhension de ce vocabulaire soit difficile. Pour tout comprendre, je vous conseille de relire plusieurs fois chaque exemple si besoin, voire même de recopier le raisonnement sur un bout de papier pour être sûrs de bien suivre (parce que comprendre des maths directement sur Internet, c'est impossible ;)).


Exemple 1 : Montrer qu'une fonction et sa réciproque ont le même sens de variation.

Petit rappel avant de commencer, sur ce qu'est une fonction réciproque.
Vous savez ce qu'est une fonction : c'est une machine qui prend des caillous dans une boîte, les transforme en bonbons, et les met dans une autre boîte.
Huh? Mais on a toujours travaillé avec des x, des y, etc...
Vous préférez les x et les y, eh bien soit... :D
Donc une fonction prend des nombres x dans son ensemble de définition, et les transforme en nombres y.

Une fonction réciproque, comme son nom l'indique, fait la même chose, mais à l'envers, c'est-à-dire qu'elle prend les y, et les retransforme en x (ou les bonbons en caillous). Vous connaissez certainement la touche \sin^{-1} de votre calculatrice? Eh bien, cette touche est en fait une fonction utilisée par la calculatrice pour donner, à partir de la valeur du sinus, la valeur de l'angle. C'est la fonction réciproque du sinus.

Attention! Toutes les fonctions n'ont pas de réciproques. Pour adettre une réciproque, une fonction doit vérifier plusieurs conditions que je ne développerait pas ici, puisque ça n'a que peu d'intérêt dans ce cours^^. Ah oui au fait, une fonction réciproque de la fonction f se note f^{-1}

Je vous ai fait un petit schéma avec des "patates" pour que vous compreniez bien la notion de fonction réciproque, et ensuite on pourra s'enfoncer dans le raisonnement proprement dit ;).

Image

Comprenez bien ce schéma, et regardez-le souvent, puisque c'est lui qui vas servir à notre raisonnement.

[---]
-On veut montrer que f et sa fonction réciproque f^{-1}, ont le même sens de variation. On va se limiter ici à un exemple avec f strictement croissante sur l'intervalle I. La démonstration pour f strictement décroissante est exactement la même, ou presque ;).

-On suppose donc f strictement croissante sur l'intervalle I.
-Prenons au hasard deux nombres dans l'intervalle J (qui contient toutes les images des éléments de I par la fonction f). Nommons les a et b, avec par exemple a<b.
-Posons x=f^{-1}(a) et x`=f^{-1}(b).

-Commençons enfin la partie "absurde". On veut prouver que f^{-1} est une fonction strictement croissante, c'est-à-dire, puisque a<b, x<x`.

(x et x' sont les images de a et b par la fonction f^{-1}, donc si a et b sont rangés dans un certain ordre et que la fonction est croissante, les images seront forcément rangées dans le même ordre)

Raisonnons par l'absurde en supposant que l'on a x \geq x`.

Dans ce cas, puisque la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle I, on a f(x) \geq f(x`), soit encore a \geq b.
Et la contradiction apparaît tout de suite, puisqu'on avait supposé a<b.

On a donc forcément x \geq x`, soit f^{-1}(a) \geq f^{-1}(b).

Conclusion : f^{-1} est strictement croissante sur l'intervalle J. CQFD ;)

[---]


Exemple 2 : Montrer que \sqrt 2 est un nombre irrationnel.

Voilà l'énoncé que l'on peut vous donner tout de go, comme ça, au début d'un problème d'algèbre. Et il se peut que vous restiez longtemps bloqués puisque vu comme ça, le problème paraît insolvable (enfin moi je sais que je resterai facilement bloqué dessus si je ne savais pas comment faire :)).

Comme vous vous en doutez, c'est là qu'intervient le raisonnement par l'absurde. Et c'est ce raisonnement qui vous débloquera et vous permettra de réussir la question et d'avoir votre bac, votre place dans votre école d'ingénieur, ou que sais-je encore ;).

[---]
- Reprenons donc la première étape du raisonnement : supposons que ce que l'on veut montrer est faux, c'est-à-dire supposons que \sqrt2 est un nombre rationnel, ou encore \sqrt2 \in \mathbb{Q}.

- A partir de là, puisqu'une racine carrée est toujours positive, et que \sqrt2 est rationnel, on sait qu'on peut l'écrire sous la forme d'une fraction irréductible de deux entiers positifs (je vous renvoie à la définition de l'ensemble des rationnels si vous avez un doute là-dessus ;)).
On appellera ces entiers p et q par la suite. (On ne les connait pas, mais on sait qu'ils existent puisque \sqrt2 \in \mathbb{Q}.)

- On a donc \sqrt2 = \frac{p}{q}.
En mettant les deux membres de l'égalité au carré, on obtient : 2 = (\frac{p}{q})^{2}.
Si on effectue maintenant le produit en croix, on trouve : 2q^{2}=p^{2}.
Ceci nous prouve que p^{2} est un multiple de 2, donc que p^{2} est un nombre pair.
Pour l'instant, on n'a aucune contradiction mathématique, donc on continue ;).

- La prochaine étape consiste en un raisonnement par l'absurde imbriqué dans le précédent.
En effet, si on avait le nombre p qui était impair, alors il existerait un nombre k, entier naturel (k \in \mathbb{N}), tel que : p=2k+1.
Ce qui nous donnerait : p^{2}=4k^{2}+4k+1. p^{2} serait donc un nombre impair, ce qui est contredit par ce que l'on a vu juste précédemment, qui disait que p^{2} était pair.
Si p ne peux pas être impair, alors c'est que p est forcément pair.

- Puisque p est pair, c'est qu'il existe un nombre entier naturel n tel que l'on ait p=2n.
Mais rappelez-vous, on avait l'égalité suivante : 2q^{2}=p^{2}.
Si on remplace p par 2n, on obtient : 2q^{2}=4n^{2}.
Soit encore : q^{2}=2n^{2}.
On en déduit que q^{2} est pair, et donc q aussi (en suivant le même petit raisonnement que précédemment pour p).

- p et q sont donc tous les deux pairs. Or ceci est en contradiction avec l'hypothèse faite au début : on peut écrire \sqrt2 sous la forme d'une fraction irréductible de deux entiers positifs.
p et q sont tous deux pairs, donc multiples de 2, donc  \frac{p}{q} n'est pas une fraction irréductible.


-L'hypothèse faite au début nous mène à une contradiction mathématique.
Ceci nous prouve que cette hypothèse est fausse.
Et donc celà nous prouve bien que \sqrt2 \not\in \mathbb{Q}, que \sqrt2 n'est pas un nombre rationnel.
CQFD ;).

[---]

Je ne met ici que deux exemples, pour vous donner une petite idée de l'utilisation du raisonnement par l'absurde.
Sachez qu'il sert à démontrer beaucoup de théorêmes, notamment concernant les suites et les fonctions.
Si vous voulez d'autres exemples (plus compliqués), je reste à votre disposition sur le Bar à Nougat.
Au revoir et à bientôt dans le monde merveilleux des maths ;).



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Raisonnement par récurrence

Le raisonnement par récurrence est un raisonnement très puissant souvent utilisé en mathématiques. Il permet en général de démontrer des propriétés qui dépendent d'entiers, naturels ou relatifs (qui commencent par : quelque soit n entier naturel...).

On pourra distinguer plusieurs types de raisonnements par récurrence :
  • Le raisonnement simple. On l'étudie en général à partir du lycée et si vous en êtes à cette étape la de votre scolarité, peut-être ne vous paraît-il pas si "simple" :p Pourtant vous verrez que ce n'est pas très compliqué ! Si, si, c'est vrai !!
  • Le raisonnement multiple. Âme sensible s'abstenir ^-^ Enfin, cela dit, personne n'en est encore mort !
Je vais commencer par expliquer de manière très simple le raisonnement par récurrence dans ce cours, puis je ferai un tour plus approfondi des raisonnements par récurrence simple et multiple pour satisfaire les plus curieux :).

Vous vous apercevrez très vite que le principe est simple, mais l'application est parfois un peu plus délicate ! (ce ne serait pas marrant sinon ;-)) Mais ce cours devrait vous apprendre à éradiquer toutes les démonstrations récalcitrantes !
Je préfère vous prévenir tout de suite : j'utilise tout un tas de termes mathématiques qui peuvent vous rebuter au début, mais ne vous inquiétez pas, j'explique tout ! Et au pire, c'est pas très important pour comprendre le principe. ^^ Il est aussi possible que vous n'ayez pas les connaissances mathématiques nécessaire pour suivre toutes les parties de ce cours, (j'utilise certaines notions qu'on ne voit qu'au lycée, voire plus tard) donc ne stressez pas trop si vous ne comprenez pas tout et n'hésitez pas à poser vos questions sur le Bar à Nougat. (forum de la Bnbox)
Vous êtes prêt ? Alors... à l'assaut !

