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Formules de trigonométrie

Le but de cet article est de réunir la plupart des formules de trigonométrie dont on peut avoir l'utilité durant ses études. Le tout a été classé par niveau : collège, lycée, études supérieurs. Cela dit, fort heureusement pour moi, je ne suis pas prof, donc je ne connais pas les programmes par coeur, par conséquent, les niveaux sont un peu approximatifs, mais ça vous donne une petite idée quand même.
En espérant que tout ceci vous sera utile :)

Collège

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Triangle ABC rectangle en B

\,\,\,cos \, = \, \frac{cote \,adjacent}{hypotenuse }\,\,\, \,\,\,sin \, = \, \frac{cote \,oppose}{hypotenuse }\,\,\, \,\,\,tan \, = \, \frac{ cote \, oppose}{cote \, adjacent }\,\,\,

On peut utiliser le mot : SOHCAHTOA comme moyen mémo technique. En effet, si on le sépare en 3 :
SOH : Sin, Opposé, Hypoténuse
CAH : Cas, Adjacent, Hypoténuse
TOA : Tan, Opposé, Adjacent

Lycée

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Le cercle trigonométrique

Formules : Cosinus et sinus des angles associés
\cos(-x) = \cos(x)
\sin(-x) = - \sin(x)

\cos(\pi - x) = - \cos(x)
\sin(\pi - x) = \sin(x)

\cos(x + \pi) = - \cos(x)
\sin(x + \pi) = - \sin(x)

\cos(\pi/2 - x) = \sin(x)
\sin(\pi/2 - x) = \cos(x)

\cos(\pi/2 + x) = - \sin(x)
\sin(\pi/2 + x) = \cos(x)

Formules d'Euler
cos(\theta) \, = \, \frac{e^{i \theta} + e^{- i \theta}}{2}
sin(\theta) \, = \, \frac{e^{i \theta} - e^{- i \theta}}{2i}

Formules d'additions
\cos(a + b) = cos(a) \times cos(b) - sin(a) \times sin(b)
\sin(a + b) = sin(a) \times cos(b) + sin(b) \times cos(a)

\cos(a - b) = cos(a) \times cos(b) + sin(a) \times sin(b)
\sin(a - b) = sin(a) \times cos(b) - sin(b) \times cos(a)
On trouve ces formules grâces aux formules d'Euler sur les exponentielles.

Moyen mémo-technique pour se souvenir
Cosinus - Contrariant.
Sinus si gentils.

En effet, une somme d'un cosinus se traduit par une différence.
Alors qu'avec le sinus, si c'est une somme cela reste une somme et une différence une différence...

Formules de duplication
Pour tout réel a:
\cos(2a) = cos(a)^2 - sin(a)^2
\cos(2a) = 2cos(a)^2 - 1
\cos(2a) = 1 - 2sin(a)^2

Pour tout réel a:
\sin(2a) = 2sin(a) \times cos(a)

Formules de linéarisation
Des formules de duplication on obtient :
\cos(a)^2 = \frac{1 + cos(2a)}{2}
\sin(a)^2 = \frac{1 - cos(2a)}{2}

Etudes supérieurs

Applications des nombres complexes

e^{i\theta} \, + \, e^{i\theta'} \, = \, e^{i\frac{\theta+\theta'}{2}} \, \times \, 2 cos(\frac{\theta - \theta'}{2})
e^{i\theta} \, - \, e^{i\theta'} \, = \, e^{i\frac{\theta+\theta'}{2}} \, \times \, 2 i sin(\frac{\theta - \theta'}{2})

On obtient alors une autre forme des formules d'additions :

cos(p) \, + \, cos(q) \, = \, 2 cos(\frac{p+q}{2}) \, cos(\frac{p-q}{2})
cos(p) \, - \, cos(q) \, = \, - 2 sin(\frac{p+q}{2}) \, sin(\frac{p-q}{2})
sin(p) \, + \, sin(q) \, = \, 2 sin(\frac{p+q}{2}) \, cos(\frac{p-q}{2})
sin(p) \, - \, sin(q) \, = \, 2 sin(\frac{p-q}{2}) \, cos(\frac{p+q}{2})

Linéarisation
D'après les formules d'additions :
cos(a) cos(b) = \frac{1}{2} [cos(a+b) + cos(a-b)]
sin(a) sin(b) = \frac{1}{2} [- cos(a+b) + cos(a-b)]
sin(a) cos(b) = \frac{1}{2} [sin(a+b) + sin(a-b)]

Exemple d'application
Exprimons \cos(3x) en fonction de \cos(x) :
  • Version à l'ancienne : cos(3x) = cos(2x+x) ... Un peu long et pas adapté dès qu'on veut faire \cos(10000x)
  • Ou, nouvelle version : cos(3x) = \mathcal{R}e \left(cos(3x)+isin(3x)\right) = \left(cos(x)+isin(x)\right)^3 = cos(x)^3 + 3icos(x)^2sin(x) - 3cos(x)sin(x)^2 - i sin(x)^3
    D'où : cos(3x) = 4cos(x)^3 - 3 cos(x)
    Et : sin(3x) = -4sin(x)^3 + 3 sin(x)

Conclusion

Et voilà un bon gros tour des formules de trigonométrie usuelles. Maintenant, plus qu'une seule solution : les apprendre et les s'entrainer à les utiliser pour avoir l'idée de s'en servir dans des démonstrations ou des exercices :)