La Bnbox !

Créateur de sourires...

Mon compte

S'inscrire

Recherche

Vous êtes ici : Accueil » Cahier de l'élève » Physique-Chimie » Equation de la Chaleur

Cahier de l'élève



« Article précédent - Sommaire

Physique-Chimie : Equation de la Chaleur

Introduction



Nous allons voir dans cet article comment établir une "équation de la chaleur", ou "équation de diffusion". Evidemment, on ne se place pas dans le cas général, ce qui serait trop complexe. On va prendre des hypothèses simplificatrices.

Niveau : Bac +2 environ

Prérequis :
  • Cours sur le premier principe de la Thermodynamique
  • Cours sur la diffusion thermique, et au moins sur la loi de Fourier
  • Notions sur les bilans et les opérateurs en physique (divergence, gradient, laplacien)



Hypothèses de travail :
  • Le flux d'Energie thermique est unidimensionnel (on choisira de dire que l'énergie thermique se diffuse suivant l'axe Ox du repère cartésien usuel).
  • Le vecteur densité volumique de courant d'énergie thermique (ou vecteur densité de flux thermique) est invariant suivant 2 directions de l'espace (on choisira ici les directions y et z du repère cartésien usuel).

Etablissement de l'équation



Etablir l'équation de la chaleur est assez simple, finalement, puisqu'il s'agit tout simplement d'appliquer le premier principe de la Thermodynamique à un système choisi.

En général, on choisit un cylindre de section S, et de longueur dx, situé entre les abscisses x et x+dx.
Je vous propose de regarder le schéma suivant, et de vous y reporter au fur et à mesure du raisonnement.

http://la-bnbox.info/document/cahier/dessin_equachaleur.png


On considère donc ce cylindre, et on va faire un bilan de ce qui se passe au niveau énergétique pour ce cylindre entre t et t+dt.
Le premier principe de la thermodynamique affirme que pour ce cylindre :
dU \,=\, \delta W \, + \, \delta Q
où :
  • \delta W est le travail élémentaire des forces qui s'exercent sur le cylindre.
  • \delta Q est le transfert thermique élémentaire échangé par le cylindre avec l'extérieur.
  • dU est la variation d'énergie interne du cylindre entre t et t+dt.


Reste à évaluer chacun des termes.

Le travail


C'est le plus facile. Puisque le cylindre est au repos macroscopique, et que les forces de pression ne travaillent pas, le travail élémentaire \delta W est nul.

L'énergie interne


On est dans le cas d'une diffusion dans un matériau quelconque. On est donc en présence d'une phase condensée, que l'on suppose idéale. En notant C sa capacité thermique massique, \rho sa masse volumique, et V son volume, on sait qu'on a : dU \,=\, \rho VCdT.
(dT étant une variation de température.)

Ici la température dépend du temps et de l'espace donc on passe en notation de dérivées partielles. (Ici le problème est uniquement mathématique, pour éviter des problèmes d'homogénéité par la suite).
De plus V \,=\, Sdx.
Ce qui nous donne : dU \,=\, \rho SdxdtC \frac{\partial T}{\partial t}.

Le transfert thermique


En toute logique, le transfert thermique correspond à la différence entre l'énergie qui entre dans le cylindre et celle qui en sort.
Or on sait qu'on obtient la puissance thermique par le flux thermique.
On obtient donc le transfert thermique par la différence entre le flux thermique entrant et le flux thermique sortant.
Le flux thermique est nul à travers la surface latérale du cylindre par le produit scalaire qui le définit. (\iint \vec j \, . \, d \vec S)

Reste le flux à travers les faces circulaires.

Résumons tout ce qu'on vient de dire :

\delta Q \,=\,( \Phi_{e} \,-\, \Phi_{s} )\,dt

Reste à calculer les flux entrant et sortant. C'est là qu'il faut suivre sur le schéma.
On a : \Phi_{e} \,=\, \iint \vec j(x,t) \, . \, d \vec S
Et puisque le flux est uniforme sur une section du cylindre, et qu'on oriente d \vec S dans le même sens que \vec j(x,t), l'intégration donne : \Phi_{e} \,=\, j(x,t)S

On suit exactement le même raisonnement pour le flux sortant :
\Phi_{s} \,=\, \iint \vec j(x+dx,t) \, . \, d \vec S
Ce qui donne \Phi_{s} \,=\, j(x+dx,t)S.

