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Mathématiques : ROC : Théorème des Gendarmes

Théorème


Si au voisinage de a, les fonctions f, g et h vérifient :
g(x) \leq f(x) \leq h(x)
Et si g et h convergent vers la même limite l en a, alors :
\lim_{x \rightarrow a} f(x) = l

Démonstration


Soit J, un intervalle centré en L.
  • Puisque : \lim_{x \rightarrow a} g(x) = l
    il existe un réél A \in ]\alpha; + \infty[ tel que, pour tout x>A : g(x) appartient à J.

  • Puisque : \lim_{x \rightarrow a} h(x) = l
    il existe un réél B \in ]\alpha; + \infty[ tel que, pour tout x>B : h(x) appartient à J.

  • Soit C, le plus grand nombre de A et B.
    Pour tout x>C on a donc :
    g(x) appartient à J ET h(x) appartient à J.
    Comme g(x) \leq f(x) \leq h(x)
    On a donc : f(x) appartient à J.


Donc f admet pour limite l quand x tend vers a.
C'est-à-dire, en langage mathématique :
\lim_{x \rightarrow a} f(x) = l



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