Vous êtes ici : Accueil > Concours > Grandes écoles > Liste des articles

Concours -Grandes écoles

CCP PSI 2008 - Exercice d'oral [Séries, séries de fonctions, intégrales]

Enoncé


Soit S(x) \,=\, \sum_{2}^{+ \infty } \frac {(-1)^{n}x}{n^{x}}.

  • 1) Trouver le domaine D de définition de S.
  • 2) Montrer que S est intégrable sur D, et calculer \int_{D}^{} S en l'exprimant à l'aide d'une série numérique.


Eléments de réponse


  • 1) On cherche en fait à connaître le domaine sur lequel S converge. On peut pour cela utiliser le critère spécial pour les séries alternées.
  • 2) Utiliser le théorème de convergence dominée


PSI - Exercice de colle

Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Soit u \in \mathcal{L}(E) tel que \forall x \in E \, \left(u(x)|x\right)=0
1) Montrez que Im(u)=Ker(u)^{\bot}
2) Montrez que, u \, pair \,\, \Longrightarrow \,\, rang(u)=dim \left(Im(u) \right)

Éléments de réponses
1) On montre l'inclusion \subset.
Puis on montre que dim \left(Im(u) \right)=dim \left(Ker(u)^{\bot} \right) par E=Ker(u) \bigoplus ^\bot Ker(u)^{\bot} et E=Ker(u) \oplus Im(u)
2) Un polynôme réel sans racine réelle est de degré pair.


PSI - Exercice d'oral [Orthogonalisation de Schmidt, Projeté orthogonal]

Calculer :
\inf \left{ \int_{0}^{+ \infty} e^{-t}(t^3-at^2-bt-c)^2 \mathrm{d}t \,\, \backslash \,\, (a,b,c) \in \mathbb{R}^3 \right}

Elements de réponse
Il faut calculer la distance du point t^3 à l'espace vect(1, t, t^2).


Réponse

Réponse : 36.
Il faut considérer le bon PS PS, et trouver les valeurs correspondant au projeté orthogonal de t^3 sur vect(1,t,t^2).
La valeur 36 est obtenue en :
\left\{\begin{array}{rcl} a

Correction fournie par FredB et You-Hieng.

CCP PSI 2008 - Exercice d'oral [Matrice, Diagonalisation]

Enoncé


On a A une matrice carrée d'ordre n de la forme :

A\,=\, \begin{pmatrix} 2

A est-elle diagonalisable ?

Elements de réponse

  • Remarquer la forme particulière de la matrice.


Corrigé


On a une matrice de rang 1 (car les lignes sont toutes identiques). Donc 0 est valeur propre de cette matrice, de multiplicité n-1

PSI (type Centrale) - Exercice d'oral [Intégrale, Décomposition en éléments simples]

Calculer l'intégrale suivante :
I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\tan(\theta)}\, \mathrm d \theta

Eléments de réponse
  • Commencez par vérifier que cette intégrale est bien intégrable.
  • Ensuite, faites un changement de variables.
  • Il ne reste plus qu'à décomposer en éléments simples... Et c'est là que ça se complique. Bon courage ;)

