La Bnbox !

Créateur de sourires...

Mon compte

S'inscrire

Recherche

Vous êtes ici : Accueil » Cahier de l'élève » Mathématiques » Le raisonnement par l'absurde

Cahier de l'élève



« Article précédent - Sommaire - Article suivant »

Mathématiques : Le raisonnement par l'absurde

Introduction et principe



Parlons maintenant un peu du raisonnement par l'absurde, belle méthode de raisonnement s'il en est !

C'est quoi encore ça ? Non mais pas question que j'apprenne quelque chose d'absurde !


Bon avant de commencer, une précision :  le raisonnement par l'absurde n'est pas absurde comme son nom l'indique. Il est même tout ce qu'il y a de plus logique.
Pour l'expliquer en des mots simples :
Vous savez que quelque chose est vrai. Mais vous ne savez pas trop comment le démontrer...
Eh bien ce n'est pas si compliqué que cela peut le paraître. Prenez ce quelque chose, et, même si vous savez qu'il est vrai, supposez qu'il est faux !

On sait que c'est vrai... Et tu nous dit de supposer que c'est faux... Où ça nous mène tout ça ?


J'y viens, j'y viens. En partant de la supposition que votre quelque chose est faux, et en développant un petit peu (ou beaucoup), au bout d'un moment, vous arriverez forcément à une contradiction, à quelque chose que vous savez être forcément faux.
Si vous obtenez une contradiction, cela veut dire que votre supposition de départ était fausse, et donc que votre quelque chose est vrai.
(Et oui, c'est logique, parce que si, en supposant que votre quelque chose était faux, vous n'aviez pas de contradiction et que vous arriviez à un résultat cohérent, cela voudrait dire... que votre quelque chose était bien faux.)

Si j'étais vous, je relirai plusieurs fois le paragraphe précédent, de manière à bien comprendre le principe du raisonnement. Même en essayant de faire le plus simple possible,j'ai bien peur que ce ne soit pas vraiment limpide à la première lecture bn_wink



Tout ça vous semble un peu embrouillé je pense. Mais avec quelques exemples et de la pratique, ça va venir.
D'ailleurs en parlant d'exemples, on va y passer tout de suite, mais avant ceux-ci, je vous rappelle comment raisonner par l'absurde, puisque c'est la formule consacrée bn_wink :


- Supposez que ce que vous voulez prouver est faux.
- Cherchez ce qui découle de votre supposition et développez vos calculs jusqu'à obtenir une absurdité.
- Concluez que votre supposition était fausse, et que ce que vous vouliez prouver est donc vrai.




Attention! Le raisonnement par l'absurde ne set que dans le cas où la phrase que vous devez prouver est soit vraie, soit fausse. Sinon, il faut procéder autrement bn_wink

Exemples



Le raisonnement par l'absurde sert à beaucoup de choses, dans plusieurs branches des mathématiques, comme vous allez le voir bn_wink.
J'ai essayé de rassembler plusieurs exemples assez simples, mais, comme vous allez le constater, le vocabulaire mathématique s'introduit partout, et il est possible que la compréhension de ce vocabulaire soit difficile. Pour tout comprendre, je vous conseille de relire plusieurs fois chaque exemple si besoin, voire même de recopier le raisonnement sur un bout de papier pour être sûrs de bien suivre (parce que comprendre des maths directement sur Internet, c'est impossible bn_wink).

Exemple 1 : Montrer qu'une fonction et sa réciproque ont le même sens de variation.


Petit rappel avant de commencer, sur ce qu'est une fonction réciproque.
Vous savez ce qu'est une fonction : c'est une machine qui prend des caillous dans une boîte, les transforme en bonbons, et les met dans une autre boîte.
Huh? Mais on a toujours travaillé avec des x, des y, etc...

Vous préférez les x et les y, eh bien soit... bn_big_smile
Donc une fonction prend des nombres x dans son ensemble de définition,  et les transforme en nombres y.

Une fonction réciproque, comme son nom l'indique, fait la même chose, mais à l'envers, c'est-à-dire qu'elle prend les y, et les retransforme en x (ou les bonbons en caillous). Vous connaissez certainement la touche \sin^{-1} de votre calculatrice? Eh bien, cette touche est en fait une fonction utilisée par la calculatrice pour donner, à partir de la valeur du sinus, la valeur de l'angle. C'est la fonction réciproque du sinus.

