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Concours - Grandes écoles

ENSI PSI - Exercice d'oral [Matrice, Polynôme caractéristique]

Enoncé


Soit A \in M_{n}(\mathbb{C}) et B telle que B \,=\, \begin{bmatrix} A

Calculer le polynôme caractéristique de B en fonction du polynôme caractéristique de A.


Méthode de résolution



  • Ecrire la définition du polynôme caractéristique de B.
  • Faire des opérations sur les lignes et les colonnes jusqu'à obtenir un déterminant par blocs calculable.
  • Calculer ce déterminant et faire apparaître le polynôme caractéristique de A.

Réponse


\chi_{B}(X) \,=\, (-2X)^{n} \, \chi_{A}(\frac{X}{2})

Normalement, on arrive sans problème au résultat en suivant la méthode. Cependant, si vous avez un problème à un endroit de l'exercice, vous pouvez poser vos questions sur le Bar à Nougat.