ROC : Théorème des Gendarmes

Auteur :Bnmaster
Créé le :21/10/2005
Modifié le :27/09/2015

Théorème

Si au voisinage de a, les fonctions $f$ , $g$ et $h$ vérifient :
$g(x) \leq f(x) \leq h(x)$
Et si $g$ et $h$ convergent vers la même limite $l$ en a, alors :
$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = l$

Démonstration

Soit J, un intervalle centré en L.

Puisque : $\lim_{x \rightarrow a} g(x) = l$
il existe un réél $A \in ]\alpha; + \infty[$ tel que, pour tout $x>A$ : $g(x)$ appartient à J.
Puisque : $\lim_{x \rightarrow a} h(x) = l$
il existe un réél $B \in ]\alpha; + \infty[$ tel que, pour tout $x>B$ : $h(x)$ appartient à J.
Soit C, le plus grand nombre de A et B.
Pour tout $x>C$ on a donc :
$g(x)$ appartient à J ET h(x) appartient à J.
Comme $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$
On a donc : $f(x)$ appartient à J.

Donc $f$ admet pour limite l quand x tend vers a.
C'est-à-dire, en langage mathématique :

$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = l$

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