La Bnbox !

Créateur de sourires...

Mon compte

S'inscrire

Recherche

Vous êtes ici : Accueil » Concours » Grandes écoles » Centrale PSI 2000 - Exercice d'oral [Série entière, Equation différentielle]

Concours



« Article précédent - Sommaire - Article suivant »

Grandes écoles : Centrale PSI 2000 - Exercice d'oral [Série entière, Equation différentielle]

Enoncé



Soit la suite (a_{n}) définie par récurrence par :

\left\{ a_{0}\,=\,1\\a_{1}\,=\,1\\a_{n+1}\,=\, a_{n} \,+\, 2 \frac {a_{n-1}}{n+1} \,\, \forall n \ge 1\\\right.

1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière : \sum_{n=0}^{+\infty} a_{n}x^{n}.

2. Déterminer la somme de cette série (on pourra s'aider d'une équation différentielle).

Méthode de résolution




1.
  • Essayer de conjecturer le résultat au brouillon en passant à la limite dans le critère de d'Alembert. On doit conjecturer R=1.
  • Essayer de trouver un encadrement de a_{n} qui permettra de trouver le R conjecturé précédemment. Pour cela, minorer a_{n} par 1, ce qui est intuitif. Puis raisonner par récurrence pour majorer a_{n} par n^{2} (moins intuitif, mais n^{2} est la première puissance de n qui passe bien à la récurrence).
  • En déduire un encadrement sur R, ce qui permet de conclure.



2.
  • Poser f(x)\,=\,\sum_{n=0}^{+\infty} a_{n}x^{n}.
  • Calculer f'(x). Faire apparaître par changement d'indice a_{n+1} puis utiliser la relation de récurrence. (Faire attention aux intervalles de variation de n)
  • On obtient une équation différentielle du premier ordre, homogène, à coefficients non constants. Il faut calculer une primitive obtenue par décomposition en éléments simples pour la résoudre. Puis on utilise les conditions initiales pour déterminer entièrement la solution.



Solution




Pour simplifier les calculs par la suite et éviter les problèmes d'indice, on peut poser : a_{-1}\,=\,0.


1.
On doit trouver R\,=\,1.
L'encadrement de a_{n} nous donne d'une part que la série de terme général a_{n}x^{n} a un rayon de convergence inférieur ou égal à celui de la série de terme général x^{n} (i.e. 1). D'autre part que ce rayon est supérieur ou égal à celui de la série de terme général n^{2}x^{n} (égal lui aussi à 1 par le critère de d'Alembert).

Attention ! Ne pas majorer trop brutalement pendant le raisonnement par récurrence, mais plutôt raisonner par équivalences.


2.
On obtient l'équation différentielle suivante :
f'(x)\,-\, \frac{1+2x}{1-x}f(x)\,=\,0

On doit calculer la primitive de \frac{1+2x}{1-x}. On décompose cette fraction en éléments simples de la forme : \frac{1+2x}{1-x}\,=\, \alpha \,+\, \frac{\beta}{1-x}.
On trouve  \alpha \,=\, -2 et  \beta \,=\, 3, ce qui permet de calculer la primitive, et de terminer la résolution de l'équation.

Finalement, on trouve :  f(x) \,=\, \frac {\exp(-2x)}{(1-x)^{3}}, ce qui est la somme demandée.


Cet exercice peut s'avérer délicat à certains endroits, et ce qui est exposé ici est la démarche générale, sans entrer dans les détails. Si vous avez un problème à un endroit de la résolution, vous pouvez poser vos questions sur le Bar à Nougat.

Commentaires

Il n'y a aucun commentaire à l'heure actuelle.

Ajouter un commentaire



3+4 = ?


  BNcode  |   Module de Math

Ailleurs sur la Bnbox

Ailleurs sur la Toile

Mini-tchat

?

hkhoiyhyuohouygkuygkuygkuyg dit : Vuygygiygiuyguiygiuygiuyguiygiuygiuygiuyguygiuyg Le 23 mars, 18h38 via Résumé : L'Avare

hihan tergiverse : A Le 23 mars, 15h01 via Les avantages et les risque...

hihan déclare : A Le 23 mars, 15h01 via Les avantages et les risque...

hihan tergiverse : A Le 23 mars, 15h01 via Les avantages et les risque...

hihan scribouille : A Le 23 mars, 15h01 via Les avantages et les risque...

hihan griffonne : A Le 23 mars, 15h01 via Les avantages et les risque...

hihan griffonne : A Le 23 mars, 15h01 via Les avantages et les risque...

hihan chuchote : A Le 23 mars, 15h01 via Les avantages et les risque...

hihan déclare : A Le 23 mars, 15h01 via Les avantages et les risque...

hihan écrit : A Le 23 mars, 15h01 via Les avantages et les risque...

hihan tergiverse : A Le 23 mars, 15h01 via Les avantages et les risque...

hihan déclare : A Le 23 mars, 15h01 via Les avantages et les risque...

hihan murmure : A Le 23 mars, 15h01 via Les avantages et les risque...

hihan griffonne : A Le 23 mars, 15h01 via Les avantages et les risque...

hihan griffonne : A Le 23 mars, 15h01 via Les avantages et les risque...

hihan dit : A Le 23 mars, 15h01 via Les avantages et les risque...

hihan écrit : A Le 23 mars, 15h01 via Les avantages et les risque...

hihan s'exclame : A Le 23 mars, 15h01 via Les avantages et les risque...

hihan bafouille : Asdasdasdasdasdasdasd Le 23 mars, 15h00 via Les avantages et les risque...

