La Bnbox !

Créateur de sourires...

Mon compte

S'inscrire

Recherche

Vous êtes ici : Accueil » Cahier de l'élève » Mathématiques » Le raisonnement par l'absurde

Cahier de l'élève



« Article précédent - Sommaire - Article suivant »

Mathématiques : Le raisonnement par l'absurde

Introduction et principe



Parlons maintenant un peu du raisonnement par l'absurde, belle méthode de raisonnement s'il en est !

C'est quoi encore ça ? Non mais pas question que j'apprenne quelque chose d'absurde !


Bon avant de commencer, une précision :  le raisonnement par l'absurde n'est pas absurde comme son nom l'indique. Il est même tout ce qu'il y a de plus logique.
Pour l'expliquer en des mots simples :
Vous savez que quelque chose est vrai. Mais vous ne savez pas trop comment le démontrer...
Eh bien ce n'est pas si compliqué que cela peut le paraître. Prenez ce quelque chose, et, même si vous savez qu'il est vrai, supposez qu'il est faux !

On sait que c'est vrai... Et tu nous dit de supposer que c'est faux... Où ça nous mène tout ça ?


J'y viens, j'y viens. En partant de la supposition que votre quelque chose est faux, et en développant un petit peu (ou beaucoup), au bout d'un moment, vous arriverez forcément à une contradiction, à quelque chose que vous savez être forcément faux.
Si vous obtenez une contradiction, cela veut dire que votre supposition de départ était fausse, et donc que votre quelque chose est vrai.
(Et oui, c'est logique, parce que si, en supposant que votre quelque chose était faux, vous n'aviez pas de contradiction et que vous arriviez à un résultat cohérent, cela voudrait dire... que votre quelque chose était bien faux.)

Si j'étais vous, je relirai plusieurs fois le paragraphe précédent, de manière à bien comprendre le principe du raisonnement. Même en essayant de faire le plus simple possible,j'ai bien peur que ce ne soit pas vraiment limpide à la première lecture bn_wink



Tout ça vous semble un peu embrouillé je pense. Mais avec quelques exemples et de la pratique, ça va venir.
D'ailleurs en parlant d'exemples, on va y passer tout de suite, mais avant ceux-ci, je vous rappelle comment raisonner par l'absurde, puisque c'est la formule consacrée bn_wink :


- Supposez que ce que vous voulez prouver est faux.
- Cherchez ce qui découle de votre supposition et développez vos calculs jusqu'à obtenir une absurdité.
- Concluez que votre supposition était fausse, et que ce que vous vouliez prouver est donc vrai.




Attention! Le raisonnement par l'absurde ne set que dans le cas où la phrase que vous devez prouver est soit vraie, soit fausse. Sinon, il faut procéder autrement bn_wink

Exemples



Le raisonnement par l'absurde sert à beaucoup de choses, dans plusieurs branches des mathématiques, comme vous allez le voir bn_wink.
J'ai essayé de rassembler plusieurs exemples assez simples, mais, comme vous allez le constater, le vocabulaire mathématique s'introduit partout, et il est possible que la compréhension de ce vocabulaire soit difficile. Pour tout comprendre, je vous conseille de relire plusieurs fois chaque exemple si besoin, voire même de recopier le raisonnement sur un bout de papier pour être sûrs de bien suivre (parce que comprendre des maths directement sur Internet, c'est impossible bn_wink).

Exemple 1 : Montrer qu'une fonction et sa réciproque ont le même sens de variation.


Petit rappel avant de commencer, sur ce qu'est une fonction réciproque.
Vous savez ce qu'est une fonction : c'est une machine qui prend des caillous dans une boîte, les transforme en bonbons, et les met dans une autre boîte.
Huh? Mais on a toujours travaillé avec des x, des y, etc...

Vous préférez les x et les y, eh bien soit... bn_big_smile
Donc une fonction prend des nombres x dans son ensemble de définition,  et les transforme en nombres y.

Une fonction réciproque, comme son nom l'indique, fait la même chose, mais à l'envers, c'est-à-dire qu'elle prend les y, et les retransforme en x (ou les bonbons en caillous). Vous connaissez certainement la touche \sin^{-1} de votre calculatrice? Eh bien, cette touche est en fait une fonction utilisée par la calculatrice pour donner, à partir de la valeur du sinus, la valeur de l'angle. C'est la fonction réciproque du sinus.

