ROC : Suite croissante, non-majorée

Auteur :Bnmaster
Créé le :18/10/2005
Modifié le :27/09/2015

Théorème

Si la suite $U_n$ est croissante et non-majorée alors :
$\lim_{n \rightarrow + \infty} U_n = + \infty$

Démonstration en langage courant

La suite $U_n$ n'est pas majorée signifie que : quelque soit le réel M, il existe un entier N tel que $U_N \, > \, M$

Puisque la suite $U_N$ est croissante, alors il existe un entier naturel $n \geq N$ tel que $U_n \geq U_N$
Par conséquent, quelque soit l'entier naturel $n \geq N$ : $U_n \geq M$
Donc, pour tout réel $M > 0$ il existe un entier N tel que : quelque soit $n \geq N\,\,U_n > M$

Ce qui prouve bien que la limite quand n tend vers $+ \infty$ de $U_n$ est $+ \infty$ .

Démonstration en langage mathématique

La suite $U_n$ n'est pas majorée signifie que : $\forall \in \mathbb{R} \,\, \exists N \in \mathbb{N} \,\, U_N > M$

Puisque la suite $U_N$ est croissante, alors $\forall n \geq N \,\,\, U_n \geq U_N$
Par conséquent $\forall n \geq N \,\,\, U_n \geq M$
Donc, $\forall M > 0 \,\, \exists N \mathbb{N} \,\, (\forall n \geq N \,\,\, U_n > M)$

Ce qui prouve bien que : $\lim_{n \rightarrow + \infty} U_n = + \infty$

Le symbôle $\forall$ signifie "Quelque soit", "Pour tout".
Le symbôle $\in$ signifie "appartient".
Le symbôle $\exists$ signifie "il existe".
Ce sont des symbôles Mathématiques compréhensibles par les matheux des quatre coins de la planète :D

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