La Bnbox !

Créateur de sourires...

Mon compte

S'inscrire

Recherche

Vous êtes ici : Accueil » Cahier de l'élève » Mathématiques » Le raisonnement par analyse-synthèse

Cahier de l'élève



« Article précédent - Sommaire - Article suivant »

Mathématiques : Le raisonnement par analyse-synthèse

Introduction


Dans la série des "grosses méthodes de raisonnement" en mathématiques, je voudrais le petit frère...
Et oui, vous avez deviné, on va recommencer à raisonner ici, mais d'une manière encore différente.
Récapitulons... en Mathématiques, on distingue plusieurs types de raisonnement : le raisonnement direct, le raisonnement par récurrence, le raisonnement par l'absurde, et enfin le raisonnement par analyse-synthèse.

Il est un peu moins utilisé que ses grands frères, mais peut s'avérer très utile pour certaines démonstrations.

Mais alors qu'est-ce que tu attends ? Explique-nous !


Oui, oui, j'y viens j'y viens.

Principe



Je vais d'abord vous donner le principe global de la chose, puis j'expliquerai en détail avec un exemple imagé, et ensuite avec des vrais exemples mathématiques.

Supposons qu'on vous demande de démontrer quelque chose qui vous semble très compliqué au premier abord. Tellement que vous ne savez pas comment faire.
Le raisonnement par analyse-synthèse peut s'avérer une bonne solution. Il se déroule en 2 étapes :

L'Analyse : Supposez que ce que vous voulez démontrer est vrai, et cherchez des conditions nécessaires à satisfaire pour que cela puisse être vrai.

La Synthèse : Vérifiez si la chose qui vérifie ces conditions est bien solution du problème posé.

Bon, vu comme ça, c'est très abstrait bn_wink. Donc on va travailler sur des exemples assez simples : un exemple complètement hors du domaine des mathématiques, pour vous permettre de mieux appréhender le principe du raisonnement; et un autre exemple d'utilisation en mathématiques.

Exemples


Le BN géant

Un jour, on vous demande de prouver l'existence d'un BN au chocolat géant vivant !
A première vue, ça semble assez difficile à faire... Et vous n'avez aucune idée de la manière de procéder.
Alors procédons par Analyse-Synthèse !
  • Première partie, l'analyse : supposons qu'il existe un BN au chocolat géant vivant quelque part dans le monde.
    Si un BN de ce genre existe, il est évident qu'il vivra nécessairement loin de l'eau, parce qu'un BN dans l'eau devient tout mou et se dissous...
    Si ce type de BN existe, il se trouvera nécessairement loin des régions chaudes, sinon son chocolat fondrait et il disparaitrait bn_sad.
    Il sera aussi nécessairement loin des régions très froides, pour ne pas geler.

    Ces conditions nécessaires qu'on vient de trouver réduisent déjà notre champ de recherche. On sait que maintenant, le seul endroit où on peut trouver un BN de ce type, c'est en France.
    Mais la France c'est toujours assez grand. On va donc chercher d'autres conditions nécessaires encore plus restrictives.

    Un grand BN comme ça, ça a besoin de beaucoup de chocolat pour tenir ensemble... Ca doit donc vivre nécessairement près d'une chocolaterie, ou d'une biscuiterie.
    Et en plus, les BN sont créés à Nantes, donc forcément, le grand BN habite près de ses parents, donc près de Nantes.
    Ce qui nous amène directement à la conclusion que le BN géant habite dans la biscuiterie BN.

  • Deuxième partie, la synthèse : nous devons vérifier notre conclusion, c'est-à-dire que nous devons prendre le premier avion pour Nantes (ou le premier TGV bn_tongue), et nous rendre à la biscuiterie pour vérifier que le BN géant s'y trouve.
    Soit on le trouve, et on a bien prouvé qu'il existe.
    Soit on ne le trouve pas, et on a prouvé qu'il n'existe pas, puisqu'il n'est pas à l'endroit où il devait nécessairement être.


(Maintenant, eh bien je vous laisse aller vérifier par vous-même. bn_tongue)


Fonctions paires et impaires

Voici l'énoncé de l'exercice : Soit f une application définie sur \mathbb{R}. Montrer que f s'écrit d'une façon unique comme la somme d'une application paire et d'une application impaire (application est synonyme de fonction dans ce cas).