Pour les nuls en orthographe (comme moi :/) il y a un seul C et deux R à "récurrence"

Raisonnement par récurrence (version simplifiée)

Concrêtement on va vous demander de prouver une propriété mathématique, par exemple la suivante :
\forall n \in \mathbb{N} \,\, S_n=1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}.
Traduisons : Montrons que, quelque soit l'entier naturel (1, 2, 5...) n, la somme des entiers naturels de 1 à n est égale à \frac{n(n+1)}{2}
Vous pourrez aussi trouver cette propriété sous la forme :
\forall n \in \mathbb{N} \,\, \sum_{k=0}^n k = \frac{n(n+1)}{2}
Vous l'avez peut-être vu ainsi en parlant des suites.

Nous allons raisonner en 3 étapes. Soyez bien attentif car il faut toujours effectuer ces trois étapes, et les effectuer dans l'ordre.

  • On vérifie que la propriété est vraie pour n=0. (n est alors le plus petit possible) On dit alors que la propriété est initialisée.

    Pour n=0 S_0=0 et \frac{0(0+1)}{2}=0
    Donc la propriété est bien vraie pour n=0, et donc initialisée.

  • On suppose que, pour n fixé, notre propriété est vraie au rang n. (C'est-à-dire pour un n donné et fixé.) C'est l'hypothèse de récurrence. On démontre alors, grâce à l'hypothèse de récurrence que la propriété est toujours vraie au rang suivant, c'est-à-dire n+1.
    Cela vérifié, on peut alors dire que la propriété est héréditaire. (C'est comme ça qu'on dit, pas ma faute...)

    Supposons que, pour n fixé, la propriété est vraie au rang n. Alors :
    S_{n+1}=1+2+...+n+(n+1) = \frac{n(n+1)}{2}+(n+1) = \frac{n(n+1)+2(n+1)}{2} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}
    Donc la propriété est héréditaire.


Donc on a montré que si la propriété était vraie pour un entier donné, elle était aussi vraie pour l'entier suivant. N'ayant pas précisé cet entier, et puisque la propriété est vraie à l'entier le plus petit qui nous intéresse (ici 0), elle est forcément vraie au rang 1, puis 2, puis 3, etc... c'est-à-dire pour tout entier!

  • Conclusion : On a démontré que la propriété était vraie pour n=0 et qu'elle était héréditaire. Par conséquent, on a démontré que : \forall n \in \mathbb{N} \,\, S_n=1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}.

Et voilà ! Rien de très sorcier vous voyez. Si vous désirez aller plus loin avec le raisonnement par récurrence, la suite de ce cours est faîte pour vous. Si vous ne comprenez pas tout, n'hésitez pas à relire et à poser des questions sur le Bar à Nougat. Nous verrons d'autres exemples d'utilisation un peu plus loin.

Quand utiliser ce raisonnement ?

On a souvent tendance à n'utiliser le raisonnement par récurrence qu'en dernier recours (entre nous, c'est pas vrai ? :p) pourtant il permet bien souvent d'éviter de se torturer le cerveau ! Encore faut-il savoir l'utiliser à bon escient.
((
Je vais utiliser quelques termes savants puis je traduirai en Français courant. (Ne fuyez donc pas tout de suite. :p)
Soit A(n) un prédicat de référentiel \mathbb{N}. Le raisonnement par récurrence s'emploie lorsque l'on veut prouver que : \forall n \in \mathbb{N} \,\, A(n)
Où : \forall n \in \mathbb{N} \,\, A(n) est la propriété que l'on nous demande de prouver.

Le symbôle \forall signifie "Quelque soit", "Pour tout".
Le symbôle \in signifie "appartient".
Ce sont des symbôles Mathématique compréhensible par les matheux des quatre coins de la planète !!

Avant tout, définissons le mot prédicat :
Soit E un ensemble d'élément. (c'est à dire un ensemble de nombres, de chiffres, de patates,de carottes, de BN, bref de tout ce que vous voulez !) Un prédicat de référentiel E est un énoncé de la forme : A(x, y, ...) où x et y sont des lettres appelés variables telles que lorsque l'on transforme ces variables par des objets on obtienne quelque chose qui est vrai ou faux.

Elles sont marrantes tes blagues, mais est-ce que tu pourrais passer tout de suite au Français normal la, steuplait ?

Puisque c'est demandé si gentiment... :d
Utilisons une image pour comprendre ce qu'est un prédicat. Imaginez une petite boîte dans laquelle on puisse mettre certains objets. On pourrait s'amuser à tester quels objets rentrent dans cette boîboîte ! (c'est un peu débile je vous l'accorde :p) On peut par exemple y faire entrer un stylo, une punaise, un BN, un bonbon. Par contre, on aura certainement plus de mal à y faire entrer un éléphant ! Où alors il nous faudrait une très très grosse boîte !
A(n) est un peu comme cette boîte. Nos objets seront les n. Et en raisonnant, on cherche à démontrer que avec tel n, A(n) est vraie, et que pour tel autre, A(n) est fausse. (Ce qui correspond à un objet pouvant entrer dans la boîte et un autre étant trop grand pour y pénétrer.)
Pour les matheux pur et dur, sachez qu'un prédicat n'est ni vrai ni faux. En effet dans un prédicat on ne précise pas ce qu'est la variable. (c'est comme si on vous disait : "j'ai une boîte et je vais faire entrer des objets dedans", ne connaissant ni la taille de la boîte, ni celle des objets, vous êtes dans l'incapacité de me dire si mon objet rentrera ou non dans la boîte.
Par contre si on précise ce qu'est la variable de notre prédicat, on peut répondre. Le tout s'appelle alors une assertion. Par exemple le prédicat suivant : A(n) "n est un entier" On pourra dire que A(2) est vraie (2 est bien un entier) mais que A(2.5) est fausse (2.5 n'est pas un entier) de la même manière \forall n \in \mathbb{Z} \,\, A(n) est vraie ! (Quelque soit le n appartenant à l'ensemble des entiers relatifs, n est un entier !)
Bref, c'était le petit interlude pour les matheux qui veulent se la raconter avec du vocabulaire. ;) Si vous avez du mal à comprendre ces subtilités (on ne vous en voudra pas^^ Je n'ai vu ça qu'en première année de prépa, c'est pour dire.) n'hésitez pas à poser des questions sur le Bar à Nougat.
Vous pouvez lire une définition expliquée un peu différemment sur le cours à propos des bases de la logique de DarKnight ;)

Rappelez-vous ce qu'on nous avait demandé de prouver : \forall n \in \mathbb{N} \,\, A(n)
On peut traduire cette phrase mathématique par : "Quelque soit l'entier naturel n, A(n) est vraie". Bref, on nous demande de prouver que ce que dit cette phrase est vraie ! (ou faux^^)
Et c'est dans ces conditions que l'on se sert du raisonnement par récurrence. Quand on nous demande de démontrer quelque chose quelque soit n alors il est possible que la récurrence soit une bonne méthode.
Ayez du flair ! Si la phrase en question a l'air vraie, qu'elle semble assez tordue et qu'on vous demande de la démontrer quelque soit n, alors il y a beaucoup de chance que le raisonnement par récurrence soit la bonne méthode.
Si la phrase vous semble fausse, alors il vous faudra vous tourner vers un autre raisonnement. (notamment vers le raisonnement par l'absurde que DarKnight vous explique sur la Bnbox ;))

Raisonnement simple

Principe
Il y a trois étapes dans le raisonnement par récurrence qu'il faut bien suivre et dans l'ordre. Démontrons par récurrence cette propriété : \forall n \in \mathbb{N} \,\, A(n)
En traduisant : Montrons que, quelque soit l'entier naturel (1, 2, 5...) n, la phrase A(n) est vraie.
  • Etape d'initialisation : On vérifie que la propriété est vraie au rang le plus petit possible. C'est à dire pour n le plus petit possible. (Par exemple n=0. C'est souvent le cas)
  • On suppose que, pour n fixé, la propriété est vraie au rang n. (c'est à dire pour un n donné.) C'est l'hypothèse de récurrence. On démontre alors, grâce à l'hypothèse de récurrence que la propriété est toujours vraie au rang n+1.
    Cela vérifié, on peut alors dire que la propriété est héréditaire.
    La phrase suivante : On suppose que, pour n fixé, la propriété est vraie au rang n. est celle qui vous servira tout le temps, donc n'hésitez pas à l'apprendre par coeur !

