Centrale PC 1997 - Exercice d'oral [Géométrie, Courbe polaire]

Etudier :
$\rho(\theta) = \frac{1}{|\cos(\theta)|+|\sin(\theta)|}$

Voici la liste des choses à faire ou à chercher :

$\rho(-\theta) = \rho(\theta)$ , avec un dessin, on voit qu'il y a une symétrie par rapport à l'axe des x.
$\rho(\theta + \frac{\pi}{2}) = \rho(\theta)$ , avec un dessin, on voit qu'il y a rotation d'angle $\frac{\pi}{2}$ . On peut donc limiter note étude à l'intervalle $\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right]$ , et donc à $\left[0,\frac{\pi}{4}\right]$ grâce à la symétrie d'axe x.
$\rho(0) = 1 \quad \rho(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ on peut donc tracer une allure de la courbe.
Le cours nous dit qu'en polaire, il n'y a des points réguliers qu'à l'origine, or ici on semble en avoir 4. Cherchons donc l'angle V.
$\tan(V)=\frac{\rho'}{\rho}$ (dans notre intervalle, les sinus et les cosinus sont positifs, donc on peut enlever les valeurs absolues). Donc en 0, on a $V \equiv -\frac{\pi}{4} \, [\pi]$ et en $\frac{\pi}{4}$ , on a $V=0$ . En traçant la courbe, on voit que les tangentes en 0, $\frac{\pi}{4}$ et $\frac{\pi}{2}$ sont une seule et même droite d'équation $x+y=1$ .
Cherchons ce que fait la courbe par rapport à cette droite en prenant $x=\rho(\theta) \cos(\theta)$ et $y = \rho(\theta) \sin(\theta)$ . On cherche le signe de $x+y-1$ , afin de déterminer si la courbe et en dessous ou au dessus de la droite. En fait, on trouver $x+y-1=0$ . Donc la courbe décrit la droite.
Au final, on obtient donc un carré :

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