Mathématiques - ROC - Formule d'intégration par parties

Mathématiques : ROC - Formule d'intégration par parties

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Formule d'intégration par parties

Soit u et v deux fonctions continues et dérivables sur [a,b] (a<b). Alors :

$\color{red}\int_{a}^{b} u v' = [u v]_a^b - \int_{a}^{b} u' v$

Pour ceux a qui cela poserait problème, on dit la même chose en écrivant :
Soit u et v deux fonctions continues et dérivables sur [a,b] (a<b). Alors :

$\color{red}\int_{a}^{b} u(x) \, v'(x) \, dx = [u(x) \, v(x)]_a^b - \int_{a}^{b} u'(x) \, v(x) \, dx$

Démonstration

Soit u et v deux fonctions continues et dérivables sur $[a,b]$ ( $a<b$ ). Cherchons la dérivée de $u v$

$(u v)' = u' v + u v'$
Donc, puisque les dérivées de u et v sont continues, et puisque le produit de deux fonctions continues est une fonction continue, on peut intégrer sur $[a,b]$ ( $a<b$ ) :
$\int_{a}^{b} (u v)' = \int_{a}^{b} (u' v + u v') = \int_{a}^{b} u' v + \int_{a}^{b} u v'$
D'où la formule d'intégration par partie :
$\int_{a}^{b} u v' = \int_{a}^{b} (u v)' - \int_{a}^{b} u' v = [u v]_a^b - \int_{a}^{b} u' v$

Exemple d'application

$Soit \,\, \forall x \in \mathbb{R} \,\, I=\int_{0}^{\pi} e^x \sin(x)dx \,\, et \,\, J=\int_{0}^{\pi} e^x \cos(x)dx$ .
Montrons que I=-J.

Pour cela, utilisons la formule d'intégration par parties en prenant :
$\forall x \in \mathbb{R} \,\, u'(x) = e^x$ c'est-à-dire $u(x) = e^x$ et
$\forall x \in \mathbb{R} \,\, v(x)= \sin x$ c'est-à-dire $v'(x) = \cos x$ .
Alors :
$\forall x \in \mathbb{R} \,\, I = [e^x\sin x]_0^\pi - \int_{0}^{\pi} e^x\cos xdx = - \int_{0}^{\pi} e^x\cos xdx = - J$
On a donc bien $I=-J$ .

Ce ROC a été posé au bac S (France métropolitaine) en 2007. (dont vous aurez peut-être un jour le correction complète sur la Bnbox si DarKnight et moi avons le courage de la recopier)

Retrouvez d'autres ROC sur la Bnbox mini_bn

Auteur : Bnmaster
Créé le : 16/06/2008
Modifié le : 20/06/2008
Vues : 68936 fois
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Mini-tchat

EKN scribouille : Http://www.youtube.com/watch?v=0V2VVEH6AX4&list=UUQznUf1SjfDqx65hX3zRDiA&index=4 Hier, 20h06 via Résumé : La Promesse de l'a...

Bnmaster griffonne : @Lulu C'est vrai ça ! Voilà qui est corrigé : Géronte est le père de Lucinde. Merci pour ta remarque mini_bn Hier, 11h28 via Accueil

Lulu dit: écrit : Mais Géronte n'est pas dans la présentation de personnages, pourquoi ? Le 16 mai, 22h08 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

Jul scribouille : KK Le 16 mai, 18h45 via Résumé scène par scène - Le...

Bnmaster écrit : Je devrais vous empêcher carrément d?accéder aux articles, ça vous ferait les pieds. Le 16 mai, 16h46 via Accueil

Bnmaster s'exclame : Vous avez quelques secondes avant que je vous bloque... Le 16 mai, 16h21 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

Mettenier tergiverse : De vrais pervers... Le 16 mai, 16h19 via Accueil

Mrfrize974 déclame : Ki c mrfrize? Le 16 mai, 16h18 via Résumé - Les Fourberies De ...

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Mettenier scribouille : FERMEZ TOUS VOS GUEULES!!!!!! Le 16 mai, 16h17 via Accueil

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yon uderstand chuchote : C maxime Le 16 mai, 16h16 via Accueil

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Christian tergiverse : Mdr ta crus Le 16 mai, 16h07 via Accueil

Mettenier dit : Ta gueule! * Le 16 mai, 16h07 via Accueil

Mettenier gribouille : Je m'en doutais bien aussi... Le 16 mai, 16h07 via Accueil

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lyon s'exclame : Mdrr moi jai un contol sur se putain de livre de merde Le 15 mai, 19h08 via Résumé - Les Fourberies De ...

jdjj tergiverse : Ok Le 15 mai, 17h53 via Résumé scène par scène - Le...

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Littledébile gribouille : Trop siiiimple mini_bn Le 15 mai, 15h37 via Résumé scène par scène - Le...

jejeboss92 murmure : Les marseillais sont la pour se faire défoncer allez psg Le 15 mai, 13h58 via Résumé du livre : Le Cid de...

jejeboss92 déclare : Bouboubouboubouboubouboubouboubouboubouboubouboubouboubouboubouboubouboubouboubouobuobuobuobubouboubouboubouboubouboubo Le 15 mai, 13h57 via Résumé du livre : Le Cid de...

jejeboss92 bafouille : Ici c'est PARIS ? Le 15 mai, 13h56 via Résumé du livre : Le Cid de...

jejeboss92 scribouille : Every day i'm shuffelin Le 15 mai, 13h56 via Résumé du livre : Le Cid de...

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Crash déclame : mini_bn Le 14 mai, 23h06 via Résumé : L'Avare

Stéphie<3 gribouille : Il est bien se résumer comme sa je n'aurait pas a le lire Le 13 mai, 19h46 via Résumé - Les Fourberies De ...

Cimer scribouille : WESSH SITE DE MONSTTRE TROW CLASSE CIMER ENKOREUH Le 13 mai, 18h26 via Résumé : On ne badine pas a...

Cimer murmure : WESSH SITE DE MONSTTRE TROW CLASSE CIMER ENKOREUH Le 13 mai, 18h26 via Résumé : On ne badine pas a...

Cimer déclare : CIMER POUR TOUS SES RESUMER SISI AIIGHT KISS CIMER Le 13 mai, 18h25 via Résumé : On ne badine pas a...

Cimer proclame : CIMER POUR TOUS SES RESUMER SISI AIIGHT KISS CIMER Le 13 mai, 18h24 via Résumé : On ne badine pas a...

Bonhomme Bleu haha déclare : Bonjour tout le monde je suis nouvelle est j'aimerais vous poser des questions pouvez vous m'aider merci d'avance bn_wink Le 13 mai, 17h10

fdg griffonne : Fgh Le 12 mai, 22h46 via Fiches sur les personnages ...

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