  • Conclusion : On a démontré que la propriété était vraie au plus petit rang possible et qu'elle était héréditaire. Par conséquent, on a démontré que : \forall n \in \mathbb{N} \, \,A(n)

On peut traduire cette définition simplement en langage mathématique, cela veut dire exactement la même chose.
\left.\begin{array}{lcl} A(0)

Ce raisonnement vous paraît peut-être simple, voir trop simple. Nous verrons dans les exemples que la réalité est parfois tout autre. Peut-être que vous ne comprenez pas la logique de ce raisonnement, peut-être même doutez vous de sa véracité. Jusqu'au lycée on ne vous demande pas de prouver ce raisonnement, vous avez donc le droit de faire confiance à vos professeurs.^^ Mais si vous êtes curieux ou que vous avez déjà dépassé les années lycées, sachez que l'on démontrera ce raisonnement à la fin de ce cours !! Niark, niark :cool:

Maintenant que vous savez en théorie ce qu'est le raisonnement par récurrence, passons à quelques exemples : on va voir ce que vous valez vraiment. :)

Exemple 1
Montrez que :
\forall n \in \mathbb{N} \,\, \sum_{k=0}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
Si vous voulez devenir un ou une boss du raisonnement par récurrence, il serait bon que vous trouviez la réponse à cet exemple tout seul... (ça ne prend pas très longtemps, je vous assure :)) En tout cas, voici comment il faut faire.
Vous avez ci-dessous la manière dont je rédigerai cet exercice en étant rigoureux. Cela dit, on peut vous imposer des fioritures et il vaut toujours mieux faire ce qui vous est demandé :p
  • Pour n=0 :
    \sum_{k=0}^0 k^2 = 0 et \frac{0(0+1)(2 \times 0+1)}{6}=0
  • Supposons que, pour n fixé, la propriété soit vraie, c'est à dire :
    \sum_{k=0}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
    Alors au rang (n+1) :
    \sum_{k=1}^{n+1} k^2 = (\sum_{k=1}^{n} k^2)+(n+1)^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2
    \,\,\,\,\,\,\,\,= \frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)(n+1)}{6}= \frac{(n+1)[2n^2+n+6n+6)]}{6}= \frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6}
  • On a donc démontré que la propriété était vraie au rang 0, qu'elle était héréditaire, donc : \forall n \in \mathbb{N} \,\, \sum_{k=0}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Et voilà ! Pour vous entrainer, vous pouvez aussi démontrer que :
\forall n \in \mathbb{N} \,\, \sum_{k=0}^n k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}

Exemple 2
Vous croyiez être devenu un boss du raisonnement par récurrence ? Vous croyiez avoir tout compris ? Voilà qui devrait vous convaincre de la difficulté et de la puissance de ce raisonnement,en effet, nous allons effectuer deux raisonnements par récurrence à la fois. (âme sensible, s'abstenir) Rassurez-vous, si vous n'avez pas dépassé les années lycées, on ne vous demandera pas de comprendre cela.
Nous allons utiliser la suite de Fibonnacci :
\left\{\begin{array}{lcl} F_0=1
Montrons que :
\forall n \in \mathbb{N}^* \,\,\, \left\{\begin{array}{lcl} F_{2n-1} = 2 \times F_n \times F_{n-1} - (F_{n-1})^2

  • Pour n=1 :
    \left\{\begin{array}{lcl} F_1 = 2 \times 1 - 1 = 2 \times F_1 \times F_0 - F_0^2
  • Supposons que, pour n fixé, F_{2n} et F_{2n-1} soient vrais. Alors :
    \left\{\begin{array}{lcl} F_{2n+1} = F_{2n} \times F_{2n-1}

    (1) \, \Longleftrightarrow \,\, \left\{\begin{array}{lcl} F_{2n+1} = (F_{n})^2 + (F_{n-1})^2 + 2 \times F_n \times F_{n-1} - (F_{n-1})^2

    Or (F_{n})^2 + (F_{n-1})^2 = F_{2n} Donc :

    (1) \, \Longleftrightarrow \,\, \left\{\begin{array}{lcl} F_{2n+1} = (F_{n})^2 + 2 \times F_n \times F_{n-1}

    Or 2 \times F_n \times F_{n-1} \, = \, 2 \times F_n \times (F_{n+1} - F_n) Donc :

    (1) \, \Longleftrightarrow \,\, \left\{\begin{array}{lcl} F_{2n+1} = 2 \times F_n \times F_{n+1} - (F_{n})^2

    D'où :
    (1) \, \Longleftrightarrow \,\, \left\{\begin{array}{lcl} F_{2n+1} = 2 \times F_n \times F_{n+1} - (F_{n})^2

    La propriété est donc héréditaire.
  • Par conséquent, on a bien démontré que :
    \forall n \in \mathbb{N}^* \,\,\, \left\{\begin{array}{lcl} F_{2n-1} = 2 \times F_n \times F_{n-1} - (F_{n-1})^2


Raisonnement multiple

Principe
Il y a toujours trois étapes au raisonnement par récurrence multiple qu'il faut bien suivre et dans l'ordre.
Prenons comme exemple la suite de Fibonacci :
\left\{\begin{array}{lcl} F_0=0
Et montrons que \forall n \in \mathbb{N} \,\, F_n \in \mathbb{N} ce qui se traduit par : Quelque soit l'entier naturel n, montrons que Fn est aussi un entier naturel.
  • Etape d'initialisation : On vérifie que la propriété est vraie au rang le plus petit possible et un rang plus haut. C'est à dire pour n le plus petit possible et le n situé juste au dessus. (ici n=0 et n=1. C'est souvent le cas)


    Pour n=0, on a bien F_0 \in \mathbb{N}
    Pour n=1, on a bien F_1 \in \mathbb{N}


  • On suppose que, pour n fixé, la propriété est vraie au rang n et au rang n+1. (c'est à dire pour un n donné) C'est l'hypothèse de récurrence. On démontre alors, grâce à l'hypothèse de récurrence que la propriété est toujours vraie au rang n+2.
    Cela vérifié, on peut alors dire que la propriété est héréditaire.
    On dit aussi parfois : On suppose que, pour n fixé, la propriété est vraie jusqu'au rang n. Mais si on utilise 3 hypothèses, il ne faut pas oublier d'initialiser 3 fois ! (donc de vérifier que ça marche jusqu'à n=3)

    F_{n+2} = F_{n+1} + F_n
    Donc, d'après l'hypothèse de récurrence : F_{n+2} \in \mathbb{N}


  • Conclusion : On a démontré que la propriété était vraie au plus petit rang possible et qu'elle était héréditaire. Par conséquent, on a démontré que : \forall n \in \mathbb{N} \,\, F_n \in \mathbb{N}

Exemple 1
On va de nouveau utiliser la suite de Fibonnacci :
\left\{\begin{array}{lcl} F_0=1
Et cette fois-ci, nous allons tenter de démontrer la propriété suivante :
\forall (n,p) \in (\mathbb{N}^*)^2 \,\, F_{n+p} = F_n \times F_p + F_{n-1} \times F_{p-1} On la notera \mathcal{P}(n).

Soit p \in \mathbb{N}^* fixé. (en effet, on ne fait une récurrence qu'avec une seule variable. On fait comme si p était connu, ce qui n'enlève rien à la validité du raisonnement.)
  • Pour n=1 : F_{1+p} = F_p + F_{p-1}
    Pour n=2 : F_{2+p} = 2F_p + 1F_{p-1}
    Donc la propriété est initialisée.
  • Supposons que, pour n fixé, n \geq 2, on ait : \mathcal{P}(n) et \mathcal{P}(n-1). Alors :

    F_{n+1+p} \, = \, F_{n+p} + F_{n+p-1}
    \,\,\,\,\,\,\,\,\, = F_n \times F_p + F_{n-1} \times F_{p-1} \, + \, F_{n-1} \times F_p \, + \, F_{n-2} \times F_{p-1}
    \,\,\,\,\,\,\,\,\, = F_p \times (F_n + F_{n-1}) \, + \, F_{p-1} \times (F_{n-1} \, + \, F_{n-2})
    \,\,\,\,\,\,\,\,\, = \, F_p \times F_{n+1}) \, + \, F_{p-1} \times F_{n}
    Donc la propriété est héréditaire.
  • Par conséquent, on a bien démontré que :
    \forall (n,p) \in (\mathbb{N}^*)^2 \,\, F_{n+p} = F_n \times F_p \, + \, F_{n-1} \times F_{p-1}


Démonstration du raisonnement par récurrence

Et voilà le moment tant attendu, nous allons (enfin) démontrer que ce raisonnement tient la route ! Pour cela on va démontrer que, si on démontre par récurrence la propriété suivante :
\left.\begin{array}{lcl} P(0) \,\, et \,\, P(1)
Alors on a démontré que cette propriété était vraie. Et on va démontrer ça par l'absurde.
Are you ready ? So... go !

