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Grandes écoles : PSI - Exercice d'oral [Géométrie, Quadrique]

Donner la nature de xy + yz + zx = 1 (1)
Réponse

On cherche la nature d'une quadrique. Posons :
A = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix} \,\, et \,\, X=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}

(1) est donc équivalente à : ^tXAX=1
Or A \in S_n(\mathbb{R}), donc d'après le théorème spectral : \exists P \in O_n(\mathbb{R}) \,\, \exists D \in D_n(\mathbb{R}) \,\, A=PDP^{-1}

On pourrait calculer le polynôme caractéristique de A (à la main) assez rapidement, mais voici une petite astuce pas mal, on remarque :
B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = 2A+I_n=P(2D+In)P^{-1}
Le polynôme annulateur de B se calcule de tête en raisonnant sur le rang et la trace de B, on a \chi_B(X)=-X^2(X-3). Par conséquent, on a :
D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}

Donc en posant Y=\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix}=P^{-1}X
(1) équivaut à ^tYDY=1 dont équivaut à \frac{y'}{\sqrt{2}}^2 + \frac{z'}{\sqrt{2}}^2 - {x'}^2 = -1

De par la forme de cette dernière équation, on peut dire que cette quadrique est un hyperboloïde à 2 nappes.



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