La Bnbox !

Créateur de sourires...

Mon compte

S'inscrire

Recherche

Vous êtes ici : Accueil » Cahier de l'élève » Mathématiques » Bases de la logique

Cahier de l'élève



« Article précédent - Sommaire - Article suivant »

Mathématiques : Bases de la logique

Introduction




La logique est quelque chose d'important, non-seulement en mathématiques, mais aussi dans la vie de tous les jours. En effet, c'est mieux d'avoir un esprit bien structuré bn_tongue.

Vous m'objecterez que la logique, c'est quelque chose d'intuitif : on dit de quelqu'un qu'il est "logique", ou l'inverse, au vu de ses actions, de ses attitudes, etc...
En effet, la logique est quelque chose d'intuitif, de très intuitif.
Mais depuis longtemps, certains ont pensé codifier cette "logique".

Je sais que cela va vous paraître bizarre, mais en lisant la suite du cours, tout va s'éclairer (j'espère, sinon je n'aurai servi à rien bn_tongue).

A propos de la logique en mathématiques maintenant, on peut dire qu'elle est la base de beaucoup de choses, et notamment des méthodes de raisonnement. Ce lien entre la logique et les méthodes de raisonnement sera explicité un peu plus loin, mais sachez simplement que si personne n'avait codifié la "logique" intuitive, que nous possédons tous, eh bien cette logique sauvage n'aurait peut-être pas permis de démontrer tous ces théorèmes.
Car on ne démontre quelque chose qu'en ayant l'esprit bien structuré.

Ce cours n'a pas pour but de vous formater le cerveau bn_tongue. Il expose les bases de la logique utilisée en mathématiques (semblable à celle utilisée en SI, ou dans d'autres matières), et et a simplement pour but de vous aider à avoir les idées claires avant de vous lancer dans une démonstration compliquée. Il sera complété par un autre cours, axé principalement sur les méthodes de raisonnement.


Les assertions


Définition :

On appelle assertion toute phrase qui ne peut être que vraie ou fausse.

Ici, je pense que la définition est assez claire bn_tongue. Une assertion est une phrase qui peut être soit vraie, soit fausse.
Exemples :


Exemple dans la vie de tous les jours :
"J'ai un chien."
Cette phrase est une assertion. Soit elle est vraie, et on a un chien, soit elle est fausse et on n'en a pas.
On ne peut pas avoir un demi-chien (si, si je vous assure bn_tongue).


Exemples en maths :
-"2 est un entier naturel."
Cette phrase est une assertion, et elle est vraie.
-"\sqrt 2 est un nombre rationnel."
Cette phrase est aussi une assertion, mais celle-ci est fausse (cf. cours sur le raisonnement par l'absurde si vous voulez une preuve bn_wink).


Bon, je pense que vous avez compris ce qu'est une assertion. Vous voyez, la "logique", ce n'est rien de tordu qui tend à formater nos cerveaux, c'est quelque chose de tout a fait "logique", et rationnel.
Une fois que vous êtes sûrs d'avoir bien compris, on va passer à l'étape suivante, on va parler d'opérateurs logiques, et ça va se compliquer un petit peu. Mais n'ayez pas peur, c'est toujours logique bn_tongue.

Les opérateurs logiques


C'est quoi ?


Lorsque l'on a une ou plusieurs assertions (une ou plusieurs phrases), on peut en former d'autres, grâce à ce qu'on appelle des opérateurs logique.
Par exemple, vous pourrez grâce à eux dire que 2 phrases sont vraies en même temps, ou que soit l'une soit l'autre est vraie, ou que l'une implique l'autre.
C'est une notion assez étrange, et surtout le mot "opérateur", qui déstabilise un peu au début. Mais tout ça n'a rien de très sorcier.

La négation, la conjonction, et la disjonction :


La négation

On commence par le plus simple :  la négation, aussi appelé opérateur NON.

Prenez une assertion que vous appelez A : "J'ai un chien".
Supposez qu'elle est vraie, et que vous ayez un chien.

On appelle non-A, la négation de A, c'est-à-dire l'assertion contraire  : "Je n'ai pas de chien".
En l'occurence, puisque vous avez un chien et que A est une phrase vraie, alors non-A est une phrase fausse.

Si vous vous placez dans la situation inverse : vous n'avez pas de chien.
Alors pour vous, la phrase non-A sera vraie, et A sera fausse.

J'espère que vous avez suivi bn_wink.
Résumons-nous :
non-A est l'assertion qui est vraie lorsque A est fausse; et fausse lorsque A est vraie.


On peut résumer cela par un tableau qu'on appelle table de vérité :

A non-A
Vraie Fausse
Fausse Vraie


Je pense que vous comprendrez mieux avec le tableau.
Pour le lire, partez de la gauche et suivez : si la phrase A est vraie, non-A est fausse.
Puis ligne suivante : si A est fausse, non-A est vraie.

Ce tableau de vérité recense tous les cas possibles pour les deux phrases. Vous verrez qu'ils sont très utiles par la suite pour voir comment fonctionnent les autres opérateurs logiques. Donc je vous conseille de bien avoir assimilé la notion de tableau de vérité.

(Vous pouvez vous entraîner à former des négations de phrases diverses, ça vous sera très utile par la suite bn_wink).



La conjonction

Prenons deux assertions : A et B.
A : "Je mange du dessert".
B : "Je mange du fromage".

Ce qu'on appelle conjonction des deux assertions, c'est la phrase qui relie les deux par le mot ET. (La conjonction est aussi appelée l'opérateur ET bn_heureux).

Dans notre cas, la phrase (A et B), est la phrase : "Je mange du fromage ET du dessert".
Rien de très savant, comme vous le voyez bn_tongue.

On définit donc la conjonction ainsi :
(A et B) est une nouvelle assertion (phrase) qui est vraie si et seulement si A et B sont vraies en même temps.

Définition un peu tordue qu'on va se dépêcher de mettre dans une table de vérité pour y voir plus clair :

A B A et B
Fausse Fausse Fausse
Fausse Vraie Fausse
Vraie Fausse Fausse
Vraie Vraie Vraie


Interprétons le tableau :
Ligne 1 : A est fausse et B aussi, donc d'après la définition, la phrase (A et B) est fausse.
Ligne 2 : C'est pareil puisque B est vraie, mais A est fausse.
Ligne 3 : Idem.
Ligne 4 : Cette fois, les deux phrases sont vraies en même temps, donc (A et B) est une assertion vraie.