On suppose donc que P(0) est vraie et que, pour n fixé dans \mathbb{N}, si P(n) est vraie, alors P(n+1) est vraie aussi.
Il s'agit de prouver que : \forall n \in \mathbb{N} \,\, P(n) est vraie.
Considérons l'ensemble : A=\{n \in \mathbb{N} \, / P(n) \, est \, vraie\}. Il s'agit donc de montrer que A=\mathbb{N}.

Supposons A \neq \mathbb{N} c'est à dire : \overline{A} \neq \oslash
Puisque \overline{A} \neq \oslash et \overline{A} \subset \mathbb{N}, \overline{A} admet un plus petit élement b. (d'après l'axiome fondamental de l'ensemble des entiers naturels)
Puisque, par hypothèse, P(0) est vrai, alors 0 \in A donc b \neq 0 donc a=b-1 \in \mathbb{N}.
Puisque b est le plus petit élément de \overline{A}, a=b-1 \in A
Puisque a \in A, P(a) est vraie, donc, la propriété étant héréditaire, P(a+1) est vraie aussi. Donc a+1=b \in A Ce qui est impossible.
Donc l'hypothèse de départ : A \neq \mathbb{N} est fausse. Par conséquent on a démontré que A = \mathbb{N}.
Donc le raisonnement par récurrence est tout a fait juste, vérifié et certifié. ;-)



Il existe des tonnes et des tonnes de manière d'utiliser le raisonnement par récurrence, selon ce qu'on veut démontrer. On peut utiliser des raisonnements croisés, ou bien des récurrences finies pour montrer que la propriété est vraie d'un entier à un autre, etc... Mais pour ne pas trop surcharger cet article, on évitera d'en parler ici ^^. Direction le Bar à Nougat pour toute question ou autre


Et voilà ! C'est finit ! :) J'espère que vous avez fait un bon voyage dans le monde des Mathématiques ^^


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Equations différentielles [partie 1]

Ah... Les équations différentielles... Un mot qui fait peur...
Quand on arrive en Terminale, et que les profs commencent à en parler, qu'on a des sueurs froides qui commencent à couler dans le dos...
Enfin, vous vous êtes peut-être déjà rendus compte que ce n'était pas si compliqué que ça...
Et même si vous trouvez toujours ça hors de portée, je vais essayer ici de rendre la chose accessible.


Il faut savoir tout d'abord que les cas abordés ici sont avant tout théoriques, et qu'en général, résoudre une équation différentielle est plus facile.
Il faut aussi savoir que la résolution de ces équations demande un certain nombre de notions mathématiques prérequises.
Pas d'affolement... Normalement, si vous êtes en train d'étudier les équations différentielles... Eh bien vous savez tout ce qu'il faut savoir : comment dériver et trouver les primitives d'une fonction, et également tout ce qui concerne les fonctions "traditionnelles" (facile à dire :P), c'est-à-dire les fonctions trigonométriques (sinus, cosinus, tangente), les fonctions exponentielle et logarithme népérien, et les fonctions polynômiales.


Vous vous sentez à peu près au point sur tout ça ? C'est bon ? Alors accrochez votre ceinture, on va y aller ;).

Introduction


Une équation différentielle... Qu'est-ce que c'est au juste ?
Même en essayant de rester le plus simple possible, il faudra de toute manière employer un vocabulaire un peu mathématique... J'essaierai de le limiter, mais faire des maths sans maths, c'est pas évident :D.

Une équation différentielle est donc une équation (comme son nom l'indique), dont les solutions ne sont pas des nombres, comme dans les équations traditionnelles, mais des fonctions. Elle se présente sous la forme d'une égalité, faisant intervenir la fonction cherchée (que j'appellerai f(t) par la suite dans mes exemples), et éventuellement ses dérivées (première, seconde, voire plus).


Exemples d'équations différentielles :
 f(t) = f`(t)+8
ou bien
 f``(t) + (\sin t) f`(t) + f(t) = 0

(On remarquera que la deuxième sera forcément plus difficile à résoudre que la première... D'ailleurs je n'en parlerai pas dans cette partie ;). Donc vous pouvez tout de suite l'enlever de votre esprit, c'était juste un exemple.)


Vocabulaire :


L'ordre d'une équation différentielle, correspond à la dérivée de la fonction recherchée que fait intervenir l'équation.
Par exemple, une équation où l'on aurait  f```(t) + ... serait une équation du troisième ordre, puisqu'elle contient la dérivée troisième de la fonction cherchée.
Une équation du premier ordre fait seulement intervenir la première dérivée :  f`(t) .
Et ainsi de suite, je pense que vous avez compris... ;)

Les coefficients d'une équation différentielle sont les nombres ou les fonctions multipliant la fonction recherchée. Dans le cas de nombres, on parlera de coefficients constants, et s'il s'agit de fonctions, on parlera de coefficients variables.
Dans ces deux équations, les coefficients sont 1 et (8/9) pour la première ; et (sin t) et (cos t) pour la deuxième.
 f`(t) + (8/9)f(t) = 0
 (\sin t)f`(t) + (\cos t)f(t) = 5

Pendant qu'on a un exemple sous les yeux... Pourquoi ne pas parler du second membre. La première des équations est dite "sans second membre", et la deuxième en possède un.
Vous l'aurez compris, le second membre d'une équation est ce qui se trouve à droite de l'égalité ;).

Enfin, parlons de l'adjectif linéaire, souvent associé aux équations différentielles. Une équation différentielle linéaire est une équation différentielle qui ne fait pas apparaître de puissance de la fonction cherchée, ni de transformation particulière avec des sinus, des cosinus, ou des trucs horribles dans le même genre.
Un petit exemple pour bien fixer les choses :  f`(t) + (8/9)f(t) = 0 . Cette équation est linéaire.
Par contre celle-ci ne l'est pas :  f`(t)^2 + (8/9)f(t) = 0 , puisqu'elle fait apparaître une puissance de la dérivée de la fonction qu'on cherche.
Celle-ci ne l'est pas non plus :  f`(t) + (8/9)f(t)^2 = 0 , pour la même raison.
Et celle-ci encore moins :  \sin (f`(t)) + (\cos t)f(t) = 5 .


J'espère que vous êtes bien au point sur le vocabulaire, parce que maintenant je l'emploierai sans scrupules :P. Si vous avez le moindre problème, relisez une ou deux fois le tout, et ça devrait aller mieux ;). Et au pire, c'est en forgeant qu'on devient forgeron, et vous comprendrez mieux au fur et à mesure des exemples.



Résolution : comment faire ? Méthode générale.



Equations étudiées


Pour la suite de ce cours sur les équations différentielles, je ne vous apprendrai qu'à résoudre les équations linéaires (cf plus haut pour ceux qui n'auraient pas compris de quoi il s'agit), du premier ordre.
Puis, dans une deuxième partie, on verra comment résoudre une équation différentielle du second ordre à coefficients constants... Mais c'est une autre histoire, plus longue que la première :P, donc on la racontera plus tard.

Les équations différentielles auxquelles on s'intéressera ici seront donc de la forme :
 f`(t) + af(t) = b
En prenant a et b deux fonctions continues sur un intervalle I quelconque (inclus dans  \mathbb{R} ou dans  \mathbb{C} au choix).

Ici, on prend a et b deux fonctions, pour faire une étude dans le cas le plus général. En pratique, on aura plus souvent affaire à des coefficients constants (dans les équations des circuits RC ou RL, ou dans des équations de mouvements en mécanique par exemple).
Fixez bien la forme de l'équation différentielle dans votre esprit, comme ça vous serez capable de la reconnaître au premier coup d'oeil quand vous en verrez une semblable. Et vous saurez tout de suite comment la résoudre (enfin j'espère :P).

Mais au fait... résoudre cette équation, comme tu dis, ça revient à faire quoi ?

