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Cahier de l'élève

Besoin d'un cours, d'un résumé, ou d'enrichir votre savoir ? Voici plusieurs articles qui pourront certainement vous aider. Bonne lecture !
» Pour discuter ou questionner à ce sujet : Salle de travail (soutien scolaire)



Mathématiques : Division euclidienne ou divisibilité dans Z

I Diviseurs et multiples d'un entier relatif

A) Définition

On dit que l'entier relatif b divise l'entier relatif a s'il existe un entier relatif q tel que : a=bq
q est le quotient exact de a par b. On dit aussi que b est un diviseur de a. Ou alors a est divisible par b. Ou a est un multiple de b.


Notation
Se note : b|a
Se prononce : "b divise a"

Exemple
-12\,=\,3\,\times\,(-4) Alors 3|-12, 3 divise -12.

Propriétés Soit n appartenant à \mathbb{N}^*
1) n a un nombre finit de diviseurs.
2) tout diviseur d plus grand que 0 de n, est tel que latex/pictures/math_993_66a7c185ff8f0287810a84ea2f4c2e18.png

Démonstration
Si d divise n, il existe un entier naturel k tel que : n=d*k
Lire en entier : Division euclidienne ou divisibilité dans Z

Mathématiques : ROC : Corolaire du théorème des valeurs intermédiaires

Théorème admis des Valeurs Intermédiaires


Abréviation : TVI
Ce théorème est nécessaire pour démontrer le corolaire du TVI, mais sa démonstration n'est pas exigible.


Soit f une fonction définie et continue sur I.
Soit a et b, deux réles de I.
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un réel L compris entre a et b tel que f(c) \, = \, k

Exemple

Soit l'équation \cos(x)^2 \, = \, \frac{1}{3}
La fonction f(x) = \cos(x)^2 est définie et continue sur \mathbb{R}.  (car Lire en entier : ROC : Corolaire du théorème des valeurs intermédiaires

Mathématiques : ROC : Théorème des Gendarmes

Théorème


Si au voisinage de a, les fonctions f, g et h vérifient :
g(x) \leq f(x) \leq h(x)
Et si g et h convergent vers la même limite l en a, alors :
\lim_{x \rightarrow a} f(x) = l

Démonstration


Soit J, un intervalle centré en L.

Lire en entier : ROC : Théorème des Gendarmes

Mathématiques : ROC : Suite croissante, non-majorée

Théorème


Si la suite U_n est croissante et non-majorée alors :
\lim_{n \rightarrow + \infty} U_n = + \infty

Démonstration en langage courant


La suite U_n n'est pas majorée signifie que : quelque soit le réel M, il existe un entier N tel que U_N \, > \, M

Puisque la suite U_N est croissante, alors il existe un entier naturel n \geq N tel que U_n \geq U_N
Par conséquent, quelque soit l'entier naturel n \geq N : U_n \geq M
Donc, pour tout réel M > 0 il existe un entier N tel que : quelque soit n \geq N\,\,U_n > M

Ce qui prouve bien que la limite quand n tend vers + \infty de U_n est + \infty.

Démonstration en langage mathématique


La suite U_n n'est pas majorée signifie que : \forall \in \mathbb{R} \,\, \exists N \in \mathbb{N} \,\, U_N > M
Lire en entier : ROC : Suite croissante, non-majorée

Mathématiques : Mais qu'est ce qu'un ROC en math ?

ROC = Restitution Organisée de Connaissance.

Les élèves de Terminale S en France pour le Baccalauréat se voient soumis, lors de l'épreuve de Mathématiques, à un exercice appelé : ROC.
Dans cet exercice, le bachelier doit faire la démonstration d'un théorème ou d'une propriété qu'il aura appris en cours durant l'année. En somme cela revient à réciter une démonstration apprise par coeur (ou bien comprise en tout cas) tout en l'adaptant au contexte bn_wink

Voilà pourquoi il existe des démonstrations à apprendre, tout du moins à connaitre, pour pouvoir les restituer clairement et explicitement.

Je vais tenter de mettre au fur et à mesure de l'année sur la Bnbox toutes les ROC... en tout cas une bonne partie bn_big_smile
Liste des ROC sur la Bnbox
Lire en entier : Mais qu'est ce qu'un ROC en math ?

Mathématiques : Cours de trigonométrie

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Principales formules de trigonométrie

Cosinus et sinus des angles associés

\cos(-x) = \cos(x)
\sin(-x) = - \sin(x)

\cos(\pi - x) = - \cos(x)
\sin(\pi - x) = \sin(x)

\cos(x + \pi) = - \cos(x)
\sin(x + \pi) = - \sin(x)

\cos(\pi/2 - x) = \sin(x)
\sin(\pi/2 - x) = \cos(x)

\cos(\pi/2 + x) = - \sin(x)
\sin(\pi/2 + x) = \cos(x)

Formules d'additions


\cos(a + b) = cos(a) \times cos(b) - sin(a) \times sin(b)
\sin(a + b) = sin(a) \times cos(b) + sin(b) \times cos(a)

\cos(a - b) = cos(a) \times cos(b) + sin(a) \times sin(b)
\sin(a - b) = sin(a) \times cos(b) - sin(b) \times cos(a)
On trouve ces formules grâces aux formules d'Euler sur les exponentielles.

Lire en entier : Cours de trigonométrie

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