La Bnbox !

Créateur de sourires...

Mon compte

S'inscrire

Recherche

Vous êtes ici : Accueil » Cahier de l'élève » Mathématiques » Math : Nombres Complexes - PCSI

Cahier de l'élève



« Article précédent - Sommaire - Article suivant »

Mathématiques : Math : Nombres Complexes - PCSI

Vous pouvez télécharger ce cours en entier. (scan des pages du cours) Télécharger ce cours.

Corps \mathbb{C} des nombres complexes

1) Rappels : Opérations dans \mathbb{C}

Il arrive qu'une équation n'est pas de solutions dans un ensemble donné. (par exemple : x\,+\,3\,=\,5 n'a pas de solutions dans \mathbb{N} d'où la création de l'ensemble \mathbb{Z}. D'où l'existence d'un ensemble \mathbb{C})
a) On admet qu'il existe un ensemble de nombres appelés : nombres imaginaires noté \mathbb{C} tel que :
\forall z\in\mathbb{C} \,\, \exists ! (x;y) \in \mathbb{R}^2 \,\, z=x+iy
Partie réel : \mathcal{R}e_z=x
Partie imaginaire : \mathcal{I}m_z=x
Avec i^2=-1\,
b) \mathbb{C} est muni de 2 opérations (loin de composition interne) l'addition et la soustraction.
L'addition est commutative, associative, possède un symétrique, et \mathbb{C} possède un élément neutre pour l'addition. (CANS) De plus, la multiplication est associative, distributive, possède un symétrique et \mathbb{C} possède un élement neutre pour l'addition.
Ainsi (\mathbb{C},\,+,\,\times) est un corps. (commutatif car la multiplication est commutative.)

c) Conjugaison
\bar{z}=\mathcal{R}e-i\mathcal{I}m\,\,n\in\mathbb{R}
On a donc comme propriété :
  • \bar{z+z_1}=\bar{z}+\bar{z_1}
  • \bar{zz_1}=\bar{z}\times\bar{z_1}
  • \bar{\bar{z}}=z
  • \bar{z^n}=\bar{z}^n
  • z+\bar{z}=2\mathcal{R}e_z
  • z-\bar{z}=2i\mathcal{I}m_z

1) Image, affixe

a) Définition
Soit le plan \mathcal{P} muni d'un repère orthonormé.
  • z est associé à M. (M image de z et z affixe de M)
  • z est associé à \vec{OM} (z affixe de \vec{OM})


b) Propriétés des affixes
  • Affixe de \vec{MM_1} : z_1-z
  • Aff(\vec{V}+\vec{V_1})\,=\,Aff(\vec{V})+Aff(\vec{V_1})
  • Aff(\lambda\vec{V})\,=\lambda Aff\vec{V}
  • Milieu : z_I=\frac{z_A+z_B}{2}
  • Barycentre : \vec{OG}=\frac{\alpha\vec{OA}+\beta\vec{OB}+\gamma\vec{OC}}{\alpha+\beta+\gamma}

3) Module d'un complexe

a) Définition
  • |z| = OM
  • |z| = \sqrt{z\bar{z}}
  • |z| = \sqrt{\mathcal{R}e^2+\mathcal{I}m^2}


b) Propriétés
Propriété Démonstration
|z| = 0\,\Longleftrightarrow\,z=0 Cela va de soit mini_bn
|zz_1| = |z|\times|z_1| \sqrt{zz_1\times\bar{zz_1}}=\sqrt{z\bar{z} \times z_1\bar{z_1}}=|z|\times|z_1|
|\bar{z}| = |z| \sqrt{\bar{z}\bar{\bar{z}}}=\sqrt{z\bar{z}}=|z|
|\frac{1}{z}| = \frac{1}{|z|} z\times\frac{1}{z}
|\frac{z}{z_1}| = \frac{|z|}{|z_1|} z\times\frac{1}{z}
|\mathcal{I}m|\,\leq\,|z| |\mathcal{R}e|\,\leq\,|z| D'après pytagore
|z-z_1|=MM_1
Inégalité triangulaire : \forall(z,z_1)\in\mathbb{C}^2\,\,|z+z_1|\leq|z|+|z_1| |z+z_1|=|z|+|z_1|\,ssi\,(\exists k\in\mathbb{R}_+ \,\, z=kz_1)\,ou \,z=0



4) Arguments d'un complexe (\neq\,0)

a) Définitions

b) Propriétés

c) Notation exponentielle
Formule de moivre
Fomule d'Euler
5) Ensemble \mathbb{U} des complexes de modules 1

a) Définition
b)

II] Applications des nombres complexes

1) Addition et différence de 2 exponentielles de module 1

a)
b)
2) Linéarisation

a)
b)
c)
3) Autres formules de trigonométrie


Vous pouvez télécharger ce cours en entier. (scan des pages du cours) Télécharger ce cours.



         
                           

Commentaires

#3386 Le 17/09/08 à 19h58» aaaa a dit :
Dommage que ça soit plein de fautes

Ajouter un commentaire



3+4 = ?


  BNcode  |   Module de Math

Ailleurs sur la Bnbox

Ailleurs sur la Toile

Mini-tchat

?

Etiennefen@ yahoo.com.au proclame : C'est un art de raconter mais difficile acomprendres quand c'est cousin de fautes d'ortographe. Aujourd'hui, 0h34 via Résumé - Les Fourberies De ...

TheSamKing griffonne : Yo yo yooooooo Hier, 17h21 via Résumé - Les Fourberies De ...