Résoudre (on dit aussi "intégrer" dans le jargon des matheux ;) ) une équation différentielle, revient à trouver toutes les fonctions dérivables au moins sur I (intervalle où a et b sont continues je vous le rappelle), et qui vérifient la condition donnée par l'équation.

En général, on trouvera une infinité de fonctions qui correspondent à nos attentes, et dans les cas pratiques, on ne cherche qu'une seule de ces fonctions (par exemple pour savoir comment évolue la tension dans un circuit électrique). Dans ces cas-là, il y aura encore une petite opération à effectuer pour trouver LA seule et unique fonction que l'on veut. Mais j'en reparlerai tout à la fin de cette partie.


Commençons donc la partie difficile, à proprement parler, de ce cours.



Méthode de résolution


Quand je parlais de partie "difficile", j'aurai plutôt dû dire la partie la plus "mathématique", puisque la manière de résoudre une équation différentielle est assez simple et répétitive. Par contre, elle demande de la rigueur.
Ce qui suit est la base de la résolution. C'est quelque chose de capital qu'il faut absolument retenir. Cela sert pour toutes les équations dont je parlerai (que ce soit dans la partie 1 ou dans la partie 2 de ce cours).

Rappelons tout d'abord le type d'équations différentielles étudiées ici :
 f`(t) + af(t) = b (n'oubliez pas qu'ici on considère que a et b sont deux fonctions.)
Appelons (L) cette équation.

La méthode (qui a été étudiée par des dizaines de mathématiciens, et qui fonctionne assez bien :P) dit que pour résoudre cette équation différentielle, il faut :

[---]
1)Trouver l'ensemble des solutions de l'équation homogène associée à l'équation (L).
2)Trouver une fonction particulière qui serait solution de l'équation (L).


[---]

Attends attends!! Qu'est-ce que c'est encore que ça ? Une équation homogène ? Mais de quoi tu nous parle ?

Eh bien j'ai préféré ne pas en parler avant pour vous faire la surprise ;). Mais vous allez voir ce n'est pas compliqué, c'est encore un problème de vocabulaire essentiellement.
Une équation homogène, est une équation différentielle à laquelle on a enlevé son second membre.
Dans le cas qui nous intéresse, l'équation homogène associée à l'équation (L) que l'on cherche à résoudre serait l'équation différentielle suivante :  f`(t) + af(t) = 0 .
Vous pouvez vérifier qu'on lui a bien retiré son second membre (on n'a plus la fonction b mais bien 0 à droite du signe "="). Pour plus de commodité, j'appellerai cette équation (H) par la suite (H comme Homogène :P).

On récapitule les équations que l'on a avant de continuer :
-L'équation que l'on veut résoudre : (L) :  f`(t) + af(t) = b .
-Son équation homogène associée : (H) :  f`(t) + af(t) = 0 .

Maintenant que les choses sont bien au clair, commençons notre résolution, c'est-à-dire cherchons toutes les fonctions qui sont solutions de l'équation différentielle (H).


Résolution de l'équation homogène

Là, vous vous dîtes sûrement que le problème reste entier... Puisque vous ne savez pas résoudre des équations qui font intervenir des fonctions.
Et pourtant... :)

Un théorème dit que pour trouver l'ensemble des solutions de (H), il suffit de trouver une solution particulière de (H), c'est-à-dire une fonction, telle que cette fonction (et sa dérivée), vérifie  f`(t) + af(t) = 0 , et telle qu'elle ne s'annule jamais sur l'intervalle I où l'on travaille.(C'est super important, puisque c'est ce qui nous assure qu'on ne divise pas par 0 quand on résout).
Toutes les autres solutions de (H) seront tout simplement des multiples de cette solution particulière.
En d'autres termes, si on a trouvé une fonction g qui fonctionnerait pour (H), et qui ne s'annule jamais sur I, on peut dire que toutes les solutions de (H) sont de la forme  k \times g , avec k une constante quelconque appartenant à  \mathbb{R} ou à  \mathbb{C} .

Ce théorème se démontre bien entendu, et assez simplement d'ailleurs, mais je ne compte pas vous donner la démonstration, puisque ce n'est pas vraiment ce qui vous intéresse ici :P. (Par contre si vous voulez vraiment connaître cette démonstration, rendez-vous sur le Bar à Nougat où je me ferai un plaisir de vous expliquer ;)).

Bon, tout ça c'est bien joli, mais ça n'aide pas à résoudre le problème...

Eh bien puisque vous vous impatientez, voici comment résoudre l'équation (H).
N'oublions pas avant de commencer que a est une fonction continue sur un intervalle I quelconque.

D'après le théorème cité plus haut, si on a une solution particulière de (H) qui ne s'annule jamais sur I, alors l'ensemble des solutions sont des multiples de cette solution particulière. (On évitera de choisir la fonction nulle comme solution particulière, parce que ca sera un peu embêtant de diviser par 0 un peu plus bas ;)).
(Attention, ce qui suit est une rédaction classique, ce qui veut dire que quand vous devez résoudre une équation différentielle, vous devez exactement écrire la même chose ;) ).

[---]
On suppose avoir une fonction  f solution de (H), telle que  f ne s'annule pas sur l'intervalle I, et soit différente de la fonction nulle.

On a alors:


















 \left.\begin{array}{rcl} f \, \Longleftrightarrow \forall t \in I \,\, f`(t) + a(t) \times f(t) = 0 (Le petit ~ sur le 0 signifie que f est différent de la fonction nulle.)
\Longleftrightarrow \forall t \in I \,\, \frac{f`(t)}{f(t)} + a(t) = 0 (On divise par f(t), c'est pour cela qu'on a supposé f ne s'annulant jamais, et différente de la fonction nulle.)
\Longleftrightarrow \forall t \in I \,\, \frac{f`(t)}{f(t)} = -a(t) (On passe la fonction a de l'autre côté de l'égalité.)
\Longleftrightarrow \forall t \in I \,\, \ln (f(t)) = -A(t) + constante (On sait que la primitive de (u'/u) est ln (u). Et on nomme A(t) la primitive de a(t), en n'oubliant pas la constante d'intégration. Cette constante, qu'on ne connaît pas, peut également s'écrire sous la forme ln(\lambda).)
\Longleftrightarrow \forall t \in I \,\, \ln (f(t)) -\ln(\lambda) = -A(t) (On passe  \ln(\lambda) de l'autre côté de l'égalité.)
\Longleftrightarrow \forall t \in I \,\, \ln ( \frac {f(t)}{\lambda} ) = -A(t) (Grâce aux propriétés basiques du logarithme népérien, on réunit les logarithmes pour n'en avoir plus qu'un seul.)
\Longleftrightarrow \forall t \in I \,\, ( \frac {f(t)}{\lambda} ) = e^{-A(t)} (On utilise l'exponentielle pour se débarrasser du logarithme, puisque ces deux fonctions sont réciproques.)
\Longleftrightarrow \forall t \in I \,\, f(t) = \lambda \times e^{-A(t)} (On repasse \lambda de l'autre côté de l'égalité.)

[---]

Et voilà on vient de finir de résoudre l'équation homogène (H). Toutes les solutions de cette équation sont toutes les fonctions de la forme  f(t) = \lambda \times e^{-A(t)} , où \lambda est une constante quelconque, et A(t) une primitive de la fonction a(t) qui se trouvait dans l'équation de départ.

Vous remarquerez que j'ai tout expliqué dans le détail, et que quand vous serez bien entraînés (peut-être l'êtes-vous déjà ;)), eh bien vous n'aurez plus besoin de toutes ces étapes, et vous pourrez en sauter quelques unes. Mais il vaut mieux toujours comprendre dans le détail ce qu'on fait, avant d'aller plus vite ;).

Ah oui attention, n'oubliez pas de rajouter à toutes vos solutions la fonction nulle. Ca serait un peu bête de l'oublier alors que c'était une solution évidente ^^.




Trouver une solution particulière...


Après avoir résolu l'équation homogène (H), il reste la moitié du travail à accomplir. Puisque selon notre guide de travail, il nous faut encore trouver une solution particulière de (L). (Vous vous rappelez bien sûr que c'est (L) que l'on cherche à résoudre initialement :P... Non ? Bon je vous rappelle son expression:  f`(t) + a(t) \times f(t) = b(t) .)
Cette partie du travail est parfois plus simple que la résolution de l'équation homogène, et parfois beaucoup plus complexe.

