La Bnbox !

Créateur de sourires...

Mon compte

S'inscrire

Recherche

Vous êtes ici : Accueil » Cahier de l'élève » Mathématiques » Le raisonnement par analyse-synthèse

Cahier de l'élève



« Article précédent - Sommaire - Article suivant »

Mathématiques : Le raisonnement par analyse-synthèse

Introduction


Dans la série des "grosses méthodes de raisonnement" en mathématiques, je voudrais le petit frère...
Et oui, vous avez deviné, on va recommencer à raisonner ici, mais d'une manière encore différente.
Récapitulons... en Mathématiques, on distingue plusieurs types de raisonnement : le raisonnement direct, le raisonnement par récurrence, le raisonnement par l'absurde, et enfin le raisonnement par analyse-synthèse.

Il est un peu moins utilisé que ses grands frères, mais peut s'avérer très utile pour certaines démonstrations.

Mais alors qu'est-ce que tu attends ? Explique-nous !


Oui, oui, j'y viens j'y viens.

Principe



Je vais d'abord vous donner le principe global de la chose, puis j'expliquerai en détail avec un exemple imagé, et ensuite avec des vrais exemples mathématiques.

Supposons qu'on vous demande de démontrer quelque chose qui vous semble très compliqué au premier abord. Tellement que vous ne savez pas comment faire.
Le raisonnement par analyse-synthèse peut s'avérer une bonne solution. Il se déroule en 2 étapes :

L'Analyse : Supposez que ce que vous voulez démontrer est vrai, et cherchez des conditions nécessaires à satisfaire pour que cela puisse être vrai.

La Synthèse : Vérifiez si la chose qui vérifie ces conditions est bien solution du problème posé.

Bon, vu comme ça, c'est très abstrait bn_wink. Donc on va travailler sur des exemples assez simples : un exemple complètement hors du domaine des mathématiques, pour vous permettre de mieux appréhender le principe du raisonnement; et un autre exemple d'utilisation en mathématiques.

Exemples


Le BN géant

Un jour, on vous demande de prouver l'existence d'un BN au chocolat géant vivant !
A première vue, ça semble assez difficile à faire... Et vous n'avez aucune idée de la manière de procéder.
Alors procédons par Analyse-Synthèse !
  • Première partie, l'analyse : supposons qu'il existe un BN au chocolat géant vivant quelque part dans le monde.
    Si un BN de ce genre existe, il est évident qu'il vivra nécessairement loin de l'eau, parce qu'un BN dans l'eau devient tout mou et se dissous...
    Si ce type de BN existe, il se trouvera nécessairement loin des régions chaudes, sinon son chocolat fondrait et il disparaitrait bn_sad.
    Il sera aussi nécessairement loin des régions très froides, pour ne pas geler.

    Ces conditions nécessaires qu'on vient de trouver réduisent déjà notre champ de recherche. On sait que maintenant, le seul endroit où on peut trouver un BN de ce type, c'est en France.
    Mais la France c'est toujours assez grand. On va donc chercher d'autres conditions nécessaires encore plus restrictives.

    Un grand BN comme ça, ça a besoin de beaucoup de chocolat pour tenir ensemble... Ca doit donc vivre nécessairement près d'une chocolaterie, ou d'une biscuiterie.
    Et en plus, les BN sont créés à Nantes, donc forcément, le grand BN habite près de ses parents, donc près de Nantes.
    Ce qui nous amène directement à la conclusion que le BN géant habite dans la biscuiterie BN.

  • Deuxième partie, la synthèse : nous devons vérifier notre conclusion, c'est-à-dire que nous devons prendre le premier avion pour Nantes (ou le premier TGV bn_tongue), et nous rendre à la biscuiterie pour vérifier que le BN géant s'y trouve.
    Soit on le trouve, et on a bien prouvé qu'il existe.
    Soit on ne le trouve pas, et on a prouvé qu'il n'existe pas, puisqu'il n'est pas à l'endroit où il devait nécessairement être.