Réponse
  • Intégrabilité : Le seul problème est en \frac{\pi}{2}, donc posons \theta = \frac{\pi}{2} - \epsilon\epsilon tend vers 0.
    Alors \tan(\theta) = \frac{1}{\tan(\epsilon)}
    Donc en effectuant un DL (ordre 1) de \sqrt{\tan(\theta)}, on voit que cette fonction converge. Donc elle est intégrable sur \left[0,\frac{\pi}{2}\right[
  • Changement de variable avec u = \sqrt{\theta} donc \mathrm{d}u = \frac{1+u^4}{2u} \mathrm{d}\theta. On a alors :
    I = \int_0^{+ \infty} \frac{2u^2}{1+u^4} \mathrm{d}u
  • Et là deux solutions s'offrent à nous, soit on fait la décomposition en éléments simples avec pleins de calculs, soit on décompose en réels, ce qui allège un peu les calculs. Je détaille ci-dessous le début de la première méthode, puis rapidement la deuxième.
    [liste_s]Cherchons les racines du dénominateur :
    1+u^4 = 0 \,\, \Longleftrightarrow \,\, u^4=-1=1 \, e^{i \pi} \,\, \Longleftrightarrow \,\, u=\sqrt[4]{1} \, e^{i \frac{\pi}{4}} = \sqrt[4]{1} \omega
    Donc (1+u^4) = (1+\omega)(1-\omega)(1+i \omega)(1-i \omega)
    Il ne reste plus qu'à trouver les quatre constantes de la décomposition en éléments simples.[/liste_s]
    [liste_s]On décompose en réel :
    1+u^4 = (u^2+1)^2 + (\sqrt{2}u)^2 = (u^2 - \sqrt{2}u +1)(u^2 + \sqrt{2}u +1)
    On doit donc trouver quatre constantes :
    \frac{2u^2}{(u^2 - \sqrt{2}u +1)(u^2 + \sqrt{2}u +1)} = \frac{Au+B}{(u^2 + \sqrt{2}u +1)} + \frac{Cu+D}{(u^2 - \sqrt{2}u +1)}
    On peut remarquer que u \rightarrow 0 \,\, \Longrightarrow \,\, B=-D et \times u, \, u \rightarrow + \infty \,\, \Longrightarrow \,\, A=-C
    On remplace, on développe et on trouve : B=D=0 et C=-A=-\frac{\sqrt{2}}{2}[/liste_s]
  • Reste à calculer I... On pose : X \,\, \rightarrow \,\, + \infty. On a : (1 \pm \sqrt{2}u+u^2)' = (2u \pm \sqrt{2}). On a alors :
    \int_0^{X} \frac{u}{1 \pm \sqrt{2}u+u^2} \mathrm{d}u = \frac{1}{2} \int_0^{X} \frac{(2u \pm \sqrt{2}) \mp \sqrt{2}}{1 \pm \sqrt{2}u+u^2} \mathrm{d}u = \frac{1}{2} \int_0^{X} \frac{2u \pm \sqrt{2}}{1 \pm \sqrt{2}u+u^2} \mathrm{d}u \, \mp \, \frac{\sqrt2}{2} \int_0^{X} \frac{\mathrm{d}u}{1 \pm \sqrt{2}u+u^2}
    Sachant que :
    \int_{}^{} \frac{u'}{u}\mathrm{d}u = \ln(u)
    \int_{}^{} \frac{\mathrm{d}u}{u^2+a^2} = \frac{1}{a} \arctan(\frac{u}{a})
    En terminant les calculs et en prenant les deux parties de l'intégrales, on obtient : I = \color{Red}\frac{\sqrt{2} \pi}{2}


Cet exercice peut s'avérer délicat à certains endroits, et ce qui est exposé ici est la démarche générale, sans entrer dans les détails. Si vous avez un problème à un endroit de la résolution, vous pouvez poser vos questions sur le Bar à Nougat.


Centrale PC 1997 - Exercice d'oral [Géométrie, Courbe polaire]

Etudier :
\rho(\theta) = \frac{1}{|\cos(\theta)|+|\sin(\theta)|}


Elements de réponse
Voici la liste des choses à faire ou à chercher :
  • symétrie et rotation pour limiter l'ensemble d'étude
  • tracé rapide de la courbe
  • recherche de point(s) régulier(s) et donc des tangentes
  • tracé final

Réponse
  • \rho(-\theta) = \rho(\theta), avec un dessin, on voit qu'il y a une symétrie par rapport à l'axe des x.
  • \rho(\theta + \frac{\pi}{2}) = \rho(\theta), avec un dessin, on voit qu'il y a rotation d'angle \frac{\pi}{2}. On peut donc limiter note étude à l'intervalle \left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right], et donc à \left[0,\frac{\pi}{4}\right] grâce à la symétrie d'axe x.
  • \rho(0) = 1 \quad \rho(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} on peut donc tracer une allure de la courbe.
  • Le cours nous dit qu'en polaire, il n'y a des points réguliers qu'à l'origine, or ici on semble en avoir 4. Cherchons donc l'angle V.
    \tan(V)=\frac{\rho'}{\rho} (dans notre intervalle, les sinus et les cosinus sont positifs, donc on peut enlever les valeurs absolues). Donc en 0, on a V \equiv -\frac{\pi}{4} \, [\pi] et en \frac{\pi}{4}, on a V=0. En traçant la courbe, on voit que les tangentes en 0, \frac{\pi}{4} et \frac{\pi}{2} sont une seule et même droite d'équation x+y=1.
  • Cherchons ce que fait la courbe par rapport à cette droite en prenant x=\rho(\theta) \cos(\theta) et y = \rho(\theta) \sin(\theta). On cherche le signe de x+y-1, afin de déterminer si la courbe et en dessous ou au dessus de la droite. En fait, on trouver x+y-1=0. Donc la courbe décrit la droite.
  • Au final, on obtient donc un carré :
    Image