Tout dépendra en fait de la forme que prennent les fonctions b(t) et a(t).
Si a(t) est une constante, et que b(t) est une fonction relativement simple, la solution particulière recherchée sera en général de la même forme que la fonction b(t).
Je m'explique :
Si b(t) est une constante, on aura une solution particulière constante.
Si b(t) est un polynôme de degré n, on aura un polynôme de degré n qui sera solution particulière de (L).
Si c'est une exponentielle, de même.

Bon, tout ceci ne vous parle peut-être pas, donc, je vais essayer d'illustrer le tout du mieux possible, en traitant les cas les plus fréquents.

(Note : A la fin du cours sur les équations différentielles (donc quand on aura fini de traiter le second ordre ;)), je rajouterai une troisième partie concernant une méthode permettant à coup sûr de trouver une solution particulière, quelles que soient les formes de a(t) et b(t). Le problème est qu'elle est relativement compliquée à appliquer, et qu'on en a très peu souvent besoin.)


Enfin bref revenons à nos moutons. Essayez de bien suivre encore quelques minutes, et ca sera fini ^^.


Exemple 1 : Cas simple

Supposons qu'on ait une équation différentielle (L) de la forme :  f`(t) + a \times f(t) = b .
Ici a et b sont des constantes. Puisque le second membre (c'est-à-dire b) est une constante, on cherche une fonction particulière solution de l'équation sous la forme d'une constante.
Appelons g cette solution.
Puisque g est constante, on aura alors  g`(t)=0
En remplaçant la fonction f de l'équation différentielle par notre solution présumée g, on obtient :
 a \times g = b
D'où, en passant le a de l'autre côté de l'égalité :
 g = \frac{b}{a}
Et voilà on a trouvé la solution particulière de (L).

Il ne reste plus qu'à l'ajouter à notre solution générale de (H).
Dans ce cas-ci, la solution générale de (H) est de la forme  \lambda \times e^{at} (je vous laisse le soin de refaire toute la démarche, ça vous entraînera ;)).

Donc les solutions de (L) sont toutes les fonctions de la forme :  f(t) = \lambda \times e^{at} + \frac{b}{a} (où \lambda est une constante quelconque dans \mathbb{R} \,ou\, \mathbb{C}


Exemple 2 : Cas plus compliqué

Supposons qu'on ait une équation différentielle de la forme :  f`(t) + 2 \times f(t) = \cos t .(Que l'on nommera (L).)
Là on voit qu'on a une fonction cosinus qui sert de second membre à l'équation. Ici, on cherchera non-seulement du cosinus dans la solution particulière, mais également du sinus, puisqu'on sait parfaitement que la dérivée du cosinus est (-sinus), et donc il risque d'y avoir des sinus qui interviendront.

Dans le cas où on a des fonctions trigonométriques comme sinus ou cosinus, il faudra chercher une solution particulière f_{0} sous la forme :  f_{0}(t) = C \times \cos t + D\times \sin t .
On suppose donc qu'on a une solution de cette forme, et il reste à déterminer les constantes C et D par un petit calcul, à l'aide de l'équation.




 f_{0} \, est \, solution \, de\, (L)  \Longleftrightarrow  \forall t \in \mathbb{R} \,\, -C \sin t + D \cos t + 2C \cos t + 2D \sin t = \cos t (On dérive notre solution supposée, et on l'écris dans l'équation.)
 \Longleftrightarrow \forall t \in \mathbb{R} \,\, (D+2C-1) \cos t + (2D-C) \sin t = 0 (On passe le cosinus du second membre dans le premier, et on factorise par sinus et cosinus.)

On peut maintenant trouver C et D. En prenant t=0 , on aura évidemment le terme en sinus qui s'annulera, et on aura alors :  2C+D-1 = 0 .
Ensuite il faut annuler le terme en cosinus, donc on prendra par exemple t=\frac{\pi}{2}, et on aura :  2D-C = 0
On a donc un petit système de deux équations à deux inconnues très facile à résoudre (je vous épargne les détails... peut-être dans un prochain cours ;)).
Au final on a :  C=\frac{2}{5} \,\, et \,\, D=\frac{1}{5}
Notre solution particulière est donc :  f_{0}(t) = \frac{2}{5}\times \cos t + \frac{1}{5} \times \sin t .
Et c'est gagné :D.




Et maintenant que fait-on ?


C'est vrai qu'on peut se poser la question. Puisqu'on a fini de résoudre l'équation différentielle...

Eh bien maintenant cela dépend de l'énoncé de votre exercice.
Si on vous demande toutes les solutions, pas besoin d'aller plus loin.
Mais le plus souvent, on vous demandera une seule solution, qui correspondra à un problème physique (puisque c'est en physique que les équations différentielles sont les plus utilisées).

Par exemple, si vous voulez connaître la loi d'évolution de la tension dans un circuit RC, il vous faut résoudre une équation différentielle du premier ordre, comme on vient de le faire. Mais puisque vous avez un circuit précis, il n'y a qu'une seule fonction qui définit l'évolution de la tension.
Il faudra donc la déterminer.
Et pour cela, il faut utiliser les fameuses... conditions initiales!!

Encore des ennuis en perspectives...

Mais non mais non, qu'allez-vous vous imaginer ^^. C'est très simple.
Et puisque le cours s'éternise et qu'on est presque au bout, je vous montre juste un exemple, et vous pourrez le refaire à votre guise avec plein d'autres équations.
Sachez juste que pour une équation du premier ordre, vous n'avez besoin que d'une condition initiale, qui porte en général sur la fonction solution.
Pour une équation du second ordre, vous aurez besoin de deux conditions initiales, portant sur la fonction, et également sur sa dérivée.

Donc reprenons notre exemple précédent (le numéro 1).
On avait une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants et à second membre constant de la forme :  f`(t) + a \times f(t) = b .
Et on avait trouvé que toutes les solutions étaient de la forme :  f(t) = \lambda \times e^{at} + \frac{b}{a} (où \lambda était une constante quelconque).
Supposons que cette équation différentielle est celle d'un système physique quelconque (électrique, mécanique, comme vous voulez^^).
On vous dit dans l'énoncé que vous devez trouver la loi d'évolution de la fonction f, en sachant qu'à l'instant initial (soit à t=0), vous avez  f(0)=3 .

Alors, en utilisant la solution que l'on a, on peut écrire :
 f(0) = \lambda + \frac{b}{a} (Puisque e^{0}=1.)
On a donc :
 \lambda = 3-\frac{b}{a} (En ordonnant simplement les termes de l'égalité.)

Et vous avez trouvé la seule valeur de \lambda qui correspond à votre problème, et vous avez fini votre exercice :P.
On refais la même chose quelque soit la forme de vos solutions, des fonctions a(t) et b(t). On se place toujours à t=0 et on utilise l'énoncé.

Euh oui d'accord, mais qu'est-ce qui me dit qu'il n'y a qu'une seule des solutions qui correspond à cette condition initiale ?

C'est encore un mathématicien mort qui l'a prouvé ;). Il s'appelait Cauchy, et il a montré qu'il n'existait qu'une unique solution de l'équation (L) qui correspondait à une condition initiale donnée. Je vous épargen encore une fois la démonstration, mais si elle vous intéresse, vous pouvez toujours aller la demander sur le Bar à Nougat ^^ (oui j'ai la flemme, et ça n'est pas vraiment fondamental ;)).



Au final...

On vient d'apprendre à résoudre toutes sortes d'équations différentielles du premier ordre. C'est déjà pas mal ;).
Ce cours se voulait le plus général possible, donc je m'excuse par avance si les exemples ne sont pas assez concrets.
En mathématiques, on étudie principalement la méthode de résolution, comme ici. Donc si vous avez un exercice de maths sur les équations différentielles, vous devrez justifier vos calculs comme ici. Cependant, si c'est un exercice de physique, on part du principe que vous connaissez déjà la méthode, et donc vous n'avez pas besoin de tout justifier. Par exemple vous pourrez directement donner la forme de la solution de votre équation homogène, puisque vous aurez déjà résolu des tonnes et des tonnes d'équations du même type ;).

Je vais éviter de rajouter encore et encore des lignes à ce cours qui en fait déjà beaucoup, et je vais terminer par un petit résumé de ce qu'il faut faire pour résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre, histoire de bien mettre les choses au clair ;).

[---]
-Tout d'abord on cherche la forme générale des solutions de l'équation homogène associée.
-Puis on cherche une solution particulière de l'équation globale.
-Enfin, si on ne veut qu'une solution spécifique au problème posé, on utilise les conditions initiales pour la déterminer.