5 griffonne : Patate Le 23 mars, 15h00 via Les avantages et les risque...

5 déclare : Yo Le 23 mars, 15h00 via Les avantages et les risque...

Mike déclare : Which wholesale Jack Youngblood jerseys do you ever buy?
Now this one site for sale: really cheap nba jerseys
Le 23 mars, 0h53

Aracelis dit : I have been reviewin online more than two hours today for http://cheapcalgarypaintings.blogspot.com & Bar Nougat, yet I never found any interesting article like yours.
It is pretty worth enough for me. In my opinion, if all site owners and bloggers made good content as
you did, the net will be a lot more useful than ever
before.
Le 22 mars, 21h48

valouuuuu proclame : OUAIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIItop!!!!! Le 22 mars, 21h42 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

nénette gribouille : Médecin malgré lui résumé bien!!!!!!
oreijas goate!!!!!
Le 22 mars, 21h41 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

ta mere déclare : Salut Le 22 mars, 16h39 via Résumé : Andromaque

bebou griffonne : Trop bien le site Le 22 mars, 15h52 via Résumé - Les Fourberies De ...

Tracey écrit : Great place to order fans cheap jerseys by Paypal.
More
Le 22 mars, 9h07

Le copié qui est collé griffonne : Quel école vous? Le 20 mars, 18h00 via Résumé - Les Fourberies De ...

Le copié qui est collé gribouille : Voila tout ) Le 20 mars, 17h59 via Résumé - Les Fourberies De ...

arnaud du 24 scribouille : Trop frais Le 20 mars, 15h31 via Résumé scène par scène - Le...

fff chuchote : 4wt Le 20 mars, 2h27 via Résumé : Andromaque

fff scribouille : W4t Le 20 mars, 2h27 via Résumé : Andromaque

fff tergiverse : Ag Le 20 mars, 2h27 via Résumé : Andromaque

fff déclame : Sga Le 20 mars, 2h27 via Résumé : Andromaque

fff chuchote : Ji Le 20 mars, 2h27 via Résumé : Andromaque

fff gribouille : Ji Le 20 mars, 2h27 via Résumé : Andromaque

fff proclame : Hi Le 20 mars, 2h27 via Résumé : Andromaque

REnnes s'exclame : Blowjob Le 20 mars, 2h17 via Résumé : Andromaque

Aziz griffonne : Test Le 19 mars, 20h37 via Résumé : Le Tartuffe de Mol...

phbu^po murmure : Iupiojùi^p`k$o^àmce Le 18 mars, 10h42 via Résumé scène par scène - Le...

phbu^po murmure : Tuioippi^$ Le 18 mars, 10h42 via Résumé scène par scène - Le...

glires ger tergiverse : III+IV=VII Le 17 mars, 0h31 via Résumé : L'Avare

mini-tchat lol 14 bafouille : Kikou merci beaucoup pour les résumés ca m'as beaucoup aidé Le 16 mars, 20h40 via Résumé : L'Avare

anonyme dit : Dans l'acte 2 scène 5"Il discute, mais finalement, pas de réponse."ils prend un s et discute s'écrit avec ent a la fin " discutent" Le 16 mars, 19h15 via Résumé : On ne badine pas a...

anonyme s'exclame : Dans l'acte 3 scène 2" Maître Blazius essai d'intercepter une lettre de Camille, mais Perdican arrive, il lui prend la LETRE, la lit et en est tout attristé." letre prend 2 t " Lettre" Le 16 mars, 19h04 via Résumé : On ne badine pas a...

la ereture proclame : Pk le livre Les brigands de saint-michel ni sont pas??? Le 16 mars, 7h25 via Recherche

12324 dit : Pourquoi sa finit comme sa ?? Le 15 mars, 21h19 via Résumé : Andromaque

12324 murmure : !!! Le 15 mars, 21h18 via Résumé : Andromaque

12324 bafouille : ... Le 15 mars, 21h18 via Résumé : Andromaque

Publicité



©Bnbox (Infos) - Cahier de l'élèves - Atelier webmaster - Boîte à Nuts - Bar à Nougat - Plus ou moins valide XHTML 1.0, CSS 2, RSS 2.0
Flux RSS