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Grandes écoles : Centrale PC 1997 - Exercice d'oral [Géométrie, Courbe polaire]

Etudier :
\rho(\theta) = \frac{1}{|\cos(\theta)|+|\sin(\theta)|}

Elements de réponse

Voici la liste des choses à faire ou à chercher :
  • symétrie et rotation pour limiter l'ensemble d'étude
  • tracé rapide de la courbe
  • recherche de point(s) régulier(s) et donc des tangentes
  • tracé final

Réponse

  • \rho(-\theta) = \rho(\theta), avec un dessin, on voit qu'il y a une symétrie par rapport à l'axe des x.
  • \rho(\theta + \frac{\pi}{2}) = \rho(\theta), avec un dessin, on voit qu'il y a rotation d'angle \frac{\pi}{2}. On peut donc limiter note étude à l'intervalle \left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right], et donc à \left[0,\frac{\pi}{4}\right] grâce à la symétrie d'axe x.
  • \rho(0) = 1 \quad \rho(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} on peut donc tracer une allure de la courbe.
  • Le cours nous dit qu'en polaire, il n'y a des points réguliers qu'à l'origine, or ici on semble en avoir 4. Cherchons donc l'angle V.
    \tan(V)=\frac{\rho'}{\rho} (dans notre intervalle, les sinus et les cosinus sont positifs, donc on peut enlever les valeurs absolues). Donc en 0, on a V \equiv -\frac{\pi}{4} \, [\pi] et en \frac{\pi}{4}, on a V=0. En traçant la courbe, on voit que les tangentes en 0, \frac{\pi}{4} et \frac{\pi}{2} sont une seule et même droite d'équation x+y=1.
  • Cherchons ce que fait la courbe par rapport à cette droite en prenant x=\rho(\theta) \cos(\theta) et y = \rho(\theta) \sin(\theta). On cherche le signe de x+y-1, afin de déterminer si la courbe et en dessous ou au dessus de la droite. En fait, on trouver x+y-1=0. Donc la courbe décrit la droite.
  • Au final, on obtient donc un carré :
    document/cahier/courbe.png

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