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Cahier de l'élève



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Mathématiques : Infinité de l'ensemble des nombres premiers

Théorème


L'ensemble des nombres premiers est infini.

Lemme utile à la démonstration


Tout entier naturel n non premier mais différent de 1 admet au moins un diviseur premier.

Démonstration à connaitre


Raisonnons par l'absurde.
Supposons qu'il existe un nombre fini d'entiers premiers. Notons \mathcal{P} cet ensemble fini.
Alors il existe p tel que : \forall n \in \mathcal{P} \,\, n<p. C'est-à-dire que p est le plus grand entier premier. 2, 3, 5, 7, ..., p.

Le symbôle \forall signifie "Quelque soit", "Pour tout".
Le symbôle \in signifie "appartient".
Ce sont des symbôles Mathématique compréhensible par les matheux des quatre coins de la planète !!


Notons N \, = \, 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times ... \times p
Et notons alors N' \, = \, N + 1 \, = \, 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times ... \times p + 1
Le reste de la division euclidienne par 2, par 3, par 5, ..., par p est 1. Donc N' n'est pas divisible par 2, par 3, par 5, ..., par p.
N' est différent de 1, distinguons 2 cas :
  • Si N' n'est pas premier, alors, d'après le lemme, N' admet moins un diviseur premier qui sera supérieur à p. (en effet N' n'est pas divisible par 2, par 3, ..., par p) Il y a donc contradiction avec \forall n \in \mathcal{P} \,\, n<p. Donc l'ensemble des entiers premiers est infini.
  • Si N' est premier alors : N'>N>p. Il y a donc contradiction avec \forall n \in \mathcal{P} \,\, n<p. Donc l'ensemble des entiers premiers est infini.


Par conséquent, on peut en conclure qu'il y a une infinité de nombres premiers.



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