On a donc :
\delta Q \,=\,S( j(x,t) \,-\, j(x+dx,t))\,dt
On passe alors en notation de dérivées partielles :

\delta Q \,=\,-S \frac{\partial j(x,t)}{\partial x}\,dxdt

Equation de la chaleur


Reste à réunir tous les bouts du bilan qu'on a fait :
-S \frac{\partial j(x,t)}{\partial x}\,dxdt \, = \, \rho SdxdtC \frac{\partial T}{\partial t}.

Soit :
- \frac{\partial j(x,t)}{\partial x} \, = \, \rho C \frac{\partial T}{\partial t}.

C'est ici qu'intervient la loi de Fourier :  \vec j \,=\, - \lambda \vec{grad} T, où \lambda est la conductivité thermique du matériau.
Dans le cas unidimensionnel où l'on se trouve, cette loi de Fourier projetée sur l'axe Ox s'écrit :  j(x,t)= -\lambda \frac{ \partial T}{\partial x}

Cela permet de faire disparaître j de l'équation précédente, et d'obtenir l'équation aux dérivées partielles suivante, appelée l'équation de la chaleur, ou équation de diffusion :

 \frac{\partial T}{\partial t} \, = \, \frac{\lambda}{\rho C} \frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}}




         
                           

Ailleurs sur la Bnbox

Ailleurs sur la Toile

Mini-tchat

?

Calvin gribouille : Free casino games and poker
casino games list
casino games real money
casino g
Aujourd'hui, 2h00 via Accueil

Rachele dit : Online casino slots
casino online usa
casino online gambling
casino games
Hier, 19h50 via Accueil

booba déclame : 7 Hier, 19h12 via Résumé : La Guerre de Troie...

Javier écrit : Casino games roulette
new usa online casinos
casino g
casino online
Hier, 13h47 via Accueil

Lorna griffonne : Online casino slots
top rated free online casino games
best online casino games free
best online casino games free
Hier, 13h37 via Accueil

lolilol écrit : Ca fait 7 Le 19 avril, 11h07 via Résumé du livre : Le Cid de...

sltje suis scribouille : Slt je suis nouvelle sur ce sit esque vous pouver medir si se cite eet bien Le 16 avril, 10h01 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

Latzo 109 écrit : Slt comme rooro l a dit c est pas le bn site mais moi aussi je joue a Fortnite mn compte c est PlayerSarro.
BYE
Le 15 avril, 22h23 via Résumé du livre : Le Cid de...

Jasmin griffonne : She said she probably dealt with the stress with a "bad attitude" in the office,
before she quit in August 2014 because she "couldn't go on it anymore. Wells fargo login online wells fargo banking login wells fargo identity theft login Dealers using REV Financial Services may also have access to Wells Fargo CDF's digital tool customer online management system (COMS). Nevertheless, buoyed by higher probability of your deal, the analyst raised his valuation range to $18. Sign in wells fargo wells fargo login wells fargo auto login Could stricter sanctions follow, maybe even a criminal investigation.
Le 14 avril, 21h33

587564 griffonne : 3+4=7 Le 14 avril, 18h51

92000 scribouille : Trop facile Le 12 avril, 10h36 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

Okee25 bafouille : La réponse est 7 car 1+1+1(3)+1+1+1+1(4)=7.
C'est une logique mathématiques qui revient le plus souvent au classe de CP et GS.
Le 08 avril, 13h08 via Résumé scène par scène - Le...

milena bafouille : ùùmm Le 02 avril, 16h13 via Résumé - Les Fourberies De ...

sdefef" griffonne : Savazf Le 30 mars, 22h58 via Texte intégral - Le Médecin...

linabourhrou écrit : Bonjour Le 30 mars, 13h14 via Résumé - Les Fourberies De ...

Sora dit : Merci j'ai aussi un control tout à l'heure Le 26 mars, 8h09 via Résumé - Les Fourberies De ...

yoan déclare : Lol Le 25 mars, 21h01 via Résumé - Les Fourberies De ...

IKG murmure : GO Le 24 mars, 18h57 via Résumé : L'Avare

Canada griffonne : Qui aime la POUTINE Le 23 mars, 18h45 via Résumé scène par scène - Le...

Vladimir Poutine dit : Essaye Le 23 mars, 18h44 via Résumé scène par scène - Le...

