ROC : Corolaire du théorème des valeurs intermédiaires

Auteur :Bnmaster
Créé le :31/10/2005
Modifié le :27/09/2015

Théorème admis des Valeurs Intermédiaires

Abréviation : TVI
Ce théorème est nécessaire pour démontrer le corolaire du TVI, mais sa démonstration n'est pas exigible.

Soit $f$ une fonction définie et continue sur I.
Soit a et b, deux réels de I.
Pour tout réel k compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , il existe un réel L compris entre a et b tel que $f(c) \, = \, k$

Exemple

Soit l'équation $\cos(x)^2 \, = \, \frac{1}{3}$
La fonction $f(x) = \cos(x)^2$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$ . (car $x \, \equiv \, \frac{\pi}{2} \, [\pi]$ ) En particulier, elle est continue sur $[0 , \pi]$
Comme $0 \leq \frac{1}{3} \leq 1$ , d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $\cos(x)^2 = \frac{1}{3}$ admet au moins une solution c dans l'intervalle $[0 , \pi]$

Corolaire du théorème des Valeurs Intermédiaires

C'est ce corolaire qu'il faut savoir démontrer.

Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone (monotone : Soit croissante tout le temps, soit décroissante tout le temps.) sur un intervalle $[a , b]$ alors pour tout réel k compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , l'équation $f(x) = k$ admet une solution unique dans l'intervalle $[a , b]$
On dit que $f$ réalise/effectue une bijection (ou encore : est une bijection) de l'intervalle $[a , b]$ sur l'intervalle $[f(a) , f(b)]$ ou $[f(b) , f(a)]$ .

Démonstration à connaître

Existence d'une solution
L'existence d'une solution c dans $[a , b]$ de l'équation $f(x) = k$ est assurée par le théorème des valeurs intermédiaires puisque $f$ est continue sur l'intervalle $[a , b]$ .

Unicité de la solution
Raisonnons par l'absurde.
Supposons qu'il existe une autre valeur de l'intervalle $[a , b]$ appelé c' tel que : $f(c') = k$ avec $c \neq c'$ .
On a alors $f(c) = f(c')$
Puisque $f$ est strictement monotone et $c \neq c'$ on a :

soit $f(c) < f(c')$
soit $f(c) > f(c')$

Ce qui est absurde puisque $f(c) = f(c')$ .
Donc l'hypothèse de départ est fausse, donc $c = c'$ . D'où l'unicité de la solution.

Conclusion
L'équation $f(x) = k$ admet une seule et unique solution sur $[a , b]$ .

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