[---]

N'hésitez pas à vous inventer des équations et à les résoudre pour vous entraîner. La maîtrise vient avec la pratique ;).
Merci de votre attention, et à bientôt pour de nouvelles aventures dans le monde fabuleux des mathématiques^^.
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Math : Nombres Complexes - PCSI

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Corps \mathbb{C} des nombres complexes

1) Rappels : Opérations dans \mathbb{C}
Il arrive qu'une équation n'est pas de solutions dans un ensemble donné. (par exemple : x\,+\,3\,=\,5 n'a pas de solutions dans \mathbb{N} d'où la création de l'ensemble \mathbb{Z}. D'où l'existence d'un ensemble \mathbb{C})
a) On admet qu'il existe un ensemble de nombres appelés : nombres imaginaires noté \mathbb{C} tel que :
\forall z\in\mathbb{C} \,\, \exists ! (x;y) \in \mathbb{R}^2 \,\, z=x+iy
Partie réel : \mathcal{R}e_z=x
Partie imaginaire : \mathcal{I}m_z=x
Avec i^2=-1\,
b) \mathbb{C} est muni de 2 opérations (loin de composition interne) l'addition et la soustraction.
L'addition est commutative, associative, possède un symétrique, et \mathbb{C} possède un élément neutre pour l'addition. (CANS) De plus, la multiplication est associative, distributive, possède un symétrique et \mathbb{C} possède un élement neutre pour l'addition.
Ainsi (\mathbb{C},\,+,\,\times) est un corps. (commutatif car la multiplication est commutative.)

c) Conjugaison
\bar{z}=\mathcal{R}e-i\mathcal{I}m\,\,n\in\mathbb{R}
On a donc comme propriété :
  • \bar{z+z_1}=\bar{z}+\bar{z_1}
  • \bar{zz_1}=\bar{z}\times\bar{z_1}
  • \bar{\bar{z}}=z
  • \bar{z^n}=\bar{z}^n
  • z+\bar{z}=2\mathcal{R}e_z
  • z-\bar{z}=2i\mathcal{I}m_z

1) Image, affixe
a) Définition
Soit le plan \mathcal{P} muni d'un repère orthonormé.
  • z est associé à M. (M image de z et z affixe de M)
  • z est associé à \vec{OM} (z affixe de \vec{OM})

b) Propriétés des affixes
  • Affixe de \vec{MM_1} : z_1-z
  • Aff(\vec{V}+\vec{V_1})\,=\,Aff(\vec{V})+Aff(\vec{V_1})
  • Aff(\lambda\vec{V})\,=\lambda Aff\vec{V}
  • Milieu : z_I=\frac{z_A+z_B}{2}
  • Barycentre : \vec{OG}=\frac{\alpha\vec{OA}+\beta\vec{OB}+\gamma\vec{OC}}{\alpha+\beta+\gamma}

3) Module d'un complexe
a) Définition
  • |z| = OM
  • |z| = \sqrt{z\bar{z}}
  • |z| = \sqrt{\mathcal{R}e^2+\mathcal{I}m^2}

b) Propriétés
[tableau centrer]
Propriété Démonstration |z| = 0\,\Longleftrightarrow\,z=0 Cela va de soit :) |zz_1| = |z|\times|z_1| \sqrt{zz_1\times\bar{zz_1}}=\sqrt{z\bar{z} \times z_1\bar{z_1}}=|z|\times|z_1| |\bar{z}| = |z| \sqrt{\bar{z}\bar{\bar{z}}}=\sqrt{z\bar{z}}=|z| |\frac{1}{z}| = \frac{1}{|z|} z\times\frac{1}{z} |\frac{z}{z_1}| = \frac{|z|}{|z_1|} z\times\frac{1}{z} |\mathcal{I}m|\,\leq\,|z|
|\mathcal{R}e|\,\leq\,|z| D'après pytagore |z-z_1|=MM_1 Inégalité triangulaire :
\forall(z,z_1)\in\mathbb{C}^2\,\,|z+z_1|\leq|z|+|z_1|
|z+z_1|=|z|+|z_1|\,ssi\,(\exists k\in\mathbb{R}_+ \,\, z=kz_1)\,ou \,z=0 [/tableau]



4) Arguments d'un complexe (\neq\,0)
a) Définitions

b) Propriétés

c) Notation exponentielle
Formule de moivre
Fomule d'Euler

5) Ensemble \mathbb{U} des complexes de modules 1
a) Définition
b)

II] Applications des nombres complexes

1) Addition et différence de 2 exponentielles de module 1
a)
b)
2) Linéarisation
a)
b)
c)
3) Autres formules de trigonométrie

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Division euclidienne ou divisibilité dans Z

I] Diviseurs et multiples d'un entier relatif

A) Définition
On dit que l'entier relatif b divise l'entier relatif a s'il existe un entier relatif q tel que : a=bq
q est le quotient exact de a par b. On dit aussi que b est un diviseur de a. Ou alors a est divisible par b. Ou a est un multiple de b.


Notation
Se note : b|a
Se prononce : "b divise a"

Exemple
-12\,=\,3\,\times\,(-4) Alors 3|-12, 3 divise -12.

Propriétés Soit n appartenant à \mathbb{N}^*
1) n a un nombre finit de diviseurs.
2) tout diviseur d plus grand que 0 de n, est tel que Image

Démonstration
Si d divise n, il existe un entier naturel k tel que : n=d*k
Image
Image
Image
Image
et n a, au plus, n diviseurs. (autrement dit, il y a un nombre finit de diviseurs de n dans N)

Remarques Soit a appartenant à Z
1) Image
Tout entier relatif admet au moins 4 diviseurs dans Z : a, 1, (-a) et (-1)
2) Image
Tout entier relatif a divise 0. (donc 0 admet une infité de diviseurs)
3) L'ensemble des multiples de a est : -(k+1)a;\,-ka;\,...;\,-2a~;\,-a;\,0;\,a;\,2a;\,ka;\,(k+1)a
(k appartenant à N<sup>*</sup>)
Si a=0 ensemble des multiples de 0 : {0} (c'est un singleton)
Si a=1 ensemble des multiples de 1 : Z


B) Propriétés
Soient a, b et c, trois entiers relatifs.
1) La transitivité
Si a|b et b|c alors a|c
Démonstration
Hypothèses :
  • a|b <=> Il existe un entier relatif q tel que : b=aq
  • b|c <=> Il existe un entier relatif q' tel que : c=bq'
Alors c=aqq' or qq' appartientà Z, donc par définition : a|c

2)
Si a|b alors ac|bc
Démonstration
Hypothèses :
  • a|b <=> Il existe un entier relatif q tel que : b=aq
Donc bc=acq
Alors ac|bc

3)
Si a|b et a|c alors a|(b+c) et a|(b-c)
Plus généralement, pour tout entier relatif k et k' : a|(kb+k'b)

Démonstration
Hypothèses :
  • a|b <=> Il existe un entier relatif q tel que : b=aq
  • a|c <=> Il existe un entier relatif q' tel que : c=aq'
k et k' appartenant à Z on a :
kb + k'c = kaq + k'aq'
= a(kq + k'q') avec (kq + k'q') appartient à Z
Alors a|(kb+k'c)
  • En prenant k=k'=1 : a|(b+c)
  • En prenant k=1 et k'=(-1) : a|(b-c)



II] Diviseurs euclidienne dans Z

A) Théorème
Soit a un entier relatif et b un entier naturel, b étant différent de 0.
Il existe un unique entier relatif q et un unique entier naturel r tel que :
\left\{\begin{array}{lll} a = b \times q + r\\0 \leq r<b\end{array}\right.


Démonstration
Considérons les multiples de b : -(k+1)b;\,-kb;\,...;\,-2b~;\,-b;\,0;\,b;\,2b;\,kb;\,(k+1)b
  • 1<sup>er</sup> cas : a est multiple de b.
    Selon la définition, il existe un entier relatif q unique tel que : a=bq et r=0
  • 2<sup>ème</sup> cas : a est compris entre 2 multiples de consécutifs de b.
    Il existe un entier relatif q unique tel que : Image
    Or b(q+1) = bq+b
    Alors : Image
    Or a-bq=r
    On a alors : Image
    Il existe donc un unique entier naturel r avec Image

Définition
On dit qu'on a effectué la division euclidienne de a par b. Où q est le quotient et r le reste.