(Référez-vous en toujours à un exemple de phrase simple en cas de problème, ça aide toujours à comprendre.)



La disjonction

Je pense que vous commencez à comprendre, donc on va passer assez vite sur cet opérateur là : la disjonction (aussi appelé l'opérateur OU).
Rien qu'au nom vous devez deviner de quoi il s'agit bn_heureux.
Eh oui, c'est un opérateur qui sert à dire "ou".
"Je mange du fromage OU du dessert".

(Attention  ! Le "OU" mathématique n'est pas exclusif, c'est-à-dire que si vous mangez du fromage et du dessert, ça marche quand même.)

Une petite définition pour bien poser les choses :
(A ou B) est une assertion vraie lorsque l'une des deux phrases est vraie au moins.

A B A ou B
Fausse Fausse Fausse
Fausse Vraie Vraie
Vraie Fausse Vraie
Vraie Vraie Vraie


Ligne 1 : Aucune des deux phrases n'est vraie, donc forcément, (A ou B) est fausse.
Ligne 2 : On a la phrase B qui est vraie, donc (A ou B) est vraie.
Ligne 3 : idem avec A.
Ligne 4 : Les deux phrases A et B sont vraies. Donc au moins l'une d'elle est vraie. Cela rejoint ce que j'ai expliqué plus haut. Le OU ne se traduit pas par : soit l'un soit l'autre. Quand les deux assertions sont vraies en même temps, la disjonction des deux est vraie aussi mini_bn.


Voilà on arrive à la fin de cette petite sous-partie. Ces 3 opérateurs sont une petite mise en bouche avant ceux qui servent quotidiennement en maths bn_wink.
Mais pour pouvoir utiliser ces-derniers, il vaut mieux avoir compris les précédents. Donc je vous conseille une relecture attentive de ce qui est juste avant, et puis une fois que vous êtes au point avec votre fromage et votre dessert (bn_tongue), passez à la suite.


L'implication, et l'équivalence :


L'implication

Allons-y, passons aux maths proprement dit.
Sachez que les deux opérateurs logiques que vous verrez dans ce paragraphe sont utilisés tous les jours (voire même plus) dans les théorèmes, les exercices, les démonstrations (même si vous ne les voyez parfois pas).

L'implication... Qu'est-ce que c'est  ? Comment la définir avec des mots simples...
Imaginez qu'il pleuve. Vous êtes devant la porte de votre maison, prêt(e) à sortir, habillé(e) en T-shirt manches courtes. Là, un de vos amis vous dit : "Attention  ! Il pleut  !".
Là vous vous dîtes (si vous êtes sains d'esprit bn_tongue) : "Ah, mais s'il pleut, alors je vais mettre un k-way".
Dans notre cas, le fait qu'il pleuve implique que vous mettiez un k-way.

Après cette approche simple de la notion d'implication, voici la vraie définition :
A \Longrightarrow B (qui se lit "A implique B") est une assertion fausse dans le SEUL cas où A est vraie alors que B est fausse.

Revenons à notre histoire de k-way, et essayons de regarder dans quel cas notre implication est fausse.
Comme dit dans la définition, elle est fausse lorsque, alors qu'il pleut, vous ne prenez pas votre k-way.
En effet, dans ce cas là, le fait qu'il pleuve n'implique pas que vous preniez votre parapluie.

Attention : Si votre assertion de gauche est fausse, alors elle implique tout, nimporte quoi, et ce que vous voulez.
Exemple : Les poules ont des dents \Longrightarrow Je mets mon K-way.
Le soleil est noir \Longrightarrow Je mets mon K-way.
etc, etc...

Récapitulons le tout sous forme d'une table de vérité :

A B A implique B
Fausse Fausse Vraie
Fausse Vraie Vraie
Vraie Fausse FAUSSE
Vraie Vraie Vraie


Et effectivement, on retrouve bien ce que dit la définition : Le seul moment ou (A implique B) est une phrase fausse, c'est lorsque B est fausse alors que A est vraie.



Information importante : (A implique B) est aussi la phrase (non-B implique non-A). Je vous laisse le soin de faire une petite table de vérité pour le vérifier, c'est à votre portée maintenant bn_wink. Cependant, sachez que la phrase (non-B implique non-A) est appelée contraposée de l'implication (A implique B). Elle se révèle très utile pour certaines démonstrations où elle est plus simple à démontrer que l'implication.



Petite info supplémentaire pour ceux que cela peut intéresser : La phrase (A implique B) est aussi la phrase ((non-A) ou B).
Vous pouvez vous amuser à faire la table de vérité de cette dernière phrase pour vérifier, cela fera un bon exercice pour vos méninges bn_wink. Sachez aussi que cett propriété ne sert jamais (je ne m'en suis jamais servi bn_heureux). Je ne vous la donne qu'à titre d'exercice et d'information bn_wink).



L'équivalence

Comme le précédent opérateur, celui-ci va également servir dans beaucoup de démonstrations.
L'équivalence, qu'est-ce que c'est en simple ?
Je pense que le mieux est de vous donner la définition en premier :
Si on a A et B deux assertions, alors on dit que A "équivaut" à B si et seulement si les deux assertions sont simultanément vraies et fausses. On note  l'équivalence entre A et B par une double flèche : A \Longleftrightarrow B.

Il s'agit en fait d'une double implication (on peut le voir aux flèches qui ressemblent aux flèches d'implication^^).
Si A est vraie, alors B est vraie, et si B est vraie, alors A est vraie.
Idem si l'une des phrases est fausse. On a donc bien les deux phrases qui sont vraies ou fausses en même temps. 

