Grandes écoles - PSI - Exercice de colle

Grandes écoles : PSI - Exercice de colle

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Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ tel que $\forall x \in E \, \left(u(x)|x\right)=0$
1) Montrez que $Im(u)=Ker(u)^{\bot}$
2) Montrez que, $u \, pair \,\, \Longrightarrow \,\, rang(u)=dim \left(Im(u) \right)$

Éléments de réponses

1) On montre l'inclusion $\subset$ .
Puis on montre que $dim \left(Im(u) \right)=dim \left(Ker(u)^{\bot} \right)$ par $E=Ker(u) \bigoplus ^\bot Ker(u)^{\bot}$ et $E=Ker(u) \oplus Im(u)$
2) Un polynôme réel sans racine réelle est de degré pair.

Auteur : Bnmaster
Créé le : 17/01/2009
Modifié le : 22/06/2012
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