B) Propriétés
  • b|a <=> r=0
  • On peut étendre le théorèùe ou cas où b est un entier relatif :
    Il existe un entier relatif unique q et un entier naturel unique r tel que :
    [tex]\left\{\begin{array}{lll} a = b \times q + r\\0 \leq r<|b|\end{array}\right.[/math]


C) Remarques
  • Image est une inégalité vraie mais ce n'est pas la division euclidienne de 21 par 5. (car 6>5)
  • Les restes possible d'un entier relatif a par un entier Image sont : 0, 1, 2, ..., b-1, ...
    Ainsi tout entier relatif a peut s'écrire :
    a=2k ou a=2k+1 (k appartenant à Z)
    a=3k' ou a=3k'+1 ou a=3k'+2 (k' appartenant à Z)
    a=4k'' ou a=4k''+1 ou a=4k''+2 ou a=4k''+3 (k'' appartenant à Z)
  • Tout entier naturel n pair peut s'écrire : Image
    Tout entier naturel n impair peut s'écrire : Image



III] Algorythme d'Euclide et PGCD

A) Définition
Soient a et b, deux entiers naturels, non-nuls. Le plus grand diviseur commun à a et à b est appelé PGCD de a et de b. Il est noté : PGCD(a,b)

Conséquences
  • b|a\, \Longleftrightarrow \, PGCD(a,b)\,=\,b
  • PGCD(a,b)\, \Longleftrightarrow \, b|a

B) Lemme d'Euclide
Soient a et b, deux entiers naturels non-nuls. Si des entiers naturels a et r (r \neq 0) sont tels que : a=bq+r
Alors le PGCD de a et b est égale au PGCD de b et r. Soit : PGCD(a,b)\,=PGCD(b,r)


Démonstration
Soit d un diviseur commun à a et b, alors :
  • d divise a et d divise b. Donc d divise bq.
  • Alors d divise (a-bk)
  • Donc d divise r. Donc d est un diviseur commun à b et r.

Réciproque
Soit d' un diviseur commun à b et r, alors :
  • d' divise b et d' divise r. Donc d' divise bq.
  • Alors d' divise (bq+r)
  • Donc d' divise a. Donc d' est un diviseur commun à b et a.

Par conséquent, (a,b) et (b,r) ont les mêmes diviseurs, en particulier le même PGCD.

Exemple
Trouver le PGCD de 80 et 35.
  • On fait la division Euclidienne de 80 par 35 :
    80 = 35 x 2 + 10
    Or d'après le Lemme d'Euclide : PGCD(80,35) = PGCD(35,10)
  • On fait la division Euclidienne de 35 par 10 :
    35 = 10 x 3 + 5
    Alors PGCD(35, 10) = PGCD(10, 5)
  • De même :
    10 = 5 x 2 + 0
    Alors PGCD(10,5) = PGCD(5,0) Or 5 divise 0, donc PGCD(5,0) = 5
Donc : PGCD(80,35) = 5

C) Calcul du PGCD par l'algorythme d'Euclide

A suivre...


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ROC : Corolaire du théorème des valeurs intermédiaires

Théorème admis des Valeurs Intermédiaires

Abréviation : TVI
Ce théorème est nécessaire pour démontrer le corolaire du TVI, mais sa démonstration n'est pas exigible.

Soit f une fonction définie et continue sur I.
Soit a et b, deux réels de I.
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un réel L compris entre a et b tel que f(c) \, = \, k


Exemple
Soit l'équation \cos(x)^2 \, = \, \frac{1}{3}
La fonction f(x) = \cos(x)^2 est définie et continue sur \mathbb{R}. (car x \, \equiv \, \frac{\pi}{2} \, [\pi]) En particulier, elle est continue sur [0 , \pi]
Comme 0 \leq \frac{1}{3} \leq 1, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \cos(x)^2 = \frac{1}{3} admet au moins une solution c dans l'intervalle [0 , \pi]

Corolaire du théorème des Valeurs Intermédiaires

C'est ce corolaire qu'il faut savoir démontrer.

Si f est une fonction continue et strictement monotone (monotone : Soit croissante tout le temps, soit décroissante tout le temps.) sur un intervalle [a , b] alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k admet une solution unique dans l'intervalle [a , b]
On dit que f réalise/effectue une bijection (ou encore : est une bijection) de l'intervalle [a , b] sur l'intervalle [f(a) , f(b)] ou [f(b) , f(a)].


Démonstration à connaître
Existence d'une solution
L'existence d'une solution c dans [a , b] de l'équation f(x) = k est assurée par le théorème des valeurs intermédiaires puisque f est continue sur l'intervalle [a , b].

Unicité de la solution
Raisonnons par l'absurde.
Supposons qu'il existe une autre valeur de l'intervalle [a , b] appelé c' tel que : f(c') = k avec c \neq c'.
On a alors f(c) = f(c')
Puisque f est strictement monotone et c \neq c' on a :
  • soit f(c) < f(c')
  • soit f(c) > f(c')
Ce qui est absurde puisque f(c) = f(c').
Donc l'hypothèse de départ est fausse, donc c = c'. D'où l'unicité de la solution.

Conclusion
L'équation f(x) = k admet une seule et unique solution sur [a , b].


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ROC : Théorème des Gendarmes

Théorème

Si au voisinage de a, les fonctions f, g et h vérifient :
g(x) \leq f(x) \leq h(x)
Et si g et h convergent vers la même limite l en a, alors :
\lim_{x \rightarrow a} f(x) = l


Démonstration

Soit J, un intervalle centré en L.

  • Puisque : \lim_{x \rightarrow a} g(x) = l
    il existe un réél A \in ]\alpha; + \infty[ tel que, pour tout x>A : g(x) appartient à J.

  • Puisque : \lim_{x \rightarrow a} h(x) = l
    il existe un réél B \in ]\alpha; + \infty[ tel que, pour tout x>B : h(x) appartient à J.

  • Soit C, le plus grand nombre de A et B.
    Pour tout x>C on a donc :
    g(x) appartient à J ET h(x) appartient à J.
    Comme g(x) \leq f(x) \leq h(x)
    On a donc : f(x) appartient à J.

Donc f admet pour limite l quand x tend vers a.
C'est-à-dire, en langage mathématique :
\lim_{x \rightarrow a} f(x) = l


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ROC : Suite croissante, non-majorée

Théorème

Si la suite U_n est croissante et non-majorée alors :
\lim_{n \rightarrow + \infty} U_n = + \infty


Démonstration en langage courant

La suite U_n n'est pas majorée signifie que : quelque soit le réel M, il existe un entier N tel que U_N \, > \, M

Puisque la suite U_N est croissante, alors il existe un entier naturel n \geq N tel que U_n \geq U_N
Par conséquent, quelque soit l'entier naturel n \geq N : U_n \geq M
Donc, pour tout réel M > 0 il existe un entier N tel que : quelque soit n \geq N\,\,U_n > M

Ce qui prouve bien que la limite quand n tend vers + \infty de U_n est + \infty.

Démonstration en langage mathématique

La suite U_n n'est pas majorée signifie que : \forall \in \mathbb{R} \,\, \exists N \in \mathbb{N} \,\, U_N > M

Puisque la suite U_N est croissante, alors \forall n \geq N \,\,\, U_n \geq U_N
Par conséquent \forall n \geq N \,\,\, U_n \geq M
Donc, \forall M > 0 \,\, \exists N \mathbb{N} \,\, (\forall n \geq N \,\,\, U_n > M)


Ce qui prouve bien que : \lim_{n \rightarrow + \infty} U_n = + \infty

Le symbôle \forall signifie "Quelque soit", "Pour tout".
Le symbôle \in signifie "appartient".
Le symbôle \exists signifie "il existe".
Ce sont des symbôles Mathématiques compréhensibles par les matheux des quatre coins de la planète :D


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Mais qu'est ce qu'un ROC en math ?

ROC = Restitution Organisée de Connaissance.

Les élèves de Terminale S en France pour le Baccalauréat se voient soumis, lors de l'épreuve de Mathématiques, à un exercice appelé : ROC.
Dans cet exercice, le bachelier doit faire la démonstration d'un théorème ou d'une propriété qu'il aura appris en cours durant l'année. En somme cela revient à réciter une démonstration apprise par coeur (ou bien comprise en tout cas) tout en l'adaptant au contexte ;)

Voilà pourquoi il existe des démonstrations à apprendre, tout du moins à connaitre, pour pouvoir les restituer clairement et explicitement.

Je vais tenter de mettre au fur et à mesure de l'année sur la Bnbox toutes les ROC... en tout cas une bonne partie :D

Liste des ROC sur la Bnbox



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