La Bnbox !

Créateur de sourires...

Mon compte

S'inscrire

Recherche

Vous êtes ici : Accueil » Cahier de l'élève » Mathématiques » Math : Nombres Complexes - PCSI

Cahier de l'élève



« Article précédent - Sommaire - Article suivant »

Mathématiques : Math : Nombres Complexes - PCSI

Vous pouvez télécharger ce cours en entier. (scan des pages du cours) Télécharger ce cours.

Corps \mathbb{C} des nombres complexes

1) Rappels : Opérations dans \mathbb{C}

Il arrive qu'une équation n'est pas de solutions dans un ensemble donné. (par exemple : x\,+\,3\,=\,5 n'a pas de solutions dans \mathbb{N} d'où la création de l'ensemble \mathbb{Z}. D'où l'existence d'un ensemble \mathbb{C})
a) On admet qu'il existe un ensemble de nombres appelés : nombres imaginaires noté \mathbb{C} tel que :
\forall z\in\mathbb{C} \,\, \exists ! (x;y) \in \mathbb{R}^2 \,\, z=x+iy
Partie réel : \mathcal{R}e_z=x
Partie imaginaire : \mathcal{I}m_z=x
Avec i^2=-1\,
b) \mathbb{C} est muni de 2 opérations (loin de composition interne) l'addition et la soustraction.
L'addition est commutative, associative, possède un symétrique, et \mathbb{C} possède un élément neutre pour l'addition. (CANS) De plus, la multiplication est associative, distributive, possède un symétrique et \mathbb{C} possède un élement neutre pour l'addition.
Ainsi (\mathbb{C},\,+,\,\times) est un corps. (commutatif car la multiplication est commutative.)

c) Conjugaison
\bar{z}=\mathcal{R}e-i\mathcal{I}m\,\,n\in\mathbb{R}
On a donc comme propriété :
  • \bar{z+z_1}=\bar{z}+\bar{z_1}
  • \bar{zz_1}=\bar{z}\times\bar{z_1}
  • \bar{\bar{z}}=z
  • \bar{z^n}=\bar{z}^n
  • z+\bar{z}=2\mathcal{R}e_z
  • z-\bar{z}=2i\mathcal{I}m_z

1) Image, affixe

a) Définition
Soit le plan \mathcal{P} muni d'un repère orthonormé.
  • z est associé à M. (M image de z et z affixe de M)
  • z est associé à \vec{OM} (z affixe de \vec{OM})


b) Propriétés des affixes
  • Affixe de \vec{MM_1} : z_1-z
  • Aff(\vec{V}+\vec{V_1})\,=\,Aff(\vec{V})+Aff(\vec{V_1})
  • Aff(\lambda\vec{V})\,=\lambda Aff\vec{V}
  • Milieu : z_I=\frac{z_A+z_B}{2}
  • Barycentre : \vec{OG}=\frac{\alpha\vec{OA}+\beta\vec{OB}+\gamma\vec{OC}}{\alpha+\beta+\gamma}

3) Module d'un complexe

a) Définition
  • |z| = OM
  • |z| = \sqrt{z\bar{z}}
  • |z| = \sqrt{\mathcal{R}e^2+\mathcal{I}m^2}


b) Propriétés
Propriété Démonstration
|z| = 0\,\Longleftrightarrow\,z=0 Cela va de soit mini_bn
|zz_1| = |z|\times|z_1| \sqrt{zz_1\times\bar{zz_1}}=\sqrt{z\bar{z} \times z_1\bar{z_1}}=|z|\times|z_1|
|\bar{z}| = |z| \sqrt{\bar{z}\bar{\bar{z}}}=\sqrt{z\bar{z}}=|z|
|\frac{1}{z}| = \frac{1}{|z|} z\times\frac{1}{z}
|\frac{z}{z_1}| = \frac{|z|}{|z_1|} z\times\frac{1}{z}
|\mathcal{I}m|\,\leq\,|z| |\mathcal{R}e|\,\leq\,|z| D'après pytagore
|z-z_1|=MM_1
Inégalité triangulaire : \forall(z,z_1)\in\mathbb{C}^2\,\,|z+z_1|\leq|z|+|z_1| |z+z_1|=|z|+|z_1|\,ssi\,(\exists k\in\mathbb{R}_+ \,\, z=kz_1)\,ou \,z=0



4) Arguments d'un complexe (\neq\,0)

a) Définitions

b) Propriétés

c) Notation exponentielle
Formule de moivre
Fomule d'Euler
5) Ensemble \mathbb{U} des complexes de modules 1

a) Définition
b)

II] Applications des nombres complexes

1) Addition et différence de 2 exponentielles de module 1

a)
b)
2) Linéarisation

a)
b)
c)
3) Autres formules de trigonométrie


Vous pouvez télécharger ce cours en entier. (scan des pages du cours) Télécharger ce cours.



         
                           

Commentaires

#3386 Le 17/09/08 à 19h58» aaaa a dit :
Dommage que ça soit plein de fautes

Ajouter un commentaire



3+4 = ?


  BNcode  |   Module de Math

Ailleurs sur la Bnbox

Ailleurs sur la Toile

Mini-tchat

?

Janeen proclame : Online casino games
slot online
casinos online
online casino games
online casino games
Hier, 14h16

petitchat gribouille : Facile Le 20 juin, 13h06 via Unités SI, conversion des m...

College Charles Péguy dit : J'etudie cette piece de théatre avec mess 6eme de beauvoir Le 11 juin, 21h45 via Résumé - Les Fourberies De ...

cc déclare : Cc Le 04 juin, 17h59 via Résumé scène par scène - Le...