Attention! Toutes les fonctions n'ont pas de réciproques. Pour adettre une réciproque, une fonction doit vérifier plusieurs conditions que je ne développerait pas ici, puisque ça n'a que peu d'intérêt dans ce cours^^. Ah oui au fait, une fonction réciproque de la fonction f se note f^{-1}


Je vous ai fait un petit schéma avec des "patates" pour que vous compreniez bien la notion de fonction réciproque, et ensuite on pourra s'enfoncer dans le raisonnement proprement dit bn_wink.

http://la-bnbox.info/document/cahier/146_fonction.png


Comprenez bien ce schéma, et regardez-le souvent, puisque c'est lui qui vas servir à notre raisonnement.



-On veut montrer que f et sa fonction réciproque f^{-1}, ont le même sens de variation. On va se limiter ici à un exemple avec f strictement croissante sur l'intervalle I. La démonstration pour f strictement décroissante est exactement la même, ou presque bn_wink.

-On suppose donc f strictement croissante sur l'intervalle I.
-Prenons au hasard deux nombres dans l'intervalle J (qui contient toutes les images des éléments de I par la fonction f). Nommons les a et b, avec par exemple a<b.
-Posons x=f^{-1}(a) et x`=f^{-1}(b).

-Commençons enfin la partie "absurde". On veut prouver que f^{-1} est une fonction strictement croissante, c'est-à-dire, puisque a<b, x<x`.

(x et x' sont les images de a et b par la fonction f^{-1}, donc si a et b sont rangés dans un certain ordre et que la fonction est croissante, les images seront forcément rangées dans le même ordre)

Raisonnons par l'absurde en supposant que l'on a x \geq x`.

Dans ce cas, puisque la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle I, on a f(x) \geq f(x`), soit encore a \geq b.
Et la contradiction apparaît tout de suite, puisqu'on avait supposé a<b.

On a donc forcément x \geq x`, soit f^{-1}(a) \geq f^{-1}(b).

Conclusion : f^{-1} est strictement croissante sur l'intervalle J. CQFD bn_wink




Exemple 2 : Montrer que \sqrt 2 est un nombre irrationnel.


Voilà l'énoncé que l'on peut vous donner tout de go, comme ça, au début d'un problème d'algèbre. Et il se peut que vous restiez longtemps bloqués puisque vu comme ça, le problème paraît insolvable (enfin moi je sais que je resterai facilement bloqué dessus si je ne savais pas comment faire mini_bn).

Comme vous vous en doutez, c'est là qu'intervient le raisonnement par l'absurde. Et c'est ce raisonnement qui vous débloquera et vous permettra de réussir la question et d'avoir votre bac, votre place dans votre école d'ingénieur, ou que sais-je encore bn_wink.



- Reprenons donc la première étape du raisonnement : supposons que ce que l'on veut montrer est faux, c'est-à-dire supposons que \sqrt2 est un nombre rationnel, ou encore \sqrt2 \in \mathbb{Q}.

- A partir de là, puisqu'une racine carrée est toujours positive, et que \sqrt2 est rationnel, on sait qu'on peut l'écrire sous la forme d'une fraction irréductible de deux entiers positifs (je vous renvoie à la définition de l'ensemble des rationnels si vous avez un doute là-dessus bn_wink).
On appellera ces entiers p et q par la suite. (On ne les connait pas, mais on sait qu'ils existent puisque \sqrt2 \in \mathbb{Q}.)

- On a donc \sqrt2 = \frac{p}{q}.
En mettant les deux membres de l'égalité au carré, on obtient : 2 = (\frac{p}{q})^{2}.
Si on effectue maintenant le produit en croix, on trouve : 2q^{2}=p^{2}.
Ceci nous prouve que p^{2} est un multiple de 2, donc que p^{2} est un nombre pair.
Pour l'instant, on n'a aucune contradiction mathématique, donc on continue bn_wink.

- La prochaine étape consiste en un raisonnement par l'absurde imbriqué dans le précédent.
En effet, si on avait le nombre p qui était impair, alors il existerait un nombre k, entier naturel (k \in \mathbb{N}), tel que : p=2k+1.
Ce qui nous donnerait : p^{2}=4k^{2}+4k+1. p^{2} serait donc un nombre impair, ce qui est contredit par ce que l'on a vu juste précédemment, qui disait que p^{2} était pair.
Si p ne peux pas être impair, alors c'est que p est forcément pair.