PSI - Exercice d'oral [Géométrie, Quadrique]

Donner la nature de xy + yz + zx = 1 (1)

Réponse
On cherche la nature d'une quadrique. Posons :
A = \begin{pmatrix} 0

(1) est donc équivalente à : ^tXAX=1
Or A \in S_n(\mathbb{R}), donc d'après le théorème spectral : \exists P \in O_n(\mathbb{R}) \,\, \exists D \in D_n(\mathbb{R}) \,\, A=PDP^{-1}

On pourrait calculer le polynôme caractéristique de A (à la main) assez rapidement, mais voici une petite astuce pas mal, on remarque :
B = \begin{pmatrix} 1
Le polynôme annulateur de B se calcule de tête en raisonnant sur le rang et la trace de B, on a \chi_B(X)=-X^2(X-3). Par conséquent, on a :
D = \begin{pmatrix} 1

Donc en posant Y=\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix}=P^{-1}X
(1) équivaut à ^tYDY=1 dont équivaut à \frac{y'}{\sqrt{2}}^2 + \frac{z'}{\sqrt{2}}^2 - {x'}^2 = -1

De par la forme de cette dernière équation, on peut dire que cette quadrique est un hyperboloïde à 2 nappes.


CCP PSI 2006 - Exercice d'Oral

Enoncé

Montrer que A \in M_{n}(\mathbb R) telle que A^{3}\,=\,A\,+\,I_{n} est diagonalisable dans M_{n}(\mathbb C).
En déduire que \det A \,> \,0


Éléments de réponse

Se rappeler des conditions de diagonalisabilité (^^) d'une matrice.


Réponse

X^{3}\,-\,X\,-\,1 est un polynôme annulateur non nul. On peut l'écrire sous une forme scindée simple dans \mathbb C [X]. A possède donc un polynôme annulateur scindé simple.
Elle est diagonalisable dans M_{n}(\mathbb C).

On peut donc l'écrire : A\,=\, PDP^{-1} où D est diagonale, et ses coefficients diagonaux sont complexes.
Le déterminant est invariant par changement de base, donc \det A \,=\, \det D.

Centrale PSI 2000 - Exercice d'oral [Série entière, Equation différentielle]

Enoncé


Soit la suite (a_{n}) définie par récurrence par :

\left\{ a_{0}\,=\,1\\a_{1}\,=\,1\\a_{n+1}\,=\, a_{n} \,+\, 2 \frac {a_{n-1}}{n+1} \,\, \forall n \ge 1\\\right.

1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière : \sum_{n=0}^{+\infty} a_{n}x^{n}.

2. Déterminer la somme de cette série (on pourra s'aider d'une équation différentielle).


Méthode de résolution



1.
  • Essayer de conjecturer le résultat au brouillon en passant à la limite dans le critère de d'Alembert. On doit conjecturer R=1.
  • Essayer de trouver un encadrement de a_{n} qui permettra de trouver le R conjecturé précédemment. Pour cela, minorer a_{n} par 1, ce qui est intuitif. Puis raisonner par récurrence pour majorer a_{n} par n^{2} (moins intuitif, mais n^{2} est la première puissance de n qui passe bien à la récurrence).
  • En déduire un encadrement sur R, ce qui permet de conclure.


2.
  • Poser f(x)\,=\,\sum_{n=0}^{+\infty} a_{n}x^{n}.
  • Calculer f'(x). Faire apparaître par changement d'indice a_{n+1} puis utiliser la relation de récurrence. (Faire attention aux intervalles de variation de n)
  • On obtient une équation différentielle du premier ordre, homogène, à coefficients non constants. Il faut calculer une primitive obtenue par décomposition en éléments simples pour la résoudre. Puis on utilise les conditions initiales pour déterminer entièrement la solution.


Solution



Pour simplifier les calculs par la suite et éviter les problèmes d'indice, on peut poser : a_{-1}\,=\,0.

1.
On doit trouver R\,=\,1.
L'encadrement de a_{n} nous donne d'une part que la série de terme général a_{n}x^{n} a un rayon de convergence inférieur ou égal à celui de la série de terme général x^{n} (i.e. 1). D'autre part que ce rayon est supérieur ou égal à celui de la série de terme général n^{2}x^{n} (égal lui aussi à 1 par le critère de d'Alembert).