Kim Jong Hun scribouille : Attention je vais envoyer un missile thermo-nucléaire Le 23 mars, 18h44 via Résumé scène par scène - Le...

Mac Gyver scribouille : Bon écoutez faut s'barrer d'ici donnez moi un trombone Le 23 mars, 18h41 via Résumé scène par scène - Le...

Don Diegue proclame : Je suis déshonoré Le 23 mars, 18h39 via Résumé scène par scène - Le...

Anonymous2.0 écrit : Wsh y a u bot Le 23 mars, 18h39 via Résumé scène par scène - Le...

bOTbUG dit : COPY/SITE/ROOM Le 23 mars, 18h38 via Résumé scène par scène - Le...

Yoo0Thy dit : Grace a se cite j ai remonter ma moyenne de 2 ptns franchement merci au createur de se cite merci beaucoup Le 18 mars, 14h32 via Résumé - Les Fourberies De ...

Bnmaster murmure : @Anonymous C'est un moyen simple de se prémunir contre les bots postant (au mieux) de la publicité. Le 16 mars, 12h56 via Résumé : Andromaque

Anonymous 2.0 chuchote : 3+4 est = à 7? Je ne comprend pas pourquoi ils ont mit ça.. Le 15 mars, 16h14 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

* dit : Que font les personnage les personnage dans cette scene 1 Le 13 mars, 17h58 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

* déclare : Rien Le 13 mars, 17h56 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

* griffonne : Je fait 555555 Le 13 mars, 17h55 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

marius déclame : Slt qui joue a last day on earth ? Le 12 mars, 19h57 via Résumé - La Chèvre De M. Se...

marius déclare : C trop bête Le 12 mars, 19h53 via Résumé - La Chèvre De M. Se...

marius s'exclame : Fastoche Le 12 mars, 19h44 via Résumé - La Chèvre De M. Se...

555555 gribouille : 3+4=7
sa va ?
Le 09 mars, 9h30 via Résumé - Les Fourberies De ...

louis s'exclame : Sklt Le 08 mars, 18h38 via Résumé scène par scène - Le...

louis klepak proclame : Salut les gars Le 08 mars, 18h38 via Résumé scène par scène - Le...

lol déclame : 3+4=7 Le 08 mars, 12h07 via Résumé - Les Fourberies De ...

rooro726bf s'exclame : Ca m'a aidé pour ma disertation Le 08 mars, 10h49 via Résumé du livre : Le Cid de...

rooro726bf déclare : Mais sinon très bien le résumé Le 08 mars, 10h49 via Résumé du livre : Le Cid de...

rooro726bf proclame : Ouais je sais que c'est pas le bon site mais si vous voulez jouer avec moi sur fortnite sur xbox one s mon pseudo c'est DemonZero61721 Le 08 mars, 10h44 via Résumé du livre : Le Cid de...

rooro726bf s'exclame : 7 Le 08 mars, 10h43 via Résumé du livre : Le Cid de...

rooro726bf griffonne : 7 Le 08 mars, 10h43 via Résumé du livre : Le Cid de...

nbh scribouille : 7 Le 07 mars, 19h53 via Résumé scène par scène - Le...

5OP s'exclame : 9RT788TY67 Le 07 mars, 17h20 via Résumé - La Chèvre De M. Se...

Mi écrit : Les gars vous me sauvez merci? Le 05 mars, 23h38 via Résumé scène par scène - Le...

Amisko chuchote : Ohh !!! Grace a vous uje sort de la gualere parceque je 'ai pas lu mon livre que je devait lire pour les petit vacance mtn !!OMG ce site est vraiment incroyab els!!! Le 04 mars, 19h20 via Résumé : L'Avare

Amisko écrit : Jadore !!! Oh.. Un père noel !!! Le 04 mars, 19h19 via Résumé : L'Avare

lili scribouille : J'aime beaucoup cette pièce, et elle est encore mieux quand on la joue tout les jours! Le 03 mars, 10h20 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

l gribouille : F Le 27 février, 21h11 via La Compagnie du Saint-Sacre...

Publicité



©Bnbox (Infos) - Cahier de l'élèves - Atelier webmaster - Boîte à Nuts - Bar à Nougat - Plus ou moins valide XHTML 1.0, CSS 2, RSS 2.0
Flux RSS