A première vue, et en essayant différentes méthodes, ce problème paraît difficile à résoudre. Il se peut même que vous n'y arriviez pas bn_tongue. Mais c'est normal.
Pour résoudre ce problème, il faut utiliser le raisonnement par analyse-synthèse.

Allez on est partis !

Première étape : L'Analyse

Soit f une fonction définie sur \mathbb{R}.
Supposons qu'il existe 2 fonctions, que l'on nommera p et i (p pour paire, et i pour impaire, un peu d'originalité bn_tongue), qui soient solution du problème, c'est-à-dire des fonctions telles que :

- p soit paire
- i soit impaire
- f soit la somme de ces deux fonctions, i.e. f \, = \, p \, + \, i

Traduisons ces 3 phrases : ces deux fonctions sont donc telles que :

 \forall x \in \mathbb{R} \, \left\{ \begin{array}{rcl} f(x) \, = \, p(x) \, + \, i(x) \\ p(-x) \, = \, p(x)\\ i(-x) \, = \, -i(x)\\ \end{array} \right.
Jusque là on n'a fait que traduire en rajoutant des x les 3 conditions vérifiées par i et p pour être solutions du problème.
Evidemment, pour l'instant, cela ne nous avance pas à grand chose.
Mais le principe de l'analyse-synthèse, comme pour l'exemple du BN géant, est d'affiner au maximum la recherche pour obtenir à la fin des conditions nécessaires suffisamment restrictives.

On va donc faire quelques petites manipulations sur les 3 "équations" obtenues.

Par exemple, cherchons f(-x). (Oui, j'avoue, il faut parfois faire preuve d'inventivité... Ca peut sembler tomber du ciel, mais au bout d'un moment, vous aurez pris l'habitude, et vous aurez un certain flair pour détecter ce qu'il faut faire.)

D'après les définitions des fonctions paires et impaires, on obtient :

 \forall x \in \mathbb{R} \, f(-x)  = \, p(-x) \, + \, i(-x)
   = \, p(x) \, - \, i(x) \,\,\, (1)


Or on sait qu'on a aussi :

 \forall x \in \mathbb{R} \, f(x)  = \, p(x) \, + \, i(x) \,\,\, (2)


On dispose donc des relations (1) et (2) ci-dessus.
Il faut maintenant en faire quelque chose. Et là, (oh miracle! bn_heureux) on remarque que si on fait la somme de ces deux relations, on aura disparition de la fonction i.
De même on voit que si on fait la différence des deux relations, ce sera la fonction p qui va disparaître.
La preuve :

 (1) \, + \, (2) \, \longrightarrow \forall x \in \mathbb{R} \,\, f(-x) \, + \, f(x) = \, p(x) \, + \, p(x) \, + \, i(x) \, - \, i(x)
= \, 2p(x)


D'où on en tire par simple division : \forall x \in \mathbb{R} \,\, p(x) \, = \, \frac{f(x) \, + \, f(-x)}{2}

D'autre part, on a :
 (1) \, - \, (2) \, \longrightarrow \forall x \in \mathbb{R} \,\, f(-x) \, - \, f(x) = \, p(x) \, - \, p(x) \, - \, i(x) \, - \, i(x)
= \, -2i(x)


D'où on en tire par une division et un petit changement de signe : \forall x \in \mathbb{R} \,\, i(x) \, = \, \frac{f(x) \, - \, f(-x)}{2}

Vous vous en doutez, après cela, on arrive bientôt à la fin de notre analyse... On a assez torturé les formules, et elles n'ont plus rien à nous dire.

Faisons donc une conclusion de l'analyse.
On sait que si f peut s'écrire comme une somme de deux fonctions, l'une paire et l'autre impaire, il est nécessaire que ces fonctions soient de la forme :
\forall x \in \mathbb{R} \,\, p(x) \, = \, \frac{f(x) \, + \, f(-x)}{2}
\forall x \in \mathbb{R} \,\, i(x) \, = \, \frac{f(x) \, - \, f(-x)}{2}
Ceci nous assure aussi que si ces fonctions existent, elles sont uniques (en effet, il n'y a qu'une seule fonction que l'on peut définir de telle manière).