Attention ! Ne pas majorer trop brutalement pendant le raisonnement par récurrence, mais plutôt raisonner par équivalences.

2.
On obtient l'équation différentielle suivante :
f'(x)\,-\, \frac{1+2x}{1-x}f(x)\,=\,0

On doit calculer la primitive de \frac{1+2x}{1-x}. On décompose cette fraction en éléments simples de la forme : \frac{1+2x}{1-x}\,=\, \alpha \,+\, \frac{\beta}{1-x}.
On trouve  \alpha \,=\, -2 et  \beta \,=\, 3, ce qui permet de calculer la primitive, et de terminer la résolution de l'équation.

Finalement, on trouve :  f(x) \,=\, \frac {\exp(-2x)}{(1-x)^{3}}, ce qui est la somme demandée.

Cet exercice peut s'avérer délicat à certains endroits, et ce qui est exposé ici est la démarche générale, sans entrer dans les détails. Si vous avez un problème à un endroit de la résolution, vous pouvez poser vos questions sur le Bar à Nougat.

ENSI PSI - Exercice d'oral [Matrice, Polynôme caractéristique]

Enoncé


Soit A \in M_{n}(\mathbb{C}) et B telle que B \,=\, \begin{bmatrix} A

Calculer le polynôme caractéristique de B en fonction du polynôme caractéristique de A.


Méthode de résolution



  • Ecrire la définition du polynôme caractéristique de B.
  • Faire des opérations sur les lignes et les colonnes jusqu'à obtenir un déterminant par blocs calculable.
  • Calculer ce déterminant et faire apparaître le polynôme caractéristique de A.

Réponse


\chi_{B}(X) \,=\, (-2X)^{n} \, \chi_{A}(\frac{X}{2})

Normalement, on arrive sans problème au résultat en suivant la méthode. Cependant, si vous avez un problème à un endroit de l'exercice, vous pouvez poser vos questions sur le Bar à Nougat.

ENSI PSI - Exercice d'oral [Développement limité]

Effectuer un développement limité à l'ordre 4, au voisinnage de \pi / 4 de : f(x) = \tan(x)^{\tan(2x)}


Eléments de réponse
Les calculs sont vraiment bourrins, donc il faut foncer en essayant de simplifier au maximum et en cherchant des petites astuces.

  • f(x) = \tan(x)^{\tan(2x)} = e^{\tan(2x)\ln(\tan(x))}
  • On connait un DL de la fonction tangente à 0, mais pas à \pi / 4, donc on va poser : x = \frac{\pi}{4} - \epsilon (où on fait tendre \epsilon vers 0)
  • Rappelons que, au voisinage de 0 : \tan(x) = x + \frac{x^3}{3} + o(x^4)
  • Le DL de \tan(2x) est relativement simple en utilisant les formules d'addition de cosinus et sinus.
  • On peut faire le DL de tangente, puis de sinus, mais il y a une astuce qui consiste à remarque que : \ln(\tan(x))' = \frac{-2}{\cos(2 \epsilon)}; Ce DL est bien plus simple à calculer et il ne reste plus qu'à en chercher la primitive.
  • Il ne reste "plus" qu'à calculer le DL de l'exponentielle.

On obtient le résultat final à l'ordre 4 : f(x) = e^{-1}(1 + \frac{2}{3} \epsilon^2 + \frac{4}{5} \epsilon^4 + o(\epsilon^4))

Merci à mat pour avoir dégoté une erreur sur le dl de tangente. Si jamais le résultat était encore faux, c'est désormais sa responsabilité :p

ENSI PSI - Exercice d'oral [Endomorphisme]

Soit E un espace vectoriel de dimension finie et f une forme bilinéaire symétrique telle que : f(v,v)=0 \, \Longleftrightarrow \, v=0
Soit u un endomorphisme de E tel quel : \forall(x,y) \in E^2 \,\, f(u(x),u(y)) = f(x,y)
Montrer que u est bijectif.


Réponse
  • Soit x \in Ker(u), donc u(x)=0
    Or f(u(x),u(x)) = f(x,x) = f(0,0) = 0
    Donc, d'après la définition de f, x=0.
    Donc Ker(u)=\{0\}, donc u est injectif.
  • Or E est de dimension finie, donc u injectif \Longleftrightarrow u surjectif \Longleftrightarrow u bijectif

    Donc u est bijectif ;)