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Grandes écoles : ENSI PSI - Exercice d'oral [Endomorphisme]

Soit E un espace vectoriel de dimension finie et f une forme bilinéaire symétrique telle que : f(v,v)=0 \, \Longleftrightarrow \, v=0
Soit u un endomorphisme de E tel quel : \forall(x,y) \in E^2 \,\, f(u(x),u(y)) = f(x,y)
Montrer que u est bijectif.

Réponse

  • Soit x \in Ker(u), donc u(x)=0
    Or f(u(x),u(x)) = f(x,x) = f(0,0) = 0
    Donc, d'après la définition de f, x=0.
    Donc Ker(u)=\{0\}, donc u est injectif.
  • Or E est de dimension finie, donc u injectif \Longleftrightarrow u surjectif \Longleftrightarrow u bijectif

    Donc u est bijectif bn_wink

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