TheSamKing tergiverse : Yo yo yooooooo Hier, 17h21 via Résumé - Les Fourberies De ...

coucou chuchote : ça va bien ? :-) Le 18 janvier, 16h30 via Résumé scène par scène - Le...

coucou scribouille : Salut tout le monde. Le 18 janvier, 16h27 via Résumé : Le Tartuffe de Mol...

kakhsks griffonne : Ksgdkrhfkdhdj Le 17 janvier, 17h20 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

Benoît #Komandir murmure : Salut les frr Le 16 janvier, 15h00 via Accueil

benoit scribouille : Je suis un cancre Le 16 janvier, 14h59 via Accueil

jawad déclame : 9a7ba Le 16 janvier, 14h59 via Accueil

Benoît #Komandir proclame : C'qui griffonne? ROBIN T MORT Le 16 janvier, 14h59 via Accueil

Benoît #Komandir déclare : J'vais te tuer Le 16 janvier, 14h53 via Accueil

benoit griffonne : Bandouuu Le 16 janvier, 14h51 via Accueil

Benoît #Komandir scribouille : T'es qui ? :'( Le 16 janvier, 14h47 via Accueil

Benoît #Komandir tergiverse : Coucou Le 16 janvier, 14h42 via Accueil

jawad écrit : Wsh Le 16 janvier, 14h42 via Accueil

soumia s'exclame : Robin t'es bete Le 16 janvier, 14h40 via Accueil

Bnmaster déclame : Il reste des petits bugs sur le forum. Le 16 janvier, 9h44 via Accueil

Bnmaster déclame : Mini-tchat réparé :-) Le 16 janvier, 9h44 via Résumé du livre : Le Cid de...

gloriacodjiovoie@gmail.com gribouille : J'ai lu de livre en médecin Le 13 janvier, 13h23 via Texte intégral - Le Médecin...

59 c les falanpin murmure : J'ai travaillé, révisé lu, des résumés j'ai eu 8.5/20 le français serre vraiment à rien ,j'ai compris le livre je vois pas qu'est ce que je peux faire d'autre Le 12 janvier, 22h04 via Fiches sur les personnages ...

pas moi écrit : Est ce que cette pièce est tragique? Le 11 janvier, 15h05 via Résumé du livre : Le Cid de...

Bnmaster écrit : Petit souci dans le mini-tchat en ce moment... un F5 est nécessaire tant que je n'aurais pas réglé le souci. Désolé >< Le 11 janvier, 9h09 via Résumé scène par scène - Le...

moliere lover tergiverse : J'adore Molière Le 10 janvier, 0h32 via Résumé : L'Avare

johnnysquade gribouille : La promesse de l'aube Le 09 janvier, 18h17 via Romain Gary : La Promesse d...

piou5 s'exclame : Cc sa vas Le 09 janvier, 10h40 via Résumé scène par scène - Le...

piu déclare : Cc Le 08 janvier, 18h45 via Résumé scène par scène - Le...

7 dit : 7 Le 08 janvier, 17h14 via Résumé : Andromaque

EARL chuchote : Salut Le 08 janvier, 17h04 via Résumé : Andromaque

EARL gribouille : Salut Le 08 janvier, 17h04 via Résumé : Andromaque

EARL déclare : Salut Le 08 janvier, 17h04 via Résumé : Andromaque

EARL chuchote : Salut Le 08 janvier, 17h04 via Résumé : Andromaque

Anonimous écrit : Merci c'est trop cool pour ce resumé Le 08 janvier, 16h06 via Résumé - Les Fourberies De ...

$ chuchote : 10 Le 08 janvier, 15h34 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

coucou gribouille : Salut Le 07 janvier, 11h21 via Résumé : Le Tartuffe de Mol...

lkj dit : Yuty Le 05 janvier, 18h22 via Résumé - Les Fourberies De ...

Juldu75 déclame : Abau nez vous a ma chène mrdrigzou officiel mersi les amies Le 04 janvier, 21h20 via Fiches sur les personnages ...

Couci couca bafouille : Coucou Le 04 janvier, 13h41 via Résumé scène par scène - Le...

BRRFRFRFRT s'exclame : TRES BON cite tt sorte de livre a chercher pour en faire de s resume comme moi jai eu besoin de faire un resumer je suis parti directement sur ce site

franchement merci beaucoup
Le 04 janvier, 13h32 via Résumé - Les Fourberies De ...

bouh écrit : Salut les gens Le 03 janvier, 14h46 via Résumé : Andromaque

bouh déclame : Salut les gens Le 03 janvier, 14h46 via Résumé : Andromaque

bouh tergiverse : Salut les gens Le 03 janvier, 14h46 via Résumé : Andromaque

bouh déclame : Salut les gens Le 03 janvier, 14h35 via Résumé : Andromaque

bouh griffonne : Salut les gens Le 03 janvier, 14h35 via Résumé : Andromaque

acemi murmure : Je savais pas qu'il fallais faire F5 pour voir mon message désolé Le 02 janvier, 21h04 via Résumé scène par scène - Le...

acemi scribouille : Sa va????? Le 02 janvier, 21h03 via Résumé scène par scène - Le...

acemi écrit : Sa va????? Le 02 janvier, 21h03 via Résumé scène par scène - Le...

acemi gribouille : Sa va????? Le 02 janvier, 21h03 via Résumé scène par scène - Le...

acemi gribouille : Sa va????? Le 02 janvier, 21h01 via Résumé scène par scène - Le...

acemi s'exclame : Coucou Le 02 janvier, 20h19 via Résumé scène par scène - Le...

Le Con ;D dit : Il é supèr le résumer mai du cou c tro facil Le 02 janvier, 18h04 via Résumé scène par scène - Le...

Publicité



©Bnbox (Infos) - Cahier de l'élèves - Atelier webmaster - Boîte à Nuts - Bar à Nougat - Plus ou moins valide XHTML 1.0, CSS 2, RSS 2.0
Flux RSS