- Puisque p est pair, c'est qu'il existe un nombre entier naturel n tel que l'on ait p=2n.
Mais rappelez-vous, on avait l'égalité suivante : 2q^{2}=p^{2}.
Si on remplace p par 2n, on obtient : 2q^{2}=4n^{2}.
Soit encore : q^{2}=2n^{2}.
On en déduit que q^{2} est pair, et donc q aussi (en suivant le même petit raisonnement que précédemment pour p).

- p et q sont donc tous les deux pairs. Or ceci est en contradiction avec l'hypothèse faite au début : on peut écrire \sqrt2 sous la forme d'une fraction irréductible de deux entiers positifs.
p et q sont tous deux pairs, donc multiples de 2, donc  \frac{p}{q} n'est pas une fraction irréductible.


-L'hypothèse faite au début nous mène à une contradiction mathématique.
Ceci nous prouve que cette hypothèse est fausse.
Et donc celà nous prouve bien que \sqrt2 \not\in \mathbb{Q}, que \sqrt2 n'est pas un nombre rationnel.
CQFD bn_wink.




Je ne met ici que deux exemples, pour vous donner une petite idée de l'utilisation du raisonnement par l'absurde.
Sachez qu'il sert à démontrer beaucoup de théorêmes, notamment concernant les suites et les fonctions.
Si vous voulez d'autres exemples (plus compliqués), je reste à votre disposition sur le Bar à Nougat.
Au revoir et à bientôt dans le monde merveilleux des maths bn_wink.






         
                           

Commentaires

#893 Le 20/03/07 à 14h39» mama a dit :
Génial merci grace a toi g tout compris
#3411 Le 4/10/08 à 14h49» SaraSara a dit :
Super! c'est très bien expliqué! mais je n'arrive pas à savoir ce qu'il faudrait faire pour :   Démontrer par un raisonnement par l'absurde que Si y est un nombre rationnel alors /sqrt2(racine de 2 ) + y est un nombre irrationnel. Merciii de me répondree dans les plus bref délais j'ai pas envie de me craquer a mo interro lundi ..bn_hmm
#3412 Le 4/10/08 à 14h51» Sara a dit :
Je laiisse mon adresse mail : ouarti.s@orange.fr
#3413 Le 4/10/08 à 14h52» Sara a dit :
Merci d'avance bn_wink
#3414 Le 5/10/08 à 18h33» DarKnight a dit :
Le point de départ serait de supposer que racine 2+y est rationnel et d'arriver à une conclusion du type : donc y est irrationnel, donc c'est impossible. Mais je ne vois pas les étapes intermédiaires.
#4825 Le 17/01/12 à 01h13» juni-x juni-x a dit :
Je suis très ému je ne sais même pas quoi dire tellement je n'ai jamais assisté à une explication pareille. eh! mon Dieu si je pourrais avoir de telles explications pendant mes cours de maths je serais le génie de la planète terre .
mais comment faire? puis-je avoir une aide?
#5051 Le 16/10/12 à 16h00» jean marc a dit :
Merci beaucoup cela me sera utile lors des intero
#5052 Le 16/10/12 à 16h03» jean marc a dit :
Mai qui a cree se genre de chose la mem
#5075 Le 14/11/12 à 19h43» ammy a dit :
Génial! explication top! merci!
#5179 Le 6/03/13 à 12h16» hfrtcjgv a dit :
Merci beaucoup pour tes explications j'ai tout compris mini_bn

Ajouter un commentaire



3+4 = ?


  BNcode  |   Module de Math

Ailleurs sur la Bnbox

Ailleurs sur la Toile

Mini-tchat

?

Kia murmure : Http://volfernion.ru/ Le 12 août, 1h28 via Informations juridiques imp...

Felix proclame : Http://Hobbycity.Com.co/index.php/foro/user/37791-umihe Le 10 août, 0h44 via Informations juridiques imp...