(Maintenant, eh bien je vous laisse aller vérifier par vous-même. bn_tongue)


Fonctions paires et impaires

Voici l'énoncé de l'exercice : Soit f une application définie sur \mathbb{R}. Montrer que f s'écrit d'une façon unique comme la somme d'une application paire et d'une application impaire (application est synonyme de fonction dans ce cas).

A première vue, et en essayant différentes méthodes, ce problème paraît difficile à résoudre. Il se peut même que vous n'y arriviez pas bn_tongue. Mais c'est normal.
Pour résoudre ce problème, il faut utiliser le raisonnement par analyse-synthèse.

Allez on est partis !

Première étape : L'Analyse

Soit f une fonction définie sur \mathbb{R}.
Supposons qu'il existe 2 fonctions, que l'on nommera p et i (p pour paire, et i pour impaire, un peu d'originalité bn_tongue), qui soient solution du problème, c'est-à-dire des fonctions telles que :

- p soit paire
- i soit impaire
- f soit la somme de ces deux fonctions, i.e. f \, = \, p \, + \, i

Traduisons ces 3 phrases : ces deux fonctions sont donc telles que :

 \forall x \in \mathbb{R} \, \left\{ \begin{array}{rcl} f(x) \, = \, p(x) \, + \, i(x) \\ p(-x) \, = \, p(x)\\ i(-x) \, = \, -i(x)\\ \end{array} \right.
Jusque là on n'a fait que traduire en rajoutant des x les 3 conditions vérifiées par i et p pour être solutions du problème.
Evidemment, pour l'instant, cela ne nous avance pas à grand chose.
Mais le principe de l'analyse-synthèse, comme pour l'exemple du BN géant, est d'affiner au maximum la recherche pour obtenir à la fin des conditions nécessaires suffisamment restrictives.

On va donc faire quelques petites manipulations sur les 3 "équations" obtenues.

Par exemple, cherchons f(-x). (Oui, j'avoue, il faut parfois faire preuve d'inventivité... Ca peut sembler tomber du ciel, mais au bout d'un moment, vous aurez pris l'habitude, et vous aurez un certain flair pour détecter ce qu'il faut faire.)

D'après les définitions des fonctions paires et impaires, on obtient :

 \forall x \in \mathbb{R} \, f(-x)  = \, p(-x) \, + \, i(-x)
   = \, p(x) \, - \, i(x) \,\,\, (1)


Or on sait qu'on a aussi :

 \forall x \in \mathbb{R} \, f(x)  = \, p(x) \, + \, i(x) \,\,\, (2)


On dispose donc des relations (1) et (2) ci-dessus.
Il faut maintenant en faire quelque chose. Et là, (oh miracle! bn_heureux) on remarque que si on fait la somme de ces deux relations, on aura disparition de la fonction i.
De même on voit que si on fait la différence des deux relations, ce sera la fonction p qui va disparaître.
La preuve :

 (1) \, + \, (2) \, \longrightarrow \forall x \in \mathbb{R} \,\, f(-x) \, + \, f(x) = \, p(x) \, + \, p(x) \, + \, i(x) \, - \, i(x)
= \, 2p(x)


D'où on en tire par simple division : \forall x \in \mathbb{R} \,\, p(x) \, = \, \frac{f(x) \, + \, f(-x)}{2}

D'autre part, on a :
 (1) \, - \, (2) \, \longrightarrow \forall x \in \mathbb{R} \,\, f(-x) \, - \, f(x) = \, p(x) \, - \, p(x) \, - \, i(x) \, - \, i(x)
= \, -2i(x)


D'où on en tire par une division et un petit changement de signe : \forall x \in \mathbb{R} \,\, i(x) \, = \, \frac{f(x) \, - \, f(-x)}{2}

Vous vous en doutez, après cela, on arrive bientôt à la fin de notre analyse... On a assez torturé les formules, et elles n'ont plus rien à nous dire.

