Effectuer un développement limité à l'ordre 4, au voisinnage de de :
Eléments de réponse
Les calculs sont vraiment bourrins, donc il faut foncer en essayant de simplifier au maximum et en cherchant des petites astuces.
On connait un DL de la fonction tangente à 0, mais pas à , donc on va poser : (où on fait tendre vers 0)
Rappelons que, au voisinage de 0 :
Le DL de est relativement simple en utilisant les formules d'addition de cosinus et sinus.
On peut faire le DL de tangente, puis de sinus, mais il y a une astuce qui consiste à remarque que : ; Ce DL est bien plus simple à calculer et il ne reste plus qu'à en chercher la primitive.
Il ne reste "plus" qu'à calculer le DL de l'exponentielle.
On obtient le résultat final à l'ordre 4 :
Merci à mat pour avoir dégoté une erreur sur le dl de tangente. Si jamais le résultat était encore faux, c'est désormais sa responsabilité :p