Une petite table de vérité pour récapituler ça, puis on passera à quelques propriétés des opérateurs logiques. mini_bn

A B A équivaut à B
Fausse Fausse Vraie
Fausse Vraie Fausse
Vraie Fausse Fausse
Vraie Vraie Vraie


Comme je l'ai dit avant, l'équivalence peut se voir comme une double implication (ou une double contraposée, cf. plus haut^^). La phrase (A équivaut à B) est docn aussi la phrase :
-((A implique B) ET (B implique A))
mais aussi
-((A implique B) ET (non-A implique non-B)) (par la contraposée).
Ce qui nous montre que pour démontrer une équivalence, il faudra démontrer les deux implications bn_wink. (Voir l'article sur les méthodes de raisonnement^^)


Quelques petites choses à savoir :


Bon je l'avoue je suis passé assez vite sur la présentation de l'équivalence. Mais ne vous inquiétez pas, à force de l'utiliser, vous verrez de mieux en mieux ce que c'est.
Tout ce qui suit est un ensemble de propriétés plus ou moins intéressantes sur les opérateurs logiques.
Veillez à bien les connaître, parce qu'elles peuvent toujours servir.bn_wink.

Associativité, distributivité, commutativité :

Les opérateurs logique ET et OU sont associatifs et commutatifs.

Associatifs veut dire que l'on peut les associer comme on l'entend, cela ne change pas le sens de la phrase que l'on veut dire :
(A et B et C)=(A et(B et C))=(A et B) et C) (et pareil pour le OU bn_wink).
Par analogie aux nombres entiers : (1+2)+3 = 1+(2+3) = 1+2+3.
Cela peut être pratique dans certains cas.

Commutatifs veut dire que leur place importe peu, et donc qu'on peut échanger deux phrases reliées par un tel opérateur.
Exemple : (A ou B) = (B ou A)
En effet : "Je prendrai du fromage ou du dessert" et "Je prendrai du dessert ou du fromage" sont deux assertions qui veulent dire la même chose.
On peut à nouveau comparer ces propriétés à celles des nombres entiers : 1+2 = 2+1.


Et à propos de la distributivité ?
Eh bien sachez que chacun des deux opérateurs ET et OU est distributif par rapport à l'autre.
C'est-à-dire qu'ils se comportent comme la multiplication par rapport à l'addition : a(b+c)= ab + bc.

Ainsi : (A et (B ou C)) est aussi la phrase ((A et B) ou (A et C)).
Et :    (A ou (B et C)) est aussi la phrase ((A ou B) et (A ou C)).

Ces trois propriétés des opérateurs OU et ET se démontrent très facilement en construisant des tables de vérité. Je vous conseille d'essayer de le faire d'ailleurs, c'est un très bon entraînement.

Lois de De Morgan :

Ces lois sont assez simple à retenir dans le principe, mais les écrire  avec les notations que j'ai utilisé jusqu'à présent va être difficile.
Enfin... Vous allez avoir du mal à comprendre facilement.
Mais je vous fait confiance, un peu de courage bn_wink.
(Juste après, je vous donnerai un moyen mnémotechnique pour s'en rappeler à coup sûr).

Voici donc ces lois :

non-(A et B) est aussi ((non-A) ou (non-B))
et
non-(A ou B) est aussi ((non-A) et (non-B))


Vous voyez-bien que vous êtes perdus ? bn_tongue
Bon maintenant je vais vous montrer comment je les ai apprises et comment je m'en souviens.
Tout d'abord il faut s'imaginer et retenir que l'opérateur OU s'écrit par un +.
Et l'opérateur ET par un point, comme pour la multiplication : . .
Ensuite, la négation de la phrase se représente par une barre : \bar{A}= non-A.

(Si vous avez fait de la SI au lycée, vous êtes certainement déjà familiarisés avec ces notations, dans ce cas, tant mieux. Sinon, il va falloir faire un effort.)
Si on réécrit les lois, on a donc :
(\bar{A.B}) = \bar{A} + \bar{B}
et
(\bar{A+B}) = \bar{A} . \bar{B}

Je ne sais pas vous, mais moi ça me paraît de suite plus limpide bn_tongue.
Enfin bref... Comment se souvenir de cette loi ?
Pour ma part, je me dis que si j'ai A.B avec une barre au-dessus et que je veux le changer, je coupe la barre en deux, et je change le truc du milieu...

Vous pouvez aussi essayer de retenir la version normale :
La négation d'une conjonction de deux phrases est la disjonction de la négation de ces phrases.
Ou encore :
Le NON d'un ET est le OU des NON.

A vous de trouver ce qui vous convient le mieux. Tant que vous les retenez, c'est l'essentiel bn_wink.


A propos de la démonstration de ces lois... Eh bien vous vous doutez bien qu'elle se fait de la même manière que pour les autres propriétés, c'est-à-dire grâce à la table de vérité ! bn_heureux

Et voilà, on est arrivés à la fin de cette grande première partie sur les opérateurs. Je vous conseille de vous reposer un peu avant de passer à la suite, parce que c'est encore plus "prise de tête". bn_big_smile

Il existe d'autres opérateurs logiques, comme le OU-exclusif, le NOR, ou le NAND (en anglais). Mais ils ne sont pas utilisés en général en maths. S'ils vous intéressent (table de vérité, comment ça marche, etc...), posez vos questions sur le forum.


Les prédicats


C'est quoi ?


Huh  ? ? bn_blink Qu'est-ce que tu vas encore nous inventer  ? Tu crois pas qu'on a assez mal à la tête comme ça  ?


Euh, je suis sûr que si... Mais il faudra bien y passer un jour.
Je vous donne la définition tout de suite, comme ça vous souffrirez moins longtemps bn_wink.
(Mais ne vous inquiétez pas, je ne vais pas vous laisser agoniser, je vais tout vous expliquer.)

Soit E un ensemble. Un prédicat de référentiel E est un énoncé de la forme : A(x, y, ...) où x et y sont des lettres appelées variables telles que lorsque l'on transforme ces variables par des objets de E, on obtienne une assertion.

Maintenant que le gros morceau de ce cours est passé (et oui après c'est vraiment super simple;)), je passe aux explications (une petite partie a été emprunté à BN (dans son cours sur le raisonnement par récurrence), parce que j'ai trouvé ça assez bien expliqué bn_wink).

On commence par E : c'est un ensemble.
C'est-à-dire ? Eh bien c'est à dire que c'est un ensemble de nombres, de patates,de carottes, de BN, bref de tout ce que vous voulez  ! En gros c'est comme si vous aviez un sac de billes.