Bridgett dit : Buy General Health Medications Online
Buy Cheap Advent® Injection Drugs Online
Buy Cheap Himalaya® Gentle Baby Soap Drugs Online
Buy Cheap Cefoprox® DT Drugs Online
Buy Cheap Viagra Oral Jelly Drugs Online
Buy Cheap Zenegra® Lido Spray Drugs Online
Buy Eye Care Medications Online
Buy Cheap Nizoral Drugs Online
Buy Cheap Flonase Drugs Online
Buy Cheap Clincitop® Gel Drugs Online
Buy Cheap NuvaRing® Drugs Online
Buy Cheap Duralast® Drugs Online
Buy Cheap Timolast® Gel Forming Eye Drops Drugs Online
Buy Cheap Rustic Art® Organic Aloe Vera Papaya Gel
Drugs Online
Buy Cheap Toxo-Mox® Drugs Online
Le 09 août, 1h38

Trinidad chuchote : Buy Cheap Quixin Ophthalmic Solution Drugs Online
Buy Cheap Zerofat-A Drugs Online
Buy Cheap Viagra Super Active Drugs Online
Buy Cheap Combigan® Eye Drops Drugs Online
Buy Cheap Nutrolin-B® Syrup Drugs Online
Buy Cheap Flucort® Skin Cream Drugs Online
Buy Cheap Vermox Drugs Online
Buy Cheap Dutagen® Drugs Online
Buy Cheap Janya Drugs Online
Buy Cheap Cipro Drugs Online
Buy Cheap Aquamet® Nasal Spray Drugs Online
Buy Cheap V-Gel Drugs Online
Buy Cheap Ovral L® Drugs Online
Buy Cheap Classic Discount Pack Drugs Online
Buy Cheap Abilify Drugs Online
Le 08 août, 23h56

Jessika gribouille : Buy Cheap Minirin® Nasal Spray Drugs Online
Buy Cheap Rustic Art® Natural Little Laundry Powder Drugs Online
Buy Cheap Aquamet® Nasal Spray Drugs Online
Buy Anticoagulants & Antiplatelets Medications Online
Buy Cheap Clarina® Anti-Acne Face Wash Gel Drugs Online
Buy Cheap Rebetol Drugs Online
Buy Cheap Campicillin® Injection Drugs Online
Buy Cheap Xenical® Drugs Online
Buy Cheap ED Advanced Pack Drugs Online
Buy Cheap Rocephin Injection Drugs Online
Buy Cheap Ayush Herbs® Haldi Immunity Enhancer Drugs Online
Buy Cheap Tenvir-EM® Drugs Online
Buy Cheap Prilosec Drugs Online
Buy Cheap Janya Drugs Online
Buy Cheap Azee® DT Drugs Online
Le 08 août, 13h37

Claribel scribouille : Buy Cheap Tadacip® Drugs Online
Buy Cheap Cymbalta Drugs Online
Buy Cheap Vigora® Drugs Online
Buy Cheap Finalo® Drugs Online
Buy Cheap Levitra Drugs Online
Buy Cheap Avapro Drugs Online
Buy Cheap Hot Shot® Multi Texture Condoms Drugs Online
Buy Cheap Organic India® Tulsi Green Tea Drugs Online
Buy Cheap Kohinoor® Pink Condoms Drugs Online
Buy Cheap Clindac-A® Gel Drugs Online
Buy Cheap Proscar® Drugs Online
Buy Cheap Manforce® Wild Condoms 3 in 1 Strawberry Drugs
Online
Buy Cheap Himalaya® Soothing Body Butter Rose Drugs Online
Buy Cheap Amaryl Drugs Online
Buy Cheap FML® Liquifilm Drugs Online
Le 08 août, 11h58

Wendy scribouille : Https://TammieBad.blogspot.com Le 01 août, 3h53 via Informations juridiques imp...

Walker écrit : Casino online
kasino
casino slots
casinos online
casinos online
Le 25 juillet, 13h34

lilix dit : Qskfdertuku'"éazsdftyuik,ngfd Le 20 juillet, 18h33 via Accueil

lilix s'exclame : Qskfdertuku'"éazsdftyuik,ngfd Le 20 juillet, 18h33 via Accueil

lilix chuchote : Qskfdertuku'"éazsdftyuik,ngfd Le 20 juillet, 18h33 via Accueil

Reagan gribouille : Http://makepenisbigger.info Le 17 juillet, 9h42 via Informations juridiques imp...

petitchat gribouille : Facile Le 20 juin, 13h06 via Unités SI, conversion des m...

College Charles Péguy dit : J'etudie cette piece de théatre avec mess 6eme de beauvoir Le 11 juin, 21h45 via Résumé - Les Fourberies De ...

cc déclare : Cc Le 04 juin, 17h59 via Résumé scène par scène - Le...