Attention! Toutes les fonctions n'ont pas de réciproques. Pour adettre une réciproque, une fonction doit vérifier plusieurs conditions que je ne développerait pas ici, puisque ça n'a que peu d'intérêt dans ce cours^^. Ah oui au fait, une fonction réciproque de la fonction f se note f^{-1}


Je vous ai fait un petit schéma avec des "patates" pour que vous compreniez bien la notion de fonction réciproque, et ensuite on pourra s'enfoncer dans le raisonnement proprement dit bn_wink.

http://la-bnbox.info/document/cahier/146_fonction.png


Comprenez bien ce schéma, et regardez-le souvent, puisque c'est lui qui vas servir à notre raisonnement.



-On veut montrer que f et sa fonction réciproque f^{-1}, ont le même sens de variation. On va se limiter ici à un exemple avec f strictement croissante sur l'intervalle I. La démonstration pour f strictement décroissante est exactement la même, ou presque bn_wink.

-On suppose donc f strictement croissante sur l'intervalle I.
-Prenons au hasard deux nombres dans l'intervalle J (qui contient toutes les images des éléments de I par la fonction f). Nommons les a et b, avec par exemple a<b.
-Posons x=f^{-1}(a) et x`=f^{-1}(b).

-Commençons enfin la partie "absurde". On veut prouver que f^{-1} est une fonction strictement croissante, c'est-à-dire, puisque a<b, x<x`.

(x et x' sont les images de a et b par la fonction f^{-1}, donc si a et b sont rangés dans un certain ordre et que la fonction est croissante, les images seront forcément rangées dans le même ordre)

Raisonnons par l'absurde en supposant que l'on a x \geq x`.

Dans ce cas, puisque la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle I, on a f(x) \geq f(x`), soit encore a \geq b.
Et la contradiction apparaît tout de suite, puisqu'on avait supposé a<b.

On a donc forcément x \geq x`, soit f^{-1}(a) \geq f^{-1}(b).

Conclusion : f^{-1} est strictement croissante sur l'intervalle J. CQFD bn_wink




Exemple 2 : Montrer que \sqrt 2 est un nombre irrationnel.


Voilà l'énoncé que l'on peut vous donner tout de go, comme ça, au début d'un problème d'algèbre. Et il se peut que vous restiez longtemps bloqués puisque vu comme ça, le problème paraît insolvable (enfin moi je sais que je resterai facilement bloqué dessus si je ne savais pas comment faire mini_bn).

Comme vous vous en doutez, c'est là qu'intervient le raisonnement par l'absurde. Et c'est ce raisonnement qui vous débloquera et vous permettra de réussir la question et d'avoir votre bac, votre place dans votre école d'ingénieur, ou que sais-je encore bn_wink.



- Reprenons donc la première étape du raisonnement : supposons que ce que l'on veut montrer est faux, c'est-à-dire supposons que \sqrt2 est un nombre rationnel, ou encore \sqrt2 \in \mathbb{Q}.

- A partir de là, puisqu'une racine carrée est toujours positive, et que \sqrt2 est rationnel, on sait qu'on peut l'écrire sous la forme d'une fraction irréductible de deux entiers positifs (je vous renvoie à la définition de l'ensemble des rationnels si vous avez un doute là-dessus bn_wink).
On appellera ces entiers p et q par la suite. (On ne les connait pas, mais on sait qu'ils existent puisque \sqrt2 \in \mathbb{Q}.)

- On a donc \sqrt2 = \frac{p}{q}.
En mettant les deux membres de l'égalité au carré, on obtient : 2 = (\frac{p}{q})^{2}.
Si on effectue maintenant le produit en croix, on trouve : 2q^{2}=p^{2}.
Ceci nous prouve que p^{2} est un multiple de 2, donc que p^{2} est un nombre pair.
Pour l'instant, on n'a aucune contradiction mathématique, donc on continue bn_wink.

- La prochaine étape consiste en un raisonnement par l'absurde imbriqué dans le précédent.
En effet, si on avait le nombre p qui était impair, alors il existerait un nombre k, entier naturel (k \in \mathbb{N}), tel que : p=2k+1.
Ce qui nous donnerait : p^{2}=4k^{2}+4k+1. p^{2} serait donc un nombre impair, ce qui est contredit par ce que l'on a vu juste précédemment, qui disait que p^{2} était pair.
Si p ne peux pas être impair, alors c'est que p est forcément pair.

- Puisque p est pair, c'est qu'il existe un nombre entier naturel n tel que l'on ait p=2n.
Mais rappelez-vous, on avait l'égalité suivante : 2q^{2}=p^{2}.
Si on remplace p par 2n, on obtient : 2q^{2}=4n^{2}.
Soit encore : q^{2}=2n^{2}.
On en déduit que q^{2} est pair, et donc q aussi (en suivant le même petit raisonnement que précédemment pour p).