Faisons donc une conclusion de l'analyse.
On sait que si f peut s'écrire comme une somme de deux fonctions, l'une paire et l'autre impaire, il est nécessaire que ces fonctions soient de la forme :
\forall x \in \mathbb{R} \,\, p(x) \, = \, \frac{f(x) \, + \, f(-x)}{2}
\forall x \in \mathbb{R} \,\, i(x) \, = \, \frac{f(x) \, - \, f(-x)}{2}
Ceci nous assure aussi que si ces fonctions existent, elles sont uniques (en effet, il n'y a qu'une seule fonction que l'on peut définir de telle manière).

On a bien avancé dans notre travail, et on a fait le plus dur.
Mais tout n'est pas terminé.


Deuxième étape : La Synthèse

Il reste à vérifier si les fonctions p et i trouvées sont bien solution du problème, c'est-à-dire que : p est paire, i est impaire, et f s'écrit comme la somme des deux.

Reprenons les fonctions p et i définies à la fin de notre analyse.
On a alors :
\forall x \in \mathbb{R} \,\, p(-x)  = \, \frac{f(-x) \, + \, f(-(-x))}{2}
   = \, \frac{f(-x) \, + \, f(x)}{2}
   = \, p(x)


D'où p est bien une fonction paire.

De plus:
\forall x \in \mathbb{R} \,\, i(-x)  = \, \frac{f(-x) \, - \, f(-(-x))}{2}
   = \, \frac{f(-x) \, - \, f(x)}{2}
   = \, -i(x)


D'où i est bien une fonction impaire.

Enfin, on a :
\forall x \in \mathbb{R} \,\, i(x) \, + \, p(x)  = \, \frac{f(x) \, - \, f(-x) \, + \, f(x) \, + \, f(-x)}{2}
   = \, \frac{2f(x)}{2}
   = \, f(x)


D'où on a bien  f \, = \, p \, + \, i .

Les 3 conditions de départ étant bien vérifiées par i et p, on en déduit que ces deux fonctions sont bien solution du problème posé. Donc que celui-ci admet bien une solution bn_tongue.

Donc : une fonction f étant donnée, il existe un unique couple de fonctions, l'une paire, l'autre impaire, telles que leur somme soit égale à f.

Et vous pouvez enfin mettre à la fin de votre copie le beau CQFD habituel. bn_wink

Conclusion



Je sais que vous pouvez trouver ça très étrange comme méthode de pensée. J'avoue que j'ai moi-même eu un peu de mal à m'y faire et à bien comprendre le principe.
Mais ne vous inquiétez pas. Comme d'habitude, la pratique amène une meilleure compréhension de la théorie. A force de faire ce type de raisonnements, vous finirez par bien le maîtriser bn_wink.






         
                           

Commentaires

#2552 Le 19/11/07 à 19h48» ABBASABBAS a dit :
DONNEZ_ moi , combien y'a t-il de demonstation en mathématiques
#2599 Le 20/11/07 à 10h57» Bnmaster a dit :
Beaucoup plus que tu ne peux l'imaginer bn_big_smile (mes condoléances)
#2829 Le 19/01/08 à 16h44» DarKnight a dit :
Combien de méthodes rigoureuses de raisonnement, je sais pas moi... je dirai 4-5 bien différentes.
Après, le nombre de choses démontrées et à démontrer est énorme, et bien souvent chaque démonstration a son propre petit "truc" qui fait qu'elle marche.
#2839 Le 20/01/08 à 21h43» saritasarita a dit :
Tu me donnes des belles solutions pour bien résonée je te remerci boucoup
mini_bn bn_accord Elle me plait
#3165 Le 14/05/08 à 15h07» my sistermy sister a dit :
Bonjour serait -il possible de m'éxpliquer plus en détail et avec des mots faciles,les fonctions paires et impaires,en m'envoyant les éxplications via mon e mail qui devrait etre affiché.Merci d'avance car c'est important pour moi de comprendre cela.
#3176 Le 14/05/08 à 23h30» DarKnight a dit :
Plus précisément, qu'est-ce que tu ne comprends pas. Est-ce que c'est a propos du raisonnement en lui-même, ou plutôt sur les calculs menés, ou encore sur les fonctions en elles-même ?
#4524 Le 2/01/11 à 19h26» clemus a dit :
Merci, c'est très clair:)
#4711 Le 6/09/11 à 19h17» arnogogo a dit :
Merci beaucoup, vous m'avez plus qu'éclairé!
#4908 Le 14/04/12 à 00h33» X@v a dit :
Merci pour ce superbe exemple de démonstration par analyse synthèse qui m'a fait rire tout seul devant mon écran bn_yikes)

