Calculer l'intégrale suivante :
Eléments de réponse
- Commencez par vérifier que cette intégrale est bien intégrable.
- Ensuite, faites un changement de variables.
- Il ne reste plus qu'à décomposer en éléments simples... Et c'est là que ça se complique. Bon courage ;)
Réponse
- Intégrabilité : Le seul problème est en , donc posons où tend vers 0.
Alors
Donc en effectuant un DL (ordre 1) de , on voit que cette fonction converge. Donc elle est intégrable sur
- Changement de variable avec donc . On a alors :
- Et là deux solutions s'offrent à nous, soit on fait la décomposition en éléments simples avec pleins de calculs, soit on décompose en réels, ce qui allège un peu les calculs. Je détaille ci-dessous le début de la première méthode, puis rapidement la deuxième.
[liste_s]Cherchons les racines du dénominateur :
Donc
Il ne reste plus qu'à trouver les quatre constantes de la décomposition en éléments simples.[/liste_s]
[liste_s]On décompose en réel :
On doit donc trouver quatre constantes :
On peut remarquer que et
On remplace, on développe et on trouve : et [/liste_s]
- Reste à calculer I... On pose : . On a : . On a alors :
Sachant que :
En terminant les calculs et en prenant les deux parties de l'intégrales, on obtient :
Cet exercice peut s'avérer délicat à certains endroits, et ce qui est exposé ici est la démarche générale, sans entrer dans les détails. Si vous avez un problème à un endroit de la résolution, vous pouvez poser vos questions sur le
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