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Grandes écoles : PSI - Exercice d'oral [Géométrie, Quadrique]

Donner la nature de xy + yz + zx = 1 (1)

Réponse

On cherche la nature d'une quadrique. Posons :
A = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix} \,\, et \,\, X=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}

(1) est donc équivalente à : ^tXAX=1
Or A \in S_n(\mathbb{R}), donc d'après le théorème spectral : \exists P \in O_n(\mathbb{R}) \,\, \exists D \in D_n(\mathbb{R}) \,\, A=PDP^{-1}

On pourrait calculer le polynôme caractéristique de A (à la main) assez rapidement, mais voici une petite astuce pas mal, on remarque :
B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = 2A+I_n=P(2D+In)P^{-1}
Le polynôme annulateur de B se calcule de tête en raisonnant sur le rang et la trace de B, on a \chi_B(X)=-X^2(X-3). Par conséquent, on a :
D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}

Donc en posant Y=\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix}=P^{-1}X
(1) équivaut à ^tYDY=1 dont équivaut à \frac{y'}{\sqrt{2}}^2 + \frac{z'}{\sqrt{2}}^2 - {x'}^2 = -1

De par la forme de cette dernière équation, on peut dire que cette quadrique est un hyperboloïde à 2 nappes.



Mini-tchat

?

o murmure : Ol Aujourd'hui, 17h44 via Résumé - Les Fourberies De ...

RRRRRRRRRRR écrit : 5 lV Aujourd'hui, 17h40 via Résumé - Les Fourberies De ...

RRRRRRRRRRR proclame : 5 lv Aujourd'hui, 17h39 via Résumé - Les Fourberies De ...

RRRRRRRRRRR tergiverse : Lv Aujourd'hui, 17h39 via Résumé - Les Fourberies De ...

RRRRRRRRRRR dit : Lv Aujourd'hui, 17h39 via Résumé - Les Fourberies De ...

RRRRRRRRRRR dit : Mmmmmmmmmmmmllllllllllllllllllllllllllllllllll Aujourd'hui, 17h39 via Résumé - Les Fourberies De ...

RRRRRRRRRRR griffonne : OPPPPPPPPPPPPPK IKMPtttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttrrrrrrrrrrrrrrrrrrrtyuuuuuuuuuuuueucvcvcvcvcvcvcvcvcvcvcvcvcvcvcvcvcv__________________________è((((((((((((((((((((((-èhgggggggggggggggggggggggggggggggggggggggfghfgffgfgfgfgfgfgffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff Aujourd'hui, 17h38 via Résumé - Les Fourberies De ...

RRRRRRRRRRR s'exclame : JJJJJJJJJJJJJ Aujourd'hui, 17h37 via Résumé - Les Fourberies De ...

:D proclame : J'avais justement faire un résumé scene par scene pour demain, perfect mini_bn Hier, 22h41 via Résumé : Andromaque

48 déclare : Jsuiiii une fille Hier, 21h57 via Résumé - Les Fourberies De ...

48 bafouille : Merde Hier, 21h57 via Résumé - Les Fourberies De ...

48 bafouille : Tin Hier, 21h57 via Résumé - Les Fourberies De ...

48 chuchote : Bn Hier, 21h56 via Résumé - Les Fourberies De ...

48 murmure : Ccccc quiiiiiiii Hier, 21h56 via Résumé - Les Fourberies De ...

48 déclame : Nico? Hier, 21h55 via Résumé - Les Fourberies De ...

48 déclame : Ya qequn ? Hier, 21h55 via Résumé - Les Fourberies De ...

48 proclame : Put pppppppppp Hier, 21h54 via Résumé - Les Fourberies De ...

48 déclame : Put Hier, 21h54 via Résumé - Les Fourberies De ...

nico murmure : Put Hier, 21h54 via Résumé : L'Avare

48 s'exclame : Ya quequn qui sappelle 49 ? Hier, 21h54 via Résumé - Les Fourberies De ...

aaaaaaaaffgggg gribouille : H Hier, 21h52 via Résumé - Les Fourberies De ...

aaaaaaaaffgggg déclare : U Hier, 21h52 via Résumé - Les Fourberies De ...

49 dit : Javoue sa explique rien sur le livre Hier, 21h35 via Romain Gary : La Promesse d...

1000 écrit : Jme casse Hier, 21h34 via Résumé - Les Fourberies De ...

hhbjujv déclame : ?????? Hier, 21h34 via Résumé - Les Fourberies De ...

hhbjujv scribouille : Tin ya quequn Hier, 21h34 via Résumé - Les Fourberies De ...

hhbjujv s'exclame : - Hier, 21h32 via Résumé - Les Fourberies De ...

hhbjujv tergiverse : Ce site c vraiment tropê de la meurde Hier, 21h32 via Résumé - Les Fourberies De ...

hhbjujv dit : Repondez moi je m'enmmmerd Hier, 21h31 via Résumé - Les Fourberies De ...

lilipucze déclame : Akyhguioqsrgh Hier, 21h30 via Résumé - Les Fourberies De ...

lilipucze gribouille : Bien dit Mettenier Hier, 21h29 via Résumé - Les Fourberies De ...

lilipucze écrit : Caaaaaaacaaaaaaaaa Hier, 21h29 via Résumé - Les Fourberies De ...

lilipucze proclame : Merci quand meme pour le resume Hier, 21h28 via Résumé - Les Fourberies De ...

lilipucze bafouille : BAREZ VOUS !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Hier, 21h27 via Résumé - Les Fourberies De ...

lilipucze chuchote : Tz Hier, 21h27 via Résumé - Les Fourberies De ...

lll griffonne : Vous ete toue debile Hier, 21h26 via Résumé - Les Fourberies De ...

lll griffonne : Dftyrzty Hier, 21h26 via Résumé - Les Fourberies De ...

lll proclame : Caca Hier, 21h26 via Résumé - Les Fourberies De ...

lll dit : Iiiiiiiiiiiiii Hier, 21h25 via Résumé - Les Fourberies De ...

4569+ s'exclame : 456 Hier, 19h32 via Résumé : La Promesse de l'a...

4569+ dit : 4586 Hier, 19h32 via Résumé : La Promesse de l'a...

ththr déclare : Oily Hier, 18h07 via Résumé - Les Fourberies De ...

s écrit : Bj Le 21 mai, 11h18 via Résumé : Le Tartuffe de Mol...

s tergiverse : Bj Le 21 mai, 11h18 via Résumé : Le Tartuffe de Mol...

s scribouille : Bj Le 21 mai, 11h18 via Résumé : Le Tartuffe de Mol...

s écrit : Bj Le 21 mai, 11h18 via Résumé : Le Tartuffe de Mol...

caca déclame : Yeah merci Le 20 mai, 18h23 via Résumé : Le Tartuffe de Mol...

histoiriene proclame : C est nul ya pas le resum des precieuses ridicules Le 20 mai, 16h42 via Cahier de l'élève

ADF tergiverse : Merci pour le resumé Le 18 mai, 14h53 via Résumé : L'Avare

lol murmure : Le résumé ma beaucoup aider Le 18 mai, 12h50 via Texte intégral - L'Avare de...

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