Maintenant prenons un prédicat que l'on appellera A et dont la variable sera x.
(Une variable est comme son nom l'indique... "variable". Donc elle n'est pas définie, elle peut prendre toutes les valeurs qu'on lui donne.)
Par exemple A(x) sera : "x est bleue".
Voilà ce qu'on appelle un prédicat : une phrase qui ressemble à une assertion, mais où il y a quelque chose qu'on ne connaît pas : la variable.

Attention : un prédicat n'est ni vrai ni faux. En effet dans un prédicat on ne précise pas ce qu'est la variable. (c'est comme si on vous disait : "j'ai une boîte et je vais faire entrer des objets dedans", ne connaissant ni la taille de la boîte, ni celle des objets, vous êtes dans l'incapacité de me dire si mon objet rentrera ou non dans la boîte.
Par contre si on remplace la variable de notre prédicat par des éléments de notre sac de billes, on obtiendra une assertion.

Imaginons que la bille 1 soit rouge et la bille 2 soit bleue.

On aura A(1) : "La bille 1 est bleue", qui sera une assertion fausse.
Par contre A(2) sera vraie, puisque la deuxième bille est bien bleue.


J'espère que vous commencez à entrevoir que ce n'est pas aussi compliqué que la définition semblait faire croire bn_wink.

Allez on passe à quelques exemples, et tout devrait être bon après bn_wink.

Quelques exemples :


Exemple 1 :

Prenons un prédicat A de référentiel \mathbb{R}.
(cela veut dire que dans notre prédicat, on remplacera la variable par des éléments de \mathbb{R} pour avoir une assertion vraie ou fausse.
A(y) : "y est un entier"

On aura donc : A(2) vraie, puisque "2 est un entier".
Mais A(1.2) fausse, tout comme A(\sqrt 2).

Deuxième exemple :

Prenons le prédicat B(c) : " c ne mange jamais ", de référentiel l'ensemble des êtres humains.

On peut avec presque 100% de chances affirmer que B(Jacques) est fausse, aussi bien que B(Pierre) et B(Jean).

(Bon c'était un exemple un peu débile, je l'avoue bn_tongue)

Allez un petit troisième pour la route :

Soit C(x,y) le prédicat de référentiel \mathbb{N} : "x divise y".

(Attention, ici on a 2 variables dans le prédicat. Mais cela ne change rien au principe, comme vous allez le voir.)

On sait que 2 divise 4. Donc on peut écrire C(2,4) est une assertion vraie.
De même C(2,18) est également vraie.
Par contre, puisque 3 ne divise pas 19, on a C(3,19) qui est une assertion fausse.


J'espère que vous avez tout compris. Si ce n'est pas le cas, je vous invite vivement à faire un tour sur le Bar à Nougat pour poser vos questions. C'est essentiel de comprendre ce qu'est un prédicat, même si c'est assez abstrait je vous l'accorde. bn_accord
On va enfin pouvoir passer à la dernière partie du cours : celle qui entre enfin dans les maths proprement dit. bn_wink.

Les quantificateurs


Définition :


Les quantificateurs sont des "objets", des "choses", utilisés partout en mathématiques.
C'est donc le dernier point de ce cours, et il est fondamental.
Prenons un A(x) un prédicat de référentiel E.

On peut alors définir deux assertions :


La première :
\forall x \in E \,\, A(x)

Cette assertion est vraie si et seulement si, quelque soit l'objet x de E que l'on prend, A(x) est vraie.

La seconde :
\exists x \in E \,\, A(x)

Cette assertion est vraie si et seulement si il existe au moins un objet de E tel que A(x) soit vraie.



Vous l'aurez donc compris, le symbole \forall signifie "quelque soit", ou bien "pour tout".
(ex :  \forall x \in \mathbb{R} \,\, f(x)=0 se lit : "Quelque soit le nombre x réel, son image par la fonction f est 0", ou bien "Pour tout x dans l'ensemble des réles, son image par f est nulle".)


D'autre part, le symbole \exists veut dire : "il existe un élément tel que".

(Attention à ne pas oublier le "tel que"  ! !).


Petit exemple de manipulation des deux assertions :

Soit A(x) un prédicat de référentiel E=\mathbb{R} : "x est un nombre entier".

L'assertion : \forall x \in \mathbb{R} \,\, A(x) , c'est-à-dire : "Quelque soit le nombre réel, il est entier", est bien évidemment fausse.

Par contre l'assertion :\exists x \in \mathbb{R} \,\, A(x) , c'est-à-dire : "Il existe un nombre réel tel que celui-ci soit un entier", est vraie.


Je pense que cet exemple est assez clair, donc je n'en mettrai pas d'autres. Vous aurez le temps d'en voir beaucoup d'autres au fur et à mesure bn_wink.
Faîtes juste attention de ne pas vous embrouiller l'esprit entre prédicat et assertion, et ça devrait aller.

Choses à savoir sur les quantificateurs:


Prenons un prédicat A(x) de référentiel E, et B l'assertion : "Quelque soit x dans E, A(x) est vraie".

Comment exprimer la négation de B ? C'est-à-dire comment dire le contraire ?
Il suffit de réfléchir quelques secondes et la réponse vous sautera aux yeux.
Comment dire que le fait que tous les élèves d'une classe ont 20/20 à chaque devoir ? Il suffit de dire qu'il y en a un qui n'a pas 20.
Eh bien avec toutes les lettres et symboles bizarres, c'est le même principe.

Si B est : \forall x \in E \,\, A(x)
i.e. : "Quelque soit l'objet de E choisi, A(x) est vraie."
Alors non-B est : \exists x \in E \,\, non-A(x)
i.e. : "Il existe au moins un objet dans E tel que A(x) est fausse."


Ce qui est génial (bn_heureux), c'est que ça fonctionne de la même manière dans l'autre sens. En effet, le contraire de : "Il existe un élève qui n'a pas 20", c'est bien : "Tous les élèves ont 20".

Si C est : \exists x \in E \,\, A(x)
i.e. : "Il existe un objet dans E tel que A(x) est vraie."
Alors non-C est : \forall x \in E \,\, non-A(x)
i.e. : "Pour tous les objets de E, A(x) est fausse."



C'est assez mécanique, et cela fonctionne de la même manière si on a plusieurs quantificateurs dans la même phrase ( vous verrez certainement cela plus tard bn_wink). Donc c'est vraiment un truc à prendre  : Le contraire d'il existe est quelque soit, et inversement.