Marius Okoko déclame : J'aime L'histoire. Le 31 mai, 16h23 via Utiliser le module Math de ...

kk écrit : 0. Le 30 mai, 16h15 via Résumé du livre : Le Cid de...

JUIELJD E griffonne : KDOEKNCZF£2 Le 30 mai, 14h56 via Résumé scène par scène - Le...

Tamagochi chuchote : -.../---/-./.---/---/..-/.-. Le 29 mai, 14h45 via Apprendre le Morse

lea83 écrit : Jihohio bafouille t'as deux ans d'age mentale ou quoi mdrr Le 27 mai, 15h36 via Résumé du livre : Le Cid de...

lea83 déclame : Cc Le 27 mai, 15h35 via Résumé du livre : Le Cid de...

Jacky chuchote : WSH SAHRTEK LES BABEKS Le 25 mai, 10h16 via Résumé scène par scène - Le...

Jacky gribouille : Ongles, manucure Le 25 mai, 10h16 via Résumé scène par scène - Le...

mimilechat dit : 4+3=7 Le 23 mai, 13h01 via Résumé - Les Fourberies De ...

céline murmure : 3+4=7 Le 20 mai, 15h08 via Résumé - Les Fourberies De ...

expert des bouquins murmure : Jene Le 17 mai, 11h34 via Résumé scène par scène - Le...

le Mathématicien de l'extreme déclare : A Le 17 mai, 11h33 via Résumé scène par scène - Le...

le Mathématicien de l'extreme bafouille : A Le 17 mai, 11h33 via Résumé scène par scène - Le...

le Mathématicien de l'extreme déclame : A Le 17 mai, 11h33 via Résumé scène par scène - Le...

le Mathématicien de l'extreme chuchote : A
a
a
a
a
a
Le 17 mai, 11h33 via Résumé scène par scène - Le...

le Mathématicien de l'extreme scribouille : Je pense que la question etait d'une facilité extreme Le 17 mai, 11h32 via Résumé scène par scène - Le...

totor écrit : Bonjour. Le 15 mai, 21h17 via Résumé scène par scène - Le...

Bnmaster gribouille : @Geek Salut. Merci pour tes remarques. N'hésite pas à préciser si tu vois des manques dans les résumés. Je peux les modifier bn_wink Le 14 mai, 9h06 via Résumé du livre : Le Cid de...

la chevre normande murmure : D Le 13 mai, 15h43 via Résumé scène par scène - Le...

la chevre normande proclame : D Le 13 mai, 15h43 via Résumé scène par scène - Le...

la chevre normande proclame : D Le 13 mai, 15h43 via Résumé scène par scène - Le...

la chevre normande s'exclame : D Le 13 mai, 15h43 via Résumé scène par scène - Le...

la chevre normande s'exclame : D Le 13 mai, 15h43 via Résumé scène par scène - Le...

la chevre normande proclame : D Le 13 mai, 15h43 via Résumé scène par scène - Le...

la chevre normande s'exclame : D Le 13 mai, 15h43 via Résumé scène par scène - Le...

la chevre normande s'exclame : D Le 13 mai, 15h43 via Résumé scène par scène - Le...

la chevre normande proclame : D Le 13 mai, 15h43 via Résumé scène par scène - Le...

la chevre normande dit : D Le 13 mai, 15h43 via Résumé scène par scène - Le...

la chevre normande s'exclame : D Le 13 mai, 15h43 via Résumé scène par scène - Le...

la chevre normande griffonne : D Le 13 mai, 15h43 via Résumé scène par scène - Le...

la chevre normande déclame : D Le 13 mai, 15h42 via Résumé scène par scène - Le...

la chevre normande déclare : D Le 13 mai, 15h42 via Résumé scène par scène - Le...

la chevre normande dit : D Le 13 mai, 15h42 via Résumé scène par scène - Le...

la chevre normande griffonne : H Le 13 mai, 15h42 via Résumé scène par scène - Le...

la chevre normande dit : K Le 13 mai, 15h42 via Résumé scène par scène - Le...

la chevre normande scribouille : Tres instructif les r Le 13 mai, 15h42 via Résumé scène par scène - Le...

fany chuchote : 3+4=7 Le 10 mai, 12h05 via Histoire

^^l chuchote : Lll Le 09 mai, 14h03 via Résumé scène par scène - Le...

bahi scribouille : Trop facile mdrr Le 08 mai, 15h28 via Résumé scène par scène - Le...

Geek gribouille : Ou alors lisez tout simplement la pièce de théâtre ! Le 06 mai, 18h37 via Résumé scène par scène - Le...

Geek s'exclame : Ou alors lisez tout simplement la pièce de théâtre ! Le 06 mai, 18h37 via Résumé scène par scène - Le...

Geek bafouille : Si vous venez ici, car vous n'avez pas lu le livre, je ne vous conseille pas de tricher sur ce site.
Les résumés ne sont pas complet.
Prenez plutôt des résumés plus détaillés
Le 06 mai, 18h36 via Résumé scène par scène - Le...

la mere scribouille : Rien Le 04 mai, 17h12 via Résumé du livre : Le Cid de...

cece dit : Vous faite quoi ?? Le 04 mai, 7h07

Licorne écrit : Super sympa se que vous faite Le 26 avril, 18h42 via Résumé - Les Fourberies De ...

Nimabbbhhhhhh proclame : Pamale Le 21 avril, 11h10 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

Publicité



©Bnbox (Infos) - Cahier de l'élèves - Atelier webmaster - Boîte à Nuts - Bar à Nougat - Plus ou moins valide XHTML 1.0, CSS 2, RSS 2.0
Flux RSS