Grandes écoles - PSI - Exercice d'oral [Géométrie, Quadrique]

Grandes écoles : PSI - Exercice d'oral [Géométrie, Quadrique]

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Donner la nature de xy + yz + zx = 1 (1)

Réponse

On cherche la nature d'une quadrique. Posons :
$A = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix} \,\, et \,\, X=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$

(1) est donc équivalente à : $^tXAX=1$
Or $A \in S_n(\mathbb{R})$ , donc d'après le théorème spectral : $\exists P \in O_n(\mathbb{R}) \,\, \exists D \in D_n(\mathbb{R}) \,\, A=PDP^{-1}$

On pourrait calculer le polynôme caractéristique de A (à la main) assez rapidement, mais voici une petite astuce pas mal, on remarque :
$B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = 2A+I_n=P(2D+In)P^{-1}$
Le polynôme annulateur de B se calcule de tête en raisonnant sur le rang et la trace de B, on a $\chi_B(X)=-X^2(X-3)$ . Par conséquent, on a :
$D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$

Donc en posant $Y=\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix}=P^{-1}X$
(1) équivaut à $^tYDY=1$ dont équivaut à $\frac{y'}{\sqrt{2}}^2 + \frac{z'}{\sqrt{2}}^2 - {x'}^2 = -1$

De par la forme de cette dernière équation, on peut dire que cette quadrique est un hyperboloïde à 2 nappes.

Auteur : Bnmaster
Créé le : 18/06/2008
Modifié le : 22/06/2012
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49 dit : Javoue sa explique rien sur le livre Hier, 21h35 via Romain Gary : La Promesse d...

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s écrit : Bj Le 21 mai, 11h18 via Résumé : Le Tartuffe de Mol...

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lol murmure : Le résumé ma beaucoup aider Le 18 mai, 12h50 via Texte intégral - L'Avare de...

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