Une fois que vous avez compris ça, ainsi que le principe des prédicats et des assertions, et une fois que vous aurez joué un nombre suffisant de fois avec, tout vous paraîtra limpide et... logique bn_wink.

Conclusion



Bon voilà, c'est fini. J'espère que tout ça vous a plu. Normalement oui, puisque ça ne parlait pas beaucoup de maths bn_heureux. Cela dit, ne vous réjouissez pas trop vite. La "logique", c'est la base. C'est cela qui va nous servir (comme dit en introduction), à toutes nos démonstrations. C'est donc quelque chose de primordial de lire ce chapitre, de bien le comprendre, de l'analyser, et de le mettre en pratique avec plein d'exemples.

Une fois que tout cela est bien assimilé, vous pourrez passer au chapitre suivant, qui concerne les méthodes de raisonnement, où on utilisera à loisir ce que vous avez vu dans ce cours bn_wink.






         
                           

Ailleurs sur la Bnbox

Ailleurs sur la Toile

Mini-tchat

?

Elsa murmure : How to add official team kits in pro evolution soccer 2016

Cheap Jerseys free shipping Even Snooki was like she gets the joke.

She always takes it really well. She was like, "This is flattering. My first crevasse encounter happened during an exploratory attempt at accessing what we would call Camp 1 via the Ganalo Ridge. While establishing a recon camp right below the ridgeline, I failed to secure the tent's rain fly (the little tarp that keeps the weather out). The wind picked up and our only barrier from the elements fluttered away like a pretty little butterfly. Cheap Jerseys free shipping

Cheap Jerseys free shipping George). Even those free kicks seem to have the loping iconography of or Calvary about them. Of course, really Becks is there for him, but it a nice thought nonetheless.. Joachim Lw, still rocking the Astrid Kirchherr/Klaus Voorman Beatle cut 55 years on from its initial fame in the Kaiserkeller, was appointed as Jrgen Klinsmann's assistant with Germany in 2004 after a peripatetic coaching career in his homeland, Turkey and Austria. The two had met on a coaching course, found they agreed on an attacking philosophy and took the hosts to third place at the 2006 World Cup. Lw was promoted on Klinsmann's resignation after the tournament, took Germany to runners up places at Euro 2008, semi finals at 2012 and followed their bronze medal at the 2014 World Cup by winning it in Brazil.. Cheap Jerseys free shipping

Cheap Jerseys free shipping The steering is sweet and neutral, and even the brakes are surprisingly effective. They often have a lot of speed and weight to cope with, but possess enough power and feel for you to rely on them with complete confidence. At times their stopping distances give you the impression the Suzuki must weigh 30 40kilos less than it does. His other brothers, Bill, Terry and Kevin, all played over the years."Hey, you have to peak at the right
time," Aaron said jokingly.By the time Aaron was in high school and playing juniors for the Niagara Scenics, it was obvious who had the best opportunity to play in the NHL. Although he wasn't always the best player on his team, he made up the difference through sweat and sacrifice. Monday. Cheap Jerseys free shipping

wholesale nfl jerseys from china Get daily updates directly to your inbox+ SubscribeThank you for subscribing!Could not subscribe, try again laterInvalid EmailTwo terrified young boys kidnapped by a "dangerous" paedophile feared for their lives, a court heard.Lorry driver Alan Chater, 65, enticed the victims, aged nine and 11, into his car, drove to a car park and made them remove their trousers.But two police officers became suspicious and the youngsters were rescued.Chater, from Beeston, was jailed for seven and a half years at Leeds crown court after pleading guilty to charges of kidnap and inciting children into sex.Judge Rodney Jameson QC told him: "I have no
doubt you are and will remain a danger."These are children who were taken from the street and are unlikely to feel safe while walking the street for the remainder of their lives."The court
heard a rucksack was in Chater's Vauxhall Corsa which
contained condoms, towels and other items to use during the February attack.Simon Batiste, prosecuting,
said: "He had a kit designed for further sexual activity."The prosecution submits that this demonstrates the premeditated nature of the offences committed."Like us on FacebookFollow us on TwitterDaily NewsletterMore OnCourt caseCrown courtCrimeSummer transfer windowTransfer news LIVE: Liverpool end interest in Virgil van Dijk, plus latest on Kylian Mbappe, Hector Bellerin and every dealThe summer sales are on the way as clubs look forward to a busy few months. Keep up to date with all the latest hereCourt caseMum had 'part of her cheek bitten off after sending 13 year old daughter to get milk from neighbour'Hazel Gill, 36, and her son Michael Gill, 20, are on trial but both deny wounding with intent and unlawful woundingCourt caseNaked pensioner, 82, 'crawled into woman's bed and 'said: "It's about time I gave you a
good seeing to"'Alan Stevenson was found guilty of attempting to sexually assault the woman but cleared of sexual assaultLotteryNational Lottery results: Winning numbers for 10m Lotto jackpot on Wednesday, June 7Tonight's lottery could make you a very rich person but have you got a winning ticket?General election pollsUK general election 2017 poll tracker: All the latest results as Conservatives battle LabourPolls are a crucial part of the election wallchart even if they've got a bad rep. Here are the latest results and analysis of what it all meansSummer transfer windowTransfer news LIVE: Liverpool end interest in Virgil van Dijk, plus latest on Kylian Mbappe, Hector Bellerin and every dealThe summer sales are on the way as clubs look forward to a busy few months wholesale nfl jerseys from china.
Wholesale Nfl Jerseys
Aujourd'hui, 2h22 via Accueil

Yanira déclare : Melania trump 'plagiarised' michelle obama

wholesale nfl jerseys While the Republic of the Congo in Africa is known for
a lot of things like, um, talking gorillas, we guess?
really good airline security is apparently not one of them.

