La Bnbox !

Créateur de sourires...

Mon compte

S'inscrire

Recherche

Vous êtes ici : Accueil » Concours » Grandes écoles » PSI - Exercice d'oral [Géométrie, Quadrique]

Concours



« Article précédent - Sommaire - Article suivant »

Grandes écoles : PSI - Exercice d'oral [Géométrie, Quadrique]

Donner la nature de xy + yz + zx = 1 (1)
Réponse

On cherche la nature d'une quadrique. Posons :
A = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix} \,\, et \,\, X=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}

(1) est donc équivalente à : ^tXAX=1
Or A \in S_n(\mathbb{R}), donc d'après le théorème spectral : \exists P \in O_n(\mathbb{R}) \,\, \exists D \in D_n(\mathbb{R}) \,\, A=PDP^{-1}

On pourrait calculer le polynôme caractéristique de A (à la main) assez rapidement, mais voici une petite astuce pas mal, on remarque :
B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = 2A+I_n=P(2D+In)P^{-1}
Le polynôme annulateur de B se calcule de tête en raisonnant sur le rang et la trace de B, on a \chi_B(X)=-X^2(X-3). Par conséquent, on a :
D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}

Donc en posant Y=\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix}=P^{-1}X
(1) équivaut à ^tYDY=1 dont équivaut à \frac{y'}{\sqrt{2}}^2 + \frac{z'}{\sqrt{2}}^2 - {x'}^2 = -1

De par la forme de cette dernière équation, on peut dire que cette quadrique est un hyperboloïde à 2 nappes.



Ailleurs sur la Bnbox

Ailleurs sur la Toile

Mini-tchat

?

cokdflvkskl,vflsqr déclame : Cc les gamer Aujourd'hui, 18h30 via Texte intégral - Le Médecin...

wallislapis100 dit : Salut Aujourd'hui, 18h30 via Texte intégral - Le Médecin...

yayoub dit : Merci Le 18 janvier, 19h56 via Résumé - Les Fourberies De ...

Cc griffonne : ALGERIE MAROC Le 17 janvier, 18h12 via Accueil

Ferret_Max scribouille : Http://la-bnbox.fr/38-Resume--L-Avare.cahier Le 17 janvier, 14h29 via Résumé : L'Avare

Ferret_Max déclare : Ta gueule tier moche Le 17 janvier, 14h28 via Résumé : L'Avare

sousouubg griffonne : Salut,jrouilleeuuhh Le 16 janvier, 13h34 via Résumé scène par scène - Le...

bg gribouille : Algerie Le 15 janvier, 17h58 via Résumé : On ne badine pas a...

lilicaca déclame : Le la il nous vous ils elle elles je tu on vous elles ils il elle Le 13 janvier, 16h32 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

coincoin griffonne : Par contre Cléone est la confidente à Hermione pas sa suivante Le 10 janvier, 16h52 via Résumé : Andromaque

mesar bafouille : Cool ce site Le 10 janvier, 13h54 via Résumé scène par scène - Le...

mesar s'exclame : Cool ce site Le 10 janvier, 13h54 via Résumé scène par scène - Le...

andro gribouille : Ce livre est incompreensible merci Le 09 janvier, 22h11 via Résumé : Andromaque

Glouglou scribouille : Je déteste le français Le 09 janvier, 18h51 via Biographie de Molière

G dit : F Le 09 janvier, 18h24 via Résumé scène par scène - Le...

hahaha tergiverse : Le pire livre que j'ai jamais lu Le 08 janvier, 20h01 via Résumé : Le Tartuffe de Mol...

ayoub bafouille : Merci parce que javais un magazine literraire a faire sur chaque resumé Le 08 janvier, 18h48 via Résumé - Les Fourberies De ...

vicki gribouille : Ce livre est nul merci pour les resumes Le 07 janvier, 12h43 via Résumé : La Promesse de l'a...