- p et q sont donc tous les deux pairs. Or ceci est en contradiction avec l'hypothèse faite au début : on peut écrire \sqrt2 sous la forme d'une fraction irréductible de deux entiers positifs.
p et q sont tous deux pairs, donc multiples de 2, donc  \frac{p}{q} n'est pas une fraction irréductible.


-L'hypothèse faite au début nous mène à une contradiction mathématique.
Ceci nous prouve que cette hypothèse est fausse.
Et donc celà nous prouve bien que \sqrt2 \not\in \mathbb{Q}, que \sqrt2 n'est pas un nombre rationnel.
CQFD bn_wink.




Je ne met ici que deux exemples, pour vous donner une petite idée de l'utilisation du raisonnement par l'absurde.
Sachez qu'il sert à démontrer beaucoup de théorêmes, notamment concernant les suites et les fonctions.
Si vous voulez d'autres exemples (plus compliqués), je reste à votre disposition sur le Bar à Nougat.
Au revoir et à bientôt dans le monde merveilleux des maths bn_wink.






         
                           

Commentaires

#893 Le 20/03/07 à 14h39» mama a dit :
Génial merci grace a toi g tout compris
#3411 Le 4/10/08 à 14h49» SaraSara a dit :
Super! c'est très bien expliqué! mais je n'arrive pas à savoir ce qu'il faudrait faire pour :   Démontrer par un raisonnement par l'absurde que Si y est un nombre rationnel alors /sqrt2(racine de 2 ) + y est un nombre irrationnel. Merciii de me répondree dans les plus bref délais j'ai pas envie de me craquer a mo interro lundi ..bn_hmm
#3412 Le 4/10/08 à 14h51» Sara a dit :
Je laiisse mon adresse mail : ouarti.s@orange.fr
#3413 Le 4/10/08 à 14h52» Sara a dit :
Merci d'avance bn_wink
#3414 Le 5/10/08 à 18h33» DarKnight a dit :
Le point de départ serait de supposer que racine 2+y est rationnel et d'arriver à une conclusion du type : donc y est irrationnel, donc c'est impossible. Mais je ne vois pas les étapes intermédiaires.
#4825 Le 17/01/12 à 01h13» juni-x juni-x a dit :
Je suis très ému je ne sais même pas quoi dire tellement je n'ai jamais assisté à une explication pareille. eh! mon Dieu si je pourrais avoir de telles explications pendant mes cours de maths je serais le génie de la planète terre .
mais comment faire? puis-je avoir une aide?
#5051 Le 16/10/12 à 16h00» jean marc a dit :
Merci beaucoup cela me sera utile lors des intero
#5052 Le 16/10/12 à 16h03» jean marc a dit :
Mai qui a cree se genre de chose la mem
#5075 Le 14/11/12 à 19h43» ammy a dit :
Génial! explication top! merci!
#5179 Le 6/03/13 à 12h16» hfrtcjgv a dit :
Merci beaucoup pour tes explications j'ai tout compris mini_bn

Ajouter un commentaire



3+4 = ?


  BNcode  |   Module de Math

Ailleurs sur la Bnbox

Ailleurs sur la Toile

Mini-tchat

?

qsdfghjklm* chuchote : Resume du livre naissance du fa Aujourd'hui, 17h43 via Recherche

yo proclame : Yo yo Le 17 février, 20h54 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

eva scribouille : Qu el qu un a un resume sur le voyage de mr perrichon ? Le 11 février, 18h38 via Fiches sur les personnages ...

evalol déclare : 1a2z Le 11 février, 18h36 via Résumé - Les Fourberies De ...

sysy s'exclame : Quelqun a un resume des evenements importants ds bel ami? Le 11 février, 1h38 via Fiches sur les personnages ...

jojolerigolo tergiverse : Qui est a Léon Blum Le 10 février, 18h00 via Politique d'accessibilité

tom s'exclame : Bonjour Le 09 février, 13h39 via Résumé scène par scène - Le...

dams chuchote : Et dams lithopedion Le 02 février, 11h08 via Résumé scène par scène - Le...

dams écrit : Qui et votre rapeure prefere ou chanteure moi DAMSO DAMSO DAMSO DAMSO DAMSO c'est cqfd !! Le 02 février, 11h07 via Résumé scène par scène - Le...

dams dit : Bonjour Le 02 février, 11h05 via Résumé scène par scène - Le...

dams déclame : Elle et bien mais c'est notre prof de francais quoi qui nous demande de la faire Le 02 février, 11h05 via Résumé scène par scène - Le...