Marius Okoko déclame : J'aime L'histoire. Le 31 mai, 16h23 via Utiliser le module Math de ...

kk écrit : 0. Le 30 mai, 16h15 via Résumé du livre : Le Cid de...

JUIELJD E griffonne : KDOEKNCZF£2 Le 30 mai, 14h56 via Résumé scène par scène - Le...

Tamagochi chuchote : -.../---/-./.---/---/..-/.-. Le 29 mai, 14h45 via Apprendre le Morse

lea83 écrit : Jihohio bafouille t'as deux ans d'age mentale ou quoi mdrr Le 27 mai, 15h36 via Résumé du livre : Le Cid de...

lea83 déclame : Cc Le 27 mai, 15h35 via Résumé du livre : Le Cid de...

Jacky chuchote : WSH SAHRTEK LES BABEKS Le 25 mai, 10h16 via Résumé scène par scène - Le...

Jacky gribouille : Ongles, manucure Le 25 mai, 10h16 via Résumé scène par scène - Le...

mimilechat dit : 4+3=7 Le 23 mai, 13h01 via Résumé - Les Fourberies De ...

céline murmure : 3+4=7 Le 20 mai, 15h08 via Résumé - Les Fourberies De ...

expert des bouquins murmure : Jene Le 17 mai, 11h34 via Résumé scène par scène - Le...

le Mathématicien de l'extreme déclare : A Le 17 mai, 11h33 via Résumé scène par scène - Le...

le Mathématicien de l'extreme bafouille : A Le 17 mai, 11h33 via Résumé scène par scène - Le...

le Mathématicien de l'extreme déclame : A Le 17 mai, 11h33 via Résumé scène par scène - Le...

le Mathématicien de l'extreme chuchote : A
a
a
a
a
a
Le 17 mai, 11h33 via Résumé scène par scène - Le...

le Mathématicien de l'extreme scribouille : Je pense que la question etait d'une facilité extreme Le 17 mai, 11h32 via Résumé scène par scène - Le...

totor écrit : Bonjour. Le 15 mai, 21h17 via Résumé scène par scène - Le...

Bnmaster gribouille : @Geek Salut. Merci pour tes remarques. N'hésite pas à préciser si tu vois des manques dans les résumés. Je peux les modifier bn_wink Le 14 mai, 9h06 via Résumé du livre : Le Cid de...

la chevre normande murmure : D Le 13 mai, 15h43 via Résumé scène par scène - Le...

la chevre normande proclame : D Le 13 mai, 15h43 via Résumé scène par scène - Le...

la chevre normande proclame : D Le 13 mai, 15h43 via Résumé scène par scène - Le...

la chevre normande s'exclame : D Le 13 mai, 15h43 via Résumé scène par scène - Le...

la chevre normande s'exclame : D Le 13 mai, 15h43 via Résumé scène par scène - Le...

la chevre normande proclame : D Le 13 mai, 15h43 via Résumé scène par scène - Le...

la chevre normande s'exclame : D Le 13 mai, 15h43 via Résumé scène par scène - Le...

la chevre normande s'exclame : D Le 13 mai, 15h43 via Résumé scène par scène - Le...

la chevre normande proclame : D Le 13 mai, 15h43 via Résumé scène par scène - Le...

la chevre normande dit : D Le 13 mai, 15h43 via Résumé scène par scène - Le...

la chevre normande s'exclame : D Le 13 mai, 15h43 via Résumé scène par scène - Le...

la chevre normande griffonne : D Le 13 mai, 15h43 via Résumé scène par scène - Le...

la chevre normande déclame : D Le 13 mai, 15h42 via Résumé scène par scène - Le...

la chevre normande déclare : D Le 13 mai, 15h42 via Résumé scène par scène - Le...

la chevre normande dit : D Le 13 mai, 15h42 via Résumé scène par scène - Le...

la chevre normande griffonne : H Le 13 mai, 15h42 via Résumé scène par scène - Le...

la chevre normande dit : K Le 13 mai, 15h42 via Résumé scène par scène - Le...

Publicité



©Bnbox (Infos) - Cahier de l'élèves - Atelier webmaster - Boîte à Nuts - Bar à Nougat - Plus ou moins valide XHTML 1.0, CSS 2, RSS 2.0
Flux RSS