Vive les BN (le le FCNA !)
Tchou Tchou
#5062 Le 5/11/12 à 13h39» plouf a dit :
Une question la voici:

je suis un eleve de 5 eme et tu ne pourrai pas simplifier puisque je dois faire une synthese des questions que j ai repondu et en faire une conclusion c est ca que je cherchai UN GRAND MERCI mais je ne comprend rien a tes exemples paire et impaire pourrais tu simplifier svp je dois finir ca avant les vacances MERCI DE TON TOPIC

l'eleve de 5 eme
#5063 Le 5/11/12 à 13h40» plouf a dit :
A oui j ai oublie tu ne peux pas simplifier tes exemples
#5214 Le 16/03/13 à 16h39» prépa a dit :
Franchement super explication, notre prof l'a utilisé sans l'introduire, et j'avoue qu'avec les BN tout s'éclaire bn_wink Merci !!
#5405 Le 23/09/13 à 14h20» azerty a dit :
Je suis un élève en première année mpsi et je voudrais d'autre exemple

Ajouter un commentaire



3+4 = ?


  BNcode  |   Module de Math

Ailleurs sur la Bnbox

Ailleurs sur la Toile

Mini-tchat

?

Weith bafouille : Vincent le pd Hier, 19h47 via Accueil

loganisa déclare : Iiiiiiibonju Le 22 mai, 3h25 via Résumé scène par scène - Le...

racaraca scribouille : Sait phasile a fère com operacion Le 22 mai, 3h24 via Résumé scène par scène - Le...

mae déclame : En quoi la fin de la pièce les fourberies de scapin correspond bien au gore de la comedie Le 20 mai, 19h19 via Littérature

bvbf dit : Dfdvdvvcv c dv Le 19 mai, 15h32 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

bvbf griffonne : Bxfxv vbcb Le 19 mai, 15h32 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

rimi bafouille : Moliere Le 17 mai, 16h40 via Résumé - Les Fourberies De ...

j'aime pas molière gribouille : Je suis forcé à malheuresement lire cette merde Le 14 mai, 14h41 via Résumé - Les Fourberies De ...

lucy écrit : Salut ce texte est pour ma mère, elle doit m'aider pour mon devoir... Le 14 mai, 13h37 via Texte intégral - Le Médecin...

lol scribouille : Mdr Le 14 mai, 11h38 via Résumé scène par scène - Le...

lol dit : Mdr Le 14 mai, 11h37 via Résumé scène par scène - Le...

jules tergiverse : ANNIVERSAIRE toi jules Le 12 mai, 16h09 via Résumé - Les Fourberies De ...

jules gribouille : A qui tu parle Le 12 mai, 16h09 via Résumé - Les Fourberies De ...

jules dit : -_- Le 12 mai, 15h14 via Résumé - Les Fourberies De ...

jules proclame : Salut Le 12 mai, 15h12 via Résumé - Les Fourberies De ...

j déclare : Slt Le 12 mai, 15h06 via Résumé - Les Fourberies De ...

ojzbd v s'exclame : Pourquoi ?? Le 12 mai, 8h28 via Accueil

micheloiseau écrit : 3+4=6 Le 11 mai, 21h42 via Résumé : Andromaque

waw j'aime le Cid murmure : Waw j'aime le Cid Le 11 mai, 3h57 via Résumé scène par scène - Le...

