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Mathématiques : ROC : Corolaire du théorème des valeurs intermédiaires

Théorème admis des Valeurs Intermédiaires


Abréviation : TVI
Ce théorème est nécessaire pour démontrer le corolaire du TVI, mais sa démonstration n'est pas exigible.


Soit f une fonction définie et continue sur I.
Soit a et b, deux réles de I.
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un réel L compris entre a et b tel que f(c) \, = \, k

Exemple

Soit l'équation \cos(x)^2 \, = \, \frac{1}{3}
La fonction f(x) = \cos(x)^2 est définie et continue sur \mathbb{R}.  (car x \, \equiv \, \frac{\pi}{2} \, [\pi]) En particulier, elle est continue sur [0 , \pi]
Comme 0 \leq \frac{1}{3} \leq 1, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \cos(x)^2 = \frac{1}{3} admet au moins une solution c dans l'intervalle [0 , \pi]

Corolaire du théorème des Valeurs Intermédiaires


C'est ce corolaire qu'il faut savoir démontrer.


Si f est une fonction continue et strictement monotone (monotone : Soit croissante tout le temps, soit décroissante tout le temps.) sur un intervalle [a , b] alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k admet une solution unique dans l'intervalle [a , b]
On dit que f réalise/effectue une bijection (ou encore : est une bijection) de l'intervalle [a , b] sur l'intervalle [f(a) , f(b)] ou  [f(b) , f(a)].

Démonstration à connaître

Existence d'une solution
L'existence d'une solution c dans [a , b] de l'équation f(x) = k est assurée par le théorème des valeurs intermédiaires puisque f est continue sur l'intervalle [a , b].

Unicité de la solution
Raisonnons par l'absurde.
Supposons qu'il existe une autre valeur de l'intervalle [a , b] appelé c' tel que : f(c') = k avec c \neq c'.
On a alors f(c) = f(c')
Puisque f est strictement monotone et c \neq c' on a :
  • soit f(c) < f(c')
  • soit f(c) > f(c')

Ce qui est absurde puisque f(c) = f(c').
Donc l'hypothèse de départ est fausse, donc c = c'. D'où l'unicité de la solution.

Conclusion
L'équation f(x) = k admet une seule et unique solution sur [a , b].


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