That's why, on a routine flight from Kinshasa to Bandundu, a passenger managed
to smuggle a friggin' crocodile onto the plane. His plan was to sell the crocodile
illegally, which makes a lot of sense when you stop to
think about the surplus of crocodiles in Kinshasa versus the lack thereof in Bandundu..
wholesale nfl jerseys

wholesale jerseys I write before the opening session of this year's
conference so I can only speculate. More short skirts, I should think,
and soft, long cardigans in fine wool. I would put some money on a
few Georgina von Etzdorf scarves, even if the central heating is too hot.
This week, Bleiberg, who is now head coach of Victorian team the Oakleigh Cannons, said he did not
recall the specific conversation. ''I only have good memories of the Gold
Coast,'' he said. ''I was flying with Clive to a variety of places
and went to a lot of functions, meeting presidents and prime ministers and
politicians and otherwise, and flying with the private jet.''.
wholesale jerseys

wholesale jerseys A big sprinkle topped shout out goes
to our other nine finalists. All are highly recommended.
Here they are: The Bent Spoon, Princeton; Cookman Creamery, Asbury Park; Das' Creamery,
Budd Lake; Ice Cream by Mike, Hackensack; Latteria, Swedesboro; Milk Sugar Love, Jersey City; Royale Crown Homemade Ice Cream and Grille,
Hammonton; Springer's Homemade Ice Cream,
Stone Harbor; and Torico Ice Cream, Jersey City.. wholesale jerseys

cheap nfl jerseys Get plenty of water and healthy fluids.
It's all too easy for people today to become dehydrated.
Water and fluids like fruit juices replenish vitamins and minerals, but
more importantly, they keep your joints supple and lubricated.
The other positive will be provided by the newcomer.
Even if Steyn recovers in time to play, and there
is some hope he might, Chris Morris is likely to make his ODI debut, in Morkel's place.

"I told him it's not a nice thing to do to him, that he is just two days out and will have to play, but he may have to," Kirsten said.
cheap nfl jerseys

wholesale jerseys from china Completely surrounded, Densus fought
the entire army by himself to defend a man he hardly knew.
Hardened by years of combat, he slashed his way through the army, as Plutarch puts it, "for some time." His courageous stand ended when he was brought down by
a blow to the back of the knee and enthusiastically murdered by the mob.
Unfortunately for the guy he was guarding, the men operating his carriage were so awestruck
by Densus' giant balls that they dropped their
gear and ran for it, face planting the Emperor in the turf.
wholesale jerseys from china

cheap jerseys Saric added 18 points off the bench. Nik
Stauskas made 3 of 4 three pointers in route to scoring 15 points.
All of his point came after intermission. She showed me what to do,
then let me try for myself as she popped out tip after tip.
I watched Little Roo as he tried to latch on. He was making
the right moves but struggling to actually latch and suck.
"SOC 2 addresses the same operational components as the prior SAS 70 audit, but now provides standard benchmarks for comparing data center service providers and allows for a side by side, apples to apples report comparison, Hicks said in a statement. "DBSi has always had stringent controls and processes
in place; the SysTrust Seal for SOC 2 and 3 compliance assures
our clients that we meet the highest level of data center standards available
today. 2 evaluates data centers on security, availability,
processing integrity, confidentiality and privacy. cheap jerseys

Cheap Jerseys free shipping For the best chance of having your drug
message be effective, start when your kids are
young. One thing I've found out from pretty
much every discussion I've had with teenagers about this subject:
The most successful drug conversations are with
younger teens, say 11 to 13 years, and the least successful are with older teens
from 16 to 18 (the intermediate ages of 14 and 15 have a great range of success rates).

Older teens have already pretty much made up their
minds about drugs; either they have tried them or they've decided they're not going to try them.

Cheap Jerseys free shipping

wholesale jerseys DENVER (Colorado): May 5
6 Touted as the largest Cinco de Mayo Festival in the United States,
Denver's festival is lo maximo. Now in its 19th year, the festivities emphasize the celebration of freedom and culture,
Denverites enjoy six stages of live entertainment, dancing, food and crafts at the Civic Center Park.
In addition, the celebration includes a special concert with the Colorado Symphony Orchestra among others,
on May 4 and a Cinco de Mayo Civil Rights Award event held (date to be announced) wholesale jerseys.

Ward
Hier, 23h57 via Accueil

wsh déclame : Hhjhhihjin Le 17 juin, 21h32 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

hellomorning tergiverse : Thank's for the abstract, it helped me a lot. Le 17 juin, 8h39 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

Latasha dit : Wholesale Jerseys
He has two autographed sticks. But during the series, he packed away all his memorabilia.
He even changed the name of his cats from Wayne and Janet (Gretzky's wife Janet Jones)
to Savy and Mona (after Denis Savard). Liberia,
Sierra Leone and Guinea countries most affected by Ebola share borders but,
in large measure, share the same dysfunctional
healthcare infrastructure situations. With Liberia now free of the virus and Sierra Leone and Guinea poised to defeat it, presidents Ellen Johnson Sirleaf of Liberia, Ernest
Bai Koroma of Sierra Leone and Alpha Cond of Guinea are jointly canvassing for global financial assistance to revamp healthcare infrastructure and restore social services in their countries.

Their core message is that quality healthcare enables socioeconomic
development..

cheap jerseys There are a lot of things, which one can do,
but the most interesting and important thing is that there are things,
which you can do free. This art center is popular for the artwork of the artisans.
These artisans are much popular at local level as well as on regional and national level..
He rejected the idea of putting more police on the streets of Jerusalem.
Can live like this with streets full of security people, he
said. Can change our lifestyle. cheap jerseys

Cheap Jerseys china "Our goal every year is to win the World Series," said Brooklawn head coach
Dennis Barth. "You always need some breaks to win, and there's a lot of good teams here. We thought we had a good chance to come through, we've got good pitching. Collier's Mill Wildlife Management Area Turn Mill Lake and Lake Success :: Colliers Mill, NJHere you'll find waterfowl, song birds, pheasants, quails, hawks, and red foxes. Remote and quiet, three lakes nestle into the landscape within the 12,000 acre Colliers Mill Wildlife Management Area. Colliers Mill was once filled with sawmills and sm. Cheap Jerseys china