Lolo proclame : Cc moi j ai fait de la littérature Le 10 mai, 18h18 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

mimi2780 griffonne : 3+4=7 Le 08 mai, 12h42 via Résumé - Les Fourberies De ...

nite chuchote : Slt Le 08 mai, 10h03 via Résumé scène par scène - Le...

nite gribouille : Cc Le 08 mai, 10h02 via Résumé scène par scène - Le...

. bafouille : Cc Le 04 mai, 18h47 via Résumé : L'Avare

7877 écrit : Bonjour hey les gens j espere que tout le monde vaa bien est squezzie bisous bisous Le 04 mai, 8h34 via Des codes pour crypter ses ...

7877 écrit : 987987987 Le 04 mai, 8h33 via Des codes pour crypter ses ...

vivepoutine écrit : Keh Le 30 avril, 18h08 via Résumé : Le Tartuffe de Mol...

evapedersen écrit : Merci Le 30 avril, 18h07 via Résumé : Le Tartuffe de Mol...

Suga bafouille : Thanks Le 30 avril, 18h06 via Résumé : Le Tartuffe de Mol...

Minyoongi chuchote : ARMY Le 30 avril, 18h06 via Résumé : Le Tartuffe de Mol...

Tagada gribouille : Hello Le 30 avril, 18h05 via Résumé - Les Fourberies De ...

Tagada murmure : Trop chouette les résumés merci Le 30 avril, 17h54 via Résumé - Les Fourberies De ...

bilbert chuchote : Salut Le 28 avril, 11h38

bo2 le meilleur cod écrit : Les resumés sont géniaux cimer le site Le 27 avril, 17h57 via Résumé : L'Avare

Cafrd déclame : Super résumé merci bcp !! ?? Le 27 avril, 8h37 via Fiches sur les personnages ...

Cafrd scribouille : Prou Le 27 avril, 8h36 via Fiches sur les personnages ...

joa gribouille : Bonjour Le 26 avril, 21h04 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

luogamerpro dit : Bonjour Le 26 avril, 21h03 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

popo chuchote : P Le 26 avril, 19h58 via Résumé - Les Fourberies De ...

fhlzhlf écrit : Et Le 26 avril, 15h41 via Résumé - Les Fourberies De ...

Mignon murmure : Je suis un homme different des autres Le 26 avril, 15h35

fhlzhlf bafouille : Qui peut me raconter le résumer Le 26 avril, 15h28 via Résumé - Les Fourberies De ...

fhlzhlf déclare : Yo Le 26 avril, 15h28 via Résumé - Les Fourberies De ...

tony scribouille : Je me prenomme Cadman un homme different des autres Le 26 avril, 15h20

hamza écrit : Taboune mamak Le 25 avril, 20h09 via Résumé - Les Fourberies De ...

hamza tergiverse : Slm cv 3lick Le 25 avril, 20h08 via Résumé - Les Fourberies De ...

miserable murmure : Merci oxi Le 22 avril, 15h22 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

Oxilac scribouille : C'est une scéne theatrale Le 22 avril, 15h21 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

Miserable dit : Cc c'est quoi sont genre littéraire Le 22 avril, 15h18 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

lol tergiverse : Pieds Le 22 avril, 15h10 via Résumé : Andromaque

Publicité



©Bnbox (Infos) - Cahier de l'élèves - Atelier webmaster - Boîte à Nuts - Bar à Nougat - Plus ou moins valide XHTML 1.0, CSS 2, RSS 2.0
Flux RSS