On a bien avancé dans notre travail, et on a fait le plus dur.
Mais tout n'est pas terminé.


Deuxième étape : La Synthèse

Il reste à vérifier si les fonctions p et i trouvées sont bien solution du problème, c'est-à-dire que : p est paire, i est impaire, et f s'écrit comme la somme des deux.

Reprenons les fonctions p et i définies à la fin de notre analyse.
On a alors :
\forall x \in \mathbb{R} \,\, p(-x)  = \, \frac{f(-x) \, + \, f(-(-x))}{2}
   = \, \frac{f(-x) \, + \, f(x)}{2}
   = \, p(x)


D'où p est bien une fonction paire.

De plus:
\forall x \in \mathbb{R} \,\, i(-x)  = \, \frac{f(-x) \, - \, f(-(-x))}{2}
   = \, \frac{f(-x) \, - \, f(x)}{2}
   = \, -i(x)


D'où i est bien une fonction impaire.

Enfin, on a :
\forall x \in \mathbb{R} \,\, i(x) \, + \, p(x)  = \, \frac{f(x) \, - \, f(-x) \, + \, f(x) \, + \, f(-x)}{2}
   = \, \frac{2f(x)}{2}
   = \, f(x)


D'où on a bien  f \, = \, p \, + \, i .

Les 3 conditions de départ étant bien vérifiées par i et p, on en déduit que ces deux fonctions sont bien solution du problème posé. Donc que celui-ci admet bien une solution bn_tongue.

Donc : une fonction f étant donnée, il existe un unique couple de fonctions, l'une paire, l'autre impaire, telles que leur somme soit égale à f.

Et vous pouvez enfin mettre à la fin de votre copie le beau CQFD habituel. bn_wink

Conclusion



Je sais que vous pouvez trouver ça très étrange comme méthode de pensée. J'avoue que j'ai moi-même eu un peu de mal à m'y faire et à bien comprendre le principe.
Mais ne vous inquiétez pas. Comme d'habitude, la pratique amène une meilleure compréhension de la théorie. A force de faire ce type de raisonnements, vous finirez par bien le maîtriser bn_wink.






         
                           

Ailleurs sur la Bnbox

Ailleurs sur la Toile

Mini-tchat

?

bonjoure scribouille : No Aujourd'hui, 14h50 via Les avantages et les risque...

djhadid s'exclame : Suck my balllllllllzzzzzzz Aujourd'hui, 14h50 via Les avantages et les risque...

bonjoure griffonne : Cunt Aujourd'hui, 14h50 via Les avantages et les risque...

bonjoure proclame : Gjgjgj Aujourd'hui, 14h49 via Les avantages et les risque...

djhadid tergiverse : Wazup Aujourd'hui, 14h49 via Les avantages et les risque...

djhadid bafouille : Barnabe
regarde nous
Aujourd'hui, 14h49 via Les avantages et les risque...

djhadid déclare : Mmm Aujourd'hui, 14h49 via Les avantages et les risque...

djhadid dit : Dick Aujourd'hui, 14h49 via Les avantages et les risque...

djhadid griffonne : Yo wuzup Aujourd'hui, 14h48 via Les avantages et les risque...

Etiennefen@ yahoo.com.au proclame : C'est un art de raconter mais difficile acomprendres quand c'est cousin de fautes d'ortographe. Aujourd'hui, 0h34 via Résumé - Les Fourberies De ...

TheSamKing griffonne : Yo yo yooooooo Hier, 17h21 via Résumé - Les Fourberies De ...

TheSamKing tergiverse : Yo yo yooooooo Hier, 17h21 via Résumé - Les Fourberies De ...

coucou chuchote : ça va bien ? mini_bn Le 18 janvier, 16h30 via Résumé scène par scène - Le...

coucou scribouille : Salut tout le monde. Le 18 janvier, 16h27 via Résumé : Le Tartuffe de Mol...

kakhsks griffonne : Ksgdkrhfkdhdj Le 17 janvier, 17h20 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

Benoît #Komandir murmure : Salut les frr Le 16 janvier, 15h00 via Accueil

benoit scribouille : Je suis un cancre Le 16 janvier, 14h59 via Accueil

jawad déclame : 9a7ba Le 16 janvier, 14h59 via Accueil

Benoît #Komandir proclame : C'qui griffonne? ROBIN T MORT Le 16 janvier, 14h59 via Accueil

