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Grandes écoles : Centrale PSI 2000 - Exercice d'oral [Série entière, Equation différentielle]

Enoncé



Soit la suite (a_{n}) définie par récurrence par :

\left\{ a_{0}\,=\,1\\a_{1}\,=\,1\\a_{n+1}\,=\, a_{n} \,+\, 2 \frac {a_{n-1}}{n+1} \,\, \forall n \ge 1\\\right.

1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière : \sum_{n=0}^{+\infty} a_{n}x^{n}.

2. Déterminer la somme de cette série (on pourra s'aider d'une équation différentielle).

Méthode de résolution




1.
  • Essayer de conjecturer le résultat au brouillon en passant à la limite dans le critère de d'Alembert. On doit conjecturer R=1.
  • Essayer de trouver un encadrement de a_{n} qui permettra de trouver le R conjecturé précédemment. Pour cela, minorer a_{n} par 1, ce qui est intuitif. Puis raisonner par récurrence pour majorer a_{n} par n^{2} (moins intuitif, mais n^{2} est la première puissance de n qui passe bien à la récurrence).
  • En déduire un encadrement sur R, ce qui permet de conclure.



2.
  • Poser f(x)\,=\,\sum_{n=0}^{+\infty} a_{n}x^{n}.
  • Calculer f'(x). Faire apparaître par changement d'indice a_{n+1} puis utiliser la relation de récurrence. (Faire attention aux intervalles de variation de n)
  • On obtient une équation différentielle du premier ordre, homogène, à coefficients non constants. Il faut calculer une primitive obtenue par décomposition en éléments simples pour la résoudre. Puis on utilise les conditions initiales pour déterminer entièrement la solution.



Solution




Pour simplifier les calculs par la suite et éviter les problèmes d'indice, on peut poser : a_{-1}\,=\,0.


1.
On doit trouver R\,=\,1.
L'encadrement de a_{n} nous donne d'une part que la série de terme général a_{n}x^{n} a un rayon de convergence inférieur ou égal à celui de la série de terme général x^{n} (i.e. 1). D'autre part que ce rayon est supérieur ou égal à celui de la série de terme général n^{2}x^{n} (égal lui aussi à 1 par le critère de d'Alembert).

Attention ! Ne pas majorer trop brutalement pendant le raisonnement par récurrence, mais plutôt raisonner par équivalences.


2.
On obtient l'équation différentielle suivante :
f'(x)\,-\, \frac{1+2x}{1-x}f(x)\,=\,0

On doit calculer la primitive de \frac{1+2x}{1-x}. On décompose cette fraction en éléments simples de la forme : \frac{1+2x}{1-x}\,=\, \alpha \,+\, \frac{\beta}{1-x}.
On trouve  \alpha \,=\, -2 et  \beta \,=\, 3, ce qui permet de calculer la primitive, et de terminer la résolution de l'équation.

Finalement, on trouve :  f(x) \,=\, \frac {\exp(-2x)}{(1-x)^{3}}, ce qui est la somme demandée.


Cet exercice peut s'avérer délicat à certains endroits, et ce qui est exposé ici est la démarche générale, sans entrer dans les détails. Si vous avez un problème à un endroit de la résolution, vous pouvez poser vos questions sur le Bar à Nougat.

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