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Concours - Grandes écoles

ENSI PSI - Exercice d'oral [Développement limité]

  • Auteur : Bnmaster
  • Créé le : 28/05/2008
  • Modifié le : 22/06/2012
Effectuer un développement limité à l'ordre 4, au voisinnage de \pi / 4 de : f(x) = \tan(x)^{\tan(2x)}


Eléments de réponse
Les calculs sont vraiment bourrins, donc il faut foncer en essayant de simplifier au maximum et en cherchant des petites astuces.

  • f(x) = \tan(x)^{\tan(2x)} = e^{\tan(2x)\ln(\tan(x))}
  • On connait un DL de la fonction tangente à 0, mais pas à \pi / 4, donc on va poser : x = \frac{\pi}{4} - \epsilon (où on fait tendre \epsilon vers 0)
  • Rappelons que, au voisinage de 0 : \tan(x) = x + \frac{x^3}{3} + o(x^4)
  • Le DL de \tan(2x) est relativement simple en utilisant les formules d'addition de cosinus et sinus.
  • On peut faire le DL de tangente, puis de sinus, mais il y a une astuce qui consiste à remarque que : \ln(\tan(x))' = \frac{-2}{\cos(2 \epsilon)}; Ce DL est bien plus simple à calculer et il ne reste plus qu'à en chercher la primitive.
  • Il ne reste "plus" qu'à calculer le DL de l'exponentielle.

On obtient le résultat final à l'ordre 4 : f(x) = e^{-1}(1 + \frac{2}{3} \epsilon^2 + \frac{4}{5} \epsilon^4 + o(\epsilon^4))

Merci à mat pour avoir dégoté une erreur sur le dl de tangente. Si jamais le résultat était encore faux, c'est désormais sa responsabilité :p