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ROC - Formule d'intégration par parties

Formule d'intégration par parties

Soit u et v deux fonctions continues et dérivables sur [a,b] (a<b). Alors :
\color{red}\int_{a}^{b} u v' = [u v]_a^b - \int_{a}^{b} u' v


Pour ceux a qui cela poserait problème, on dit la même chose en écrivant :
Soit u et v deux fonctions continues et dérivables sur [a,b] (a<b). Alors :
\color{red}\int_{a}^{b} u(x) \, v'(x) \, dx = [u(x) \, v(x)]_a^b - \int_{a}^{b} u'(x) \, v(x) \, dx


Démonstration

Soit u et v deux fonctions continues et dérivables sur [a,b] (a<b). Cherchons la dérivée de u v

(u v)' = u' v + u v'
Donc, puisque les dérivées de u et v sont continues, et puisque le produit de deux fonctions continues est une fonction continue, on peut intégrer sur [a,b] (a<b) :
\int_{a}^{b} (u v)' = \int_{a}^{b} (u' v + u v') = \int_{a}^{b} u' v + \int_{a}^{b} u v'
D'où la formule d'intégration par partie :
\int_{a}^{b} u v' = \int_{a}^{b} (u v)' - \int_{a}^{b} u' v = [u v]_a^b - \int_{a}^{b} u' v


Exemple d'application

Soit \,\, \forall x \in \mathbb{R} \,\, I=\int_{0}^{\pi} e^x \sin(x)dx \,\, et \,\, J=\int_{0}^{\pi} e^x \cos(x)dx.
Montrons que I=-J.

Pour cela, utilisons la formule d'intégration par parties en prenant :
\forall x \in \mathbb{R} \,\, u'(x) = e^x c'est-à-dire u(x) = e^x et
\forall x \in \mathbb{R} \,\, v(x)= \sin x c'est-à-dire v'(x) = \cos x.
Alors :
\forall x \in \mathbb{R} \,\, I = [e^x\sin x]_0^\pi - \int_{0}^{\pi} e^x\cos xdx = - \int_{0}^{\pi} e^x\cos xdx = - J
On a donc bien I=-J.




Ce ROC a été posé au bac S (France métropolitaine) en 2007. (dont vous aurez peut-être un jour le correction complète sur la Bnbox si DarKnight et moi avons le courage de la recopier)

Retrouvez d'autres ROC sur la Bnbox :)