Benoît #Komandir déclare : J'vais te tuer Le 16 janvier, 14h53 via Accueil

benoit griffonne : Bandouuu Le 16 janvier, 14h51 via Accueil

Benoît #Komandir scribouille : T'es qui ? :'( Le 16 janvier, 14h47 via Accueil

Benoît #Komandir tergiverse : Coucou Le 16 janvier, 14h42 via Accueil

jawad écrit : Wsh Le 16 janvier, 14h42 via Accueil

soumia s'exclame : Robin t'es bete Le 16 janvier, 14h40 via Accueil

Bnmaster déclame : Il reste des petits bugs sur le forum. Le 16 janvier, 9h44 via Accueil

Bnmaster déclame : Mini-tchat réparé mini_bn Le 16 janvier, 9h44 via Résumé du livre : Le Cid de...

gloriacodjiovoie@gmail.com gribouille : J'ai lu de livre en médecin Le 13 janvier, 13h23 via Texte intégral - Le Médecin...

59 c les falanpin murmure : J'ai travaillé, révisé lu, des résumés j'ai eu 8.5/20 le français serre vraiment à rien ,j'ai compris le livre je vois pas qu'est ce que je peux faire d'autre Le 12 janvier, 22h04 via Fiches sur les personnages ...

pas moi écrit : Est ce que cette pièce est tragique? Le 11 janvier, 15h05 via Résumé du livre : Le Cid de...

Bnmaster écrit : Petit souci dans le mini-tchat en ce moment... un F5 est nécessaire tant que je n'aurais pas réglé le souci. Désolé >< Le 11 janvier, 9h09 via Résumé scène par scène - Le...

moliere lover tergiverse : J'adore Molière Le 10 janvier, 0h32 via Résumé : L'Avare

johnnysquade gribouille : La promesse de l'aube Le 09 janvier, 18h17 via Romain Gary : La Promesse d...

piou5 s'exclame : Cc sa vas Le 09 janvier, 10h40 via Résumé scène par scène - Le...

piu déclare : Cc Le 08 janvier, 18h45 via Résumé scène par scène - Le...

7 dit : 7 Le 08 janvier, 17h14 via Résumé : Andromaque

EARL chuchote : Salut Le 08 janvier, 17h04 via Résumé : Andromaque

EARL gribouille : Salut Le 08 janvier, 17h04 via Résumé : Andromaque

EARL déclare : Salut Le 08 janvier, 17h04 via Résumé : Andromaque

EARL chuchote : Salut Le 08 janvier, 17h04 via Résumé : Andromaque

Anonimous écrit : Merci c'est trop cool pour ce resumé Le 08 janvier, 16h06 via Résumé - Les Fourberies De ...

$ chuchote : 10 Le 08 janvier, 15h34 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

coucou gribouille : Salut Le 07 janvier, 11h21 via Résumé : Le Tartuffe de Mol...

lkj dit : Yuty Le 05 janvier, 18h22 via Résumé - Les Fourberies De ...

Juldu75 déclame : Abau nez vous a ma chène mrdrigzou officiel mersi les amies Le 04 janvier, 21h20 via Fiches sur les personnages ...

Couci couca bafouille : Coucou Le 04 janvier, 13h41 via Résumé scène par scène - Le...

BRRFRFRFRT s'exclame : TRES BON cite tt sorte de livre a chercher pour en faire de s resume comme moi jai eu besoin de faire un resumer je suis parti directement sur ce site

franchement merci beaucoup
Le 04 janvier, 13h32 via Résumé - Les Fourberies De ...

bouh écrit : Salut les gens Le 03 janvier, 14h46 via Résumé : Andromaque

bouh déclame : Salut les gens Le 03 janvier, 14h46 via Résumé : Andromaque

bouh tergiverse : Salut les gens Le 03 janvier, 14h46 via Résumé : Andromaque

Publicité



©Bnbox (Infos) - Cahier de l'élèves - Atelier webmaster - Boîte à Nuts - Bar à Nougat - Plus ou moins valide XHTML 1.0, CSS 2, RSS 2.0
Flux RSS