Cheap Jerseys free shipping Incorporates a coaching predetermine to formulate step within the world on the footwear quite as for the reason that ones conclude modifies Many of my personal strolling close buddies continuing tests all the way up within the world associated with Nike Cost free 5. 0 boots not to mention When i readily was required to make an effort themFi When i end up being triggered along with fended off Nike in place of several years for their own slim hallux field not to mention deficit of widths built these products unwearable in place of everybody.Handbags are ladies best friends regardless of what size, shape and color they come in. It's very rare to see a lady who is not in possession of this accessory. Cheap Jerseys free shipping

wholesale jerseys Take for example, Jeff Mathews [the name is disguised] who lives in a rich New Jersey suburb. Jeff, at age 15+ is 5 feet 7 inches, weighs 290 lbs and have learning problems. He is clearly overweight and having some of the possible side effects of obesity. The Brant Goose resembles the smaller, shorter necked forms of the Canada Goose but it is much darker without white cheeks. It breeds farther north than any other known goose. The eggs and downy young are preyed upon by crows, gulls, mink and a variety of other small animals including bullfrogs, pike and carp. wholesale jerseys

cheap jerseys Williams appears to be selective about his stance, at the very least. He has previously worn the logo this year for publicity shots and on team training jerseys prior to Saturday night. So, is it just on game day he objects to the evils of finance companies? Or is this a stance he has only just arrived at?. Nowadays, the variety of adult diapers for women is so massive that the customer only gets confused as what to buy and what not to buy. It is recommended that one must avoid wearing anything which is body hugging since it shows the bumps and makes you look ugly. Apart from this, dark color garments provide you with better camouflage specifications and hence, go a very long way in covering the fact that you are wearing a diaper. cheap jerseys

wholesale nfl jerseys from china Her mother came to New Jersey from the 1940's poverty of rural Georgia and won an art scholarship to Pratt Institute. A youthful Pat grew up with the doyens of the New York art world; she was the youngest model to work in Ebony's Magazine's national touring show, Ebony's Fashion Fair. Her friendships and loyalties are deep, unusual in an industry that is catcalled as superficial, diva driven, laced with angst, with even the hottest season's models soon disposable. wholesale nfl jerseys from china

Cheap Jerseys china Miami is also the first club in 42 years to win each of the three by double digits. Phoenix was the last to win three in a row on the road in consecutive days, from Dec. 21 23, 1979. Expect that type of effort out of him. For Hall, the four interceptions were a landmark day in a season in which he allowed too many completions and been slowed by a sore back. It hardly a coincidence that the Redskins matched their win total (four) from last season on the same day they matched their takeaway total (17) from 2009.Still, after Sunday game, Cutler wasn backing down on Hall, saying: still think if we had to play him tomorrow, I go after him every time Cheap Jerseys china.
Le 16 juin, 0h08 via Accueil

Arthur scribouille : Marti
A BA trainer in New Jersey would typically focus
on training students for a variety of business arenas including banking, computer,
finance, insurance, telecoms, utilities and software
services. To survive in the industry, it important to be able to understand what works for each of these business
scenarios and deliver results. The main aim of a business analyst is to improve various
facets of a given company including sales planning, scaling or even business
strategies..

Cheap Jerseys from china James Todd Smith, or famously known as LL
Cool J, is more than just a famous rapper. He has been in the limelight for over two decades, when many other hip hop artists fade away within a few years of their career.
LL Cool J has more than 11 platinum CDs to his credit.
Spy Gear has made quite a name for itself with their high
quality items for the aspiring spy or detective!

They do not cut corners with this remote control spy car.
This spy car is suitable for kids ages 8 and up and ships at 3.6 pounds.
This car features a color screen on the remote control and for those who
are more technologically advanced, there are special applications that allow more functions as well as the ability to store videos on memory cards (not included).
Cheap Jerseys from china

wholesale nfl jerseys There was a lack of basic resources to empower some nations to participate fully
in the global trading system, and certain trade policies had effectively denied a large number of developing countries the benefits of globalisation. In addition, he
believed that in pursuing the implementation of the Millennium Declaration and the outcomes of major conferences and summits, their distinct identities should be maintained, while,
at the same time, recognizing the need for thematic coherence
in the process. That would help, among other things, in promoting synergies and ensuring efficient utilization of resources.The representative of the Netherlands, speaking on behalf of the European Union and associated States, agreed
with the Secretary General that the review should be a summit, and its outcome should be a
succinct, comprehensive and politically meaningful declaration focused on implementation, endorsing progress that had been made and containing a clear reaffirmation of the goals set.
wholesale nfl jerseys

wholesale jerseys So so that would around have a bad guys.
In Estonia is autos and let it Sony boxes hot
and she'll forgive you buy it. And I might not know what to Nina diets I think
that their famous red that would brighten your Wear it out
at wet. She said: "Last year my staffing costs were significantly higher than usual due to the need to provide cover for three members of staff who were on maternity leave. All other budgets were underspent as usual. I'm proud of the service my excellent team of staff helped me provide to my constituents.".
wholesale jerseys

wholesale nfl jerseys from china What I watch 24/7 would be.
I can't even tell you. You could watch it just raw..
No one had a radar gun, but I had no problerm staring in at most any batter and blowing a fastball right by them.
So, the game was tied nothin' to nothin'. It gets to the late innings and
the champs had a a runner on third. There will be payback, dude, whatever it takes.
We'll get those bitches." Then it's right back to the party, his mood snapping from vengeful to gleeful on the same dime he parked that Viper on. "Yeah, it's gonna be the party of the year dude, can't let just anybody in!
Gotta have a list and a rope or it's not a party,
even if you just put everybody on it," he grins. wholesale nfl jerseys from china

Cheap Jerseys from china Weather, by its very nature, is unpredictable. Severe weather conditions like blizzards have always inflicted massive devastation, almost every year, in some area of the globe. But once in a while, a particularly mean blizzard will turn up that redefines the very idea of devastation. Laura Santi graduated from the New England School of Acupuncture in 1991 and pursued further clinical training in Shanghai, China. She also attended the Traditional Acupuncture Institute in Maryland to learn 5 Element style, and the Oregon College of Oriental Medicine for further study. Other education includes certification in teaching classical hatha yoga, the study of homeopathy from the New England School of Homeopathy, the practice of Aikido for two years, and NRT Response Testing:, a strength test to bring to light nutritional deficiencies and possible allergens or toxins in a person body or environment. Cheap Jerseys from china

cheap nfl jerseys Tendrs 2 mensajes para ti, uno un mensaje de bienvenida, y otro informando que tu equipo ha firmado un contrato de patrocinio por una temporada (es decir una temporada de peloton).Tendr una duracin de una temporada, teniendo que elegir uno nuevo al acabar la misma.Una de las primeras cosas por hacer es contratar un entrenador. Costarn mucho dinero, pero lo necesitas para mejorar tus ciclistas si quieres tener exito en el juego.Un error comn en nuevos jugadores es comprar un entrenador con pocos niveles de entrenamiento en varias caractersticas:por ejemplo uno con 5 llano, 5 montaa y 5 sprint. Esto quiere decir que puede entrenar en varias categoras, pero no muy rpido en ninguna de ellas.No te olvides de la economa! Un entrenador de este tipo costar 400.000.MI EQUIPOEn la pagina de mi equipo, tendrs un resumen de las caractersticas del mismo, con informacin de tu categora, cuantas carreras has ganado y en cuantas ests compitiendo.Los nuevos equipos sern colocados en la divisin ms baja cheap nfl jerseys.
Le 15 juin, 21h10 via Accueil

