Math : Nombres Complexes - PCSI

Auteur : Bnmaster
Créé le : 13/09/2006
Modifié le : 27/09/2015

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Corps $\mathbb{C}$ des nombres complexes

1) Rappels : Opérations dans $\mathbb{C}$

Il arrive qu'une équation n'est pas de solutions dans un ensemble donné. (par exemple : $x\,+\,3\,=\,5$ n'a pas de solutions dans $\mathbb{N}$ d'où la création de l'ensemble $\mathbb{Z}$ . D'où l'existence d'un ensemble $\mathbb{C}$ )
a) On admet qu'il existe un ensemble de nombres appelés : nombres imaginaires noté $\mathbb{C}$ tel que :
$\forall z\in\mathbb{C} \,\, \exists ! (x;y) \in \mathbb{R}^2 \,\, z=x+iy$
Partie réel : $\mathcal{R}e_z=x$
Partie imaginaire : $\mathcal{I}m_z=x$
Avec $i^2=-1\,$
b) $\mathbb{C}$ est muni de 2 opérations (loin de composition interne) l'addition et la soustraction.
L'addition est commutative, associative, possède un symétrique, et $\mathbb{C}$ possède un élément neutre pour l'addition. (CANS) De plus, la multiplication est associative, distributive, possède un symétrique et $\mathbb{C}$ possède un élement neutre pour l'addition.
Ainsi ( $\mathbb{C},\,+,\,\times$ ) est un corps. (commutatif car la multiplication est commutative.)

c) Conjugaison
$\bar{z}=\mathcal{R}e-i\mathcal{I}m\,\,n\in\mathbb{R}$
On a donc comme propriété :

$\bar{z+z_1}=\bar{z}+\bar{z_1}$
$\bar{zz_1}=\bar{z}\times\bar{z_1}$
$\bar{\bar{z}}=z$
$\bar{z^n}=\bar{z}^n$
$z+\bar{z}=2\mathcal{R}e_z$
$z-\bar{z}=2i\mathcal{I}m_z$

1) Image, affixe

a) Définition
Soit le plan $\mathcal{P}$ muni d'un repère orthonormé.

z est associé à M. (M image de z et z affixe de M)
z est associé à $\vec{OM}$ (z affixe de $\vec{OM}$ )

b) Propriétés des affixes

Affixe de $\vec{MM_1}$ : $z_1-z$
$Aff(\vec{V}+\vec{V_1})\,=\,Aff(\vec{V})+Aff(\vec{V_1})$
$Aff(\lambda\vec{V})\,=\lambda Aff\vec{V}$
Milieu : $z_I=\frac{z_A+z_B}{2}$
Barycentre : $\vec{OG}=\frac{\alpha\vec{OA}+\beta\vec{OB}+\gamma\vec{OC}}{\alpha+\beta+\gamma}$

3) Module d'un complexe

a) Définition

$|z| = OM$
$|z| = \sqrt{z\bar{z}}$
$|z| = \sqrt{\mathcal{R}e^2+\mathcal{I}m^2}$

b) Propriétés
[tableau centrer]
Propriété Démonstration $|z| = 0\,\Longleftrightarrow\,z=0$ Cela va de soit :) $|zz_1| = |z|\times|z_1|$ $\sqrt{zz_1\times\bar{zz_1}}=\sqrt{z\bar{z} \times z_1\bar{z_1}}=|z|\times|z_1|$ $|\bar{z}| = |z|$ $\sqrt{\bar{z}\bar{\bar{z}}}=\sqrt{z\bar{z}}=|z|$ $|\frac{1}{z}| = \frac{1}{|z|}$ $z\times\frac{1}{z}$ $|\frac{z}{z_1}| = \frac{|z|}{|z_1|}$ $z\times\frac{1}{z}$ $|\mathcal{I}m|\,\leq\,|z|$
$|\mathcal{R}e|\,\leq\,|z|$ D'après pytagore $|z-z_1|=MM_1$ Inégalité triangulaire :
$\forall(z,z_1)\in\mathbb{C}^2\,\,|z+z_1|\leq|z|+|z_1|$
$|z+z_1|=|z|+|z_1|\,ssi\,(\exists k\in\mathbb{R}_+ \,\, z=kz_1)\,ou \,z=0$ [/tableau]

4) Arguments d'un complexe ( $\neq\,0$ )

a) Définitions

b) Propriétés

c) Notation exponentielle
Formule de moivre
Fomule d'Euler

5) Ensemble $\mathbb{U}$ des complexes de modules 1

a) Définition
b)

II] Applications des nombres complexes

1) Addition et différence de 2 exponentielles de module 1

a)
b)

2) Linéarisation

a)
b)
c)

3) Autres formules de trigonométrie

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