Amina s'exclame : Ce livre set dur a comprendre heureusement qu il y ces résumers. Le 05 janvier, 17h18 via Résumé scène par scène - Le...

liam12344 murmure : Je suis entrain de l'étudier j'éspere que ces bien Le 03 janvier, 12h32 via Résumé - Les Fourberies De ...

dadadarrt dit : Cool lol Le 28 décembre 2017, 16h35 via Résumé - Les Fourberies De ...

drag0nb0rndg dit : Siphano1991? Le 19 décembre 2017, 17h55 via Fiches sur les personnages ...

Siphano1991 bafouille : Bonjour Le 19 décembre 2017, 17h53 via Fiches sur les personnages ...

7 déclame : 7 Le 18 décembre 2017, 10h42 via L'homme et les mouettes

j'aime pas l'ecole tergiverse : Est ce que je suis le seul a ne pas aimer l'ecole ? je pense que non mdrrr Le 17 décembre 2017, 19h21 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

yrtd murmure : Uf Le 17 décembre 2017, 13h10 via Romain Gary : La Promesse d...

de bafouille : 3 +4=7 Le 14 décembre 2017, 17h31 via Résumé - Les Fourberies De ...

DAVID KOUNDA murmure : SKIRIRIR PA PA NOT KETCHUP JUST SOUSE PA PA PAPA NA PA Le 12 décembre 2017, 20h51 via Résumé : On ne badine pas a...

cheie chuchote : Aider moi comment faire un journaal de lecture ? Le 11 décembre 2017, 19h31 via Résumé : Le Tartuffe de Mol...

shaiii la best écrit : Wshhh Le 11 décembre 2017, 17h09 via Les avantages et les risque...

ugjujh s'exclame : Saluuuuut Le 11 décembre 2017, 17h09 via Les avantages et les risque...

ugjujh déclare : Tyvhbyju Le 11 décembre 2017, 17h09 via Les avantages et les risque...

joyce scribouille : Ce roman tres passionant Le 11 décembre 2017, 8h58 via Résumé scène par scène - Le...

joyce chuchote : Quel operation facile Le 11 décembre 2017, 8h53 via Résumé scène par scène - Le...

ok proclame : Qui aurais une carte mentale sur Mr Forestier de Bel-Ami svp? Le 09 décembre 2017, 14h11 via Fiches sur les personnages ...

ok griffonne : Salut Le 09 décembre 2017, 14h10 via Fiches sur les personnages ...

mamou murmure : Mamou 278 Le 08 décembre 2017, 11h48 via Fiches sur les personnages ...

Dranreb dit : Merci pour le résumé des Fourberie de Scapin ! Mais pourriez-vous faire relire le texte par un élève de CM2 pour qu'il corrige la douzaine de GROSSES fôtteu qu'il contient ? Ça serait bien ! Le 05 décembre 2017, 14h15 via Accueil

la perle des ocens chuchote : Hum Le 04 décembre 2017, 18h03 via Fiches sur les personnages ...

bruh s'exclame : On 3+4 pas nous ?! Le 04 décembre 2017, 8h19 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

1% déclare : C'est moi à 99% Le 03 décembre 2017, 12h48 via Résumé : Le Tartuffe de Mol...

la mouche proclame : Je suis un bourdon Le 03 décembre 2017, 11h52 via Résumé : Le Tartuffe de Mol...

meuh bafouille : 85+
3---9339=12
Le 30 novembre 2017, 17h53 via Résumé scène par scène - Le...

1234 scribouille : D Le 26 novembre 2017, 12h17 via Fiches sur les personnages ...

Akuu s'exclame : Yo Le 24 novembre 2017, 16h09 via Résumé : Andromaque

oui chuchote : Voila Le 23 novembre 2017, 19h15 via Résumé : Andromaque

arif tergiverse : Trop facile Le 22 novembre 2017, 18h53 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

Tibo proclame : Damn les gens Le 19 novembre 2017, 13h53 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

BERENICE bafouille : SALUUUUT Le 16 novembre 2017, 20h55 via Accueil

kenfirstar s'exclame : Salut Le 16 novembre 2017, 17h02 via Accueil

Publicité



©Bnbox (Infos) - Cahier de l'élèves - Atelier webmaster - Boîte à Nuts - Bar à Nougat - Plus ou moins valide XHTML 1.0, CSS 2, RSS 2.0
Flux RSS