Laura.lly gribouille : BONJOUR Le 01 février, 21h00 via Résumé scène par scène - Le...

juliaaaaaa griffonne : HEYYYY!!Vous allez bien? Le 31 janvier, 18h47 via Résumé scène par scène - Le...

maelys griffonne : Le cid en soit n est pas si mal c'est juste qu il est compliqué a comprendre j ai un oral a faire devant toute ma classe et j ai a peux pres compris Le 31 janvier, 16h11 via Résumé scène par scène - Le...

leane écrit : Et le je travail sur le cid je comprend rien sa me soule Le 30 janvier, 14h51 via Résumé scène par scène - Le...

leane dit : Moi jai fait les fourberie de scapin lannee derniere quand jetais en 5eme Le 30 janvier, 14h51 via Résumé scène par scène - Le...

Charlienette déclare : Nan .. je hurle la Le 30 janvier, 9h58 via Résumé - Les Fourberies De ...

Charlienette chuchote : Je murmure pas ! Le 30 janvier, 9h58 via Résumé - Les Fourberies De ...

Charlienette murmure : JE l'ai demain Le 30 janvier, 9h58 via Résumé - Les Fourberies De ...

Charlienette griffonne : Vous avez déjà fait un cibtrole sur les fourberies de scapin acte 2 ? Le 30 janvier, 9h58 via Résumé - Les Fourberies De ...

Charlienette déclame : Coucou Le 30 janvier, 9h57 via Résumé - Les Fourberies De ...

lkjhgfds chuchote : Coucou Le 28 janvier, 20h43 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

kikoudu73 écrit : Octogone Le 28 janvier, 14h30 via Fiches sur les personnages ...

kikoudu73 tergiverse : Avec ta region perdue Le 28 janvier, 14h29 via Fiches sur les personnages ...

bobby dit : Mairci bocou se cour de francé ma biain édé.2 + javé pa lu le livreu Le 28 janvier, 13h12 via Fiches sur les personnages ...

hghyfrfde scribouille : Lkjugtrdf Le 27 janvier, 12h16 via Résumé - Les Fourberies De ...

youyou déclare : Champs requis Le 06 janvier, 20h33 via Français

Samantha déclare : C'est tres simple Le 06 janvier, 17h51 via Résumé scène par scène - Le...

Samantha dit : CC Le 06 janvier, 17h51 via Résumé scène par scène - Le...

bande de ouff déclare : Ou vous étè vivant Le 06 janvier, 16h38 via Résumé : Le Tartuffe de Mol...

bande de ouff chuchote : Yo bande de ouff Le 06 janvier, 16h35 via Résumé : Le Tartuffe de Mol...

LE BG griffonne : HELLO MA MAN Le 04 janvier, 7h18 via Résumé scène par scène - Le...

. gribouille : ; Le 02 janvier, 19h37 via Résumé : Le Mariage de Figa...

loo griffonne : Looo Le 02 janvier, 19h18 via Les avantages et les risque...

aaaaa murmure : Cacas Le 02 janvier, 13h25 via Les avantages et les risque...

lu proclame : Que tal? Le 01 janvier, 17h06 via Les avantages et les risque...

lu écrit : Hey Le 01 janvier, 17h06 via Les avantages et les risque...

ribou proclame : Coucou Le 30 décembre 2018, 11h52 via Fiches sur les personnages ...

aziz proclame : Toutoutoutou Le 28 décembre 2018, 15h30 via Comment fonctionne le mini-...

aziz chuchote : Waw made in china Le 28 décembre 2018, 15h29 via Comment fonctionne le mini-...

aziz murmure : Je suis hiybjgujh Le 28 décembre 2018, 15h29 via Résumé - La Chèvre De M. Se...

Moi s'exclame : Nb k Le 18 décembre 2018, 23h12 via Résumé scène par scène - Le...

yuiooyo tergiverse : Jouon ensemble Le 17 décembre 2018, 21h19 via Résumé scène par scène - Le...

Tom déclare : Ça va Le 17 décembre 2018, 10h25 via Résumé - Les Fourberies De ...

Carla proclame : Caca Le 17 décembre 2018, 10h22 via Résumé - Les Fourberies De ...

Moi écrit : Génial ? Le 17 décembre 2018, 10h21 via Résumé - Les Fourberies De ...

yi déclare : Ipmuo Le 16 décembre 2018, 17h45 via Résumé scène par scène - Le...

Moi chuchote : Bvvgvv Le 16 décembre 2018, 15h22 via Résumé scène par scène - Le...

Moi tergiverse : Bbcgd Le 16 décembre 2018, 15h22 via Résumé scène par scène - Le...

)à)ào$ bafouille : Jiojiij Le 16 décembre 2018, 13h22 via Résumé scène par scène - Le...

Publicité



©Bnbox (Infos) - Cahier de l'élèves - Atelier webmaster - Boîte à Nuts - Bar à Nougat - Plus ou moins valide XHTML 1.0, CSS 2, RSS 2.0
Flux RSS