ESSAI gribouille : Je n'a pas compris l'utilité de cette question Le 11 juin, 18h21 via Fiches sur les personnages ...

robin proclame : Silia je taime Le 11 juin, 9h45 via Résumé du livre : Le Cid de...

melvyn déclare : Arrtere svp vous bloquez le chat je veux parler et etudiez et tout ca en silence Le 11 juin, 9h45 via Résumé du livre : Le Cid de...

ozlkcj scribouille : T ki cclesamis Le 11 juin, 9h45 via Résumé du livre : Le Cid de...

cclesamis déclame : Remi chut Le 11 juin, 9h44 via Résumé du livre : Le Cid de...

valentin le bourdon dit : Merci pour ce résumé Le 11 juin, 9h43 via Résumé du livre : Le Cid de...

cclesamis bafouille : Libere delivree Le 11 juin, 9h43 via Résumé du livre : Le Cid de...

valgui déclame : Zola Le 11 juin, 9h42 via Résumé du livre : Le Cid de...

cclesamis déclame : C moi lol Le 11 juin, 9h41 via Résumé du livre : Le Cid de...

melvyn chuchote : 1 semaine Le 11 juin, 9h41 via Résumé du livre : Le Cid de...

valgui déclame : Cest moi Le 11 juin, 9h38 via Résumé du livre : Le Cid de...

cclesamis griffonne : Coool Le 11 juin, 9h38 via Résumé du livre : Le Cid de...

cclesamis scribouille : Cool Le 11 juin, 9h37 via Résumé du livre : Le Cid de...

cclesamis déclare : Chuuuut Le 11 juin, 9h36 via Résumé du livre : Le Cid de...

valentin murmure : J aime quelun Le 11 juin, 9h24 via Résumé du livre : Le Cid de...

m6 déclare : Ca va les amis Le 11 juin, 9h24 via Résumé du livre : Le Cid de...

cclesamis tergiverse : Tinder le kinder Le 11 juin, 9h23 via Accueil

m6 déclare : Maeva ma vie Le 11 juin, 9h23 via Résumé du livre : Le Cid de...

cclesamis s'exclame : Tchatcheuse va mdrr Le 11 juin, 9h21 via Accueil

lol déclare : Je saisszssss Le 11 juin, 9h20 via Accueil

cclesamis écrit : Cc les ami Le 11 juin, 9h17 via Accueil

popo1254 proclame : Egytehhgs Le 10 juin, 17h57 via Résumé - Les Fourberies De ...

ll gribouille : Wheish Le 07 juin, 12h28 via Français

lulu déclare : Jaimerais bien savoir en quelle annee se passe lhistoire du cid?. mrc Le 04 juin, 14h40

Dany murmure : Salut les p'tits potes lol Le 03 juin, 15h09 via Ah les p'tits potes

uftyj s'exclame : Htyrtyfgnggf Le 03 juin, 10h13 via Résumé scène par scène - Le...

ana$ déclame : Heyyyyy
e
Le 02 juin, 21h47 via Résumé - Les Fourberies De ...

machin chuchote : Boujour Le 31 mai, 11h40 via Résumé - Les Fourberies De ...

maumau griffonne : Je cherche le résumé acte par acte du Cid de corneille Le 28 mai, 15h30 via Résumé du livre : Le Cid de...

mehdi scribouille : Laquel Le 27 mai, 1h08 via Résumé - Les Fourberies De ...

mortia bafouille : MRC SA MA GRAVE AIDER Le 23 mai, 17h40 via Résumé - Les Fourberies De ...

mortia murmure : XD Le 23 mai, 17h39 via Résumé - Les Fourberies De ...

bulmam s'exclame : Hi Le 19 mai, 23h34

tristan chuchote : Quelqun a vue un resumer de 20 ligne mon prof ma dit que il y en avait un special pour le bac Le 19 mai, 18h56 via Résumé du livre : Le Cid de...

Cjfjfh tergiverse : VbufysjwkwofwkcbKcjUxjux Le 18 mai, 19h08 via Résumé - Les Fourberies De ...

lililebgdu64 scribouille : Gg mec Le 16 mai, 15h09 via Résumé - Les Fourberies De ...

Galaxy104 dit : Easy Le 08 mai, 10h10 via Résumé scène par scène - Le...

fgyhgfvhy chuchote : 7 Le 07 mai, 19h20 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

Tom déclame : Sa va me servir pour le français merci au créateur dun site Le 05 mai, 21h02 via Résumé - Les Fourberies De ...

lucas dit : Salut a tous si tu aime fortnite aboinne toi et like Le 04 mai, 13h06 via Résumé - Les Fourberies De ...

Zofaxt bafouille : C'est vraiment top je m'en suis servi pour les resumes de francais a faire ( ce qui est tres chient) Le 04 mai, 10h21 via Résumé - Les Fourberies De ...

Toinou proclame : Merci beaucoup Le 03 mai, 16h07 via Résumé scène par scène - Le...

biscuit griffonne : C'est vraiment un site très utile mini_bn je suis satysfaite Le 03 mai, 0h38 via Résumé - Les Fourberies De ...

LOL dit : UUUUUU Le 02 mai, 15h17 via Résumé - Les Fourberies De ...

Publicité



©Bnbox (Infos) - Cahier de l'élèves - Atelier webmaster - Boîte à Nuts - Bar à Nougat - Plus ou moins valide XHTML 1.0, CSS 2, RSS 2.0
Flux RSS