La Bnbox !

Créateur de sourires...

Mon compte

S'inscrire

Recherche

Vous êtes ici : Accueil » Cahier de l'élève » Physique-Chimie » Equation de la Chaleur

Cahier de l'élève



« Article précédent - Sommaire

Physique-Chimie : Equation de la Chaleur

Introduction



Nous allons voir dans cet article comment établir une "équation de la chaleur", ou "équation de diffusion". Evidemment, on ne se place pas dans le cas général, ce qui serait trop complexe. On va prendre des hypothèses simplificatrices.

Niveau : Bac +2 environ

Prérequis :
  • Cours sur le premier principe de la Thermodynamique
  • Cours sur la diffusion thermique, et au moins sur la loi de Fourier
  • Notions sur les bilans et les opérateurs en physique (divergence, gradient, laplacien)



Hypothèses de travail :
  • Le flux d'Energie thermique est unidimensionnel (on choisira de dire que l'énergie thermique se diffuse suivant l'axe Ox du repère cartésien usuel).
  • Le vecteur densité volumique de courant d'énergie thermique (ou vecteur densité de flux thermique) est invariant suivant 2 directions de l'espace (on choisira ici les directions y et z du repère cartésien usuel).

Etablissement de l'équation



Etablir l'équation de la chaleur est assez simple, finalement, puisqu'il s'agit tout simplement d'appliquer le premier principe de la Thermodynamique à un système choisi.

En général, on choisit un cylindre de section S, et de longueur dx, situé entre les abscisses x et x+dx.
Je vous propose de regarder le schéma suivant, et de vous y reporter au fur et à mesure du raisonnement.

http://la-bnbox.info/document/cahier/dessin_equachaleur.png


On considère donc ce cylindre, et on va faire un bilan de ce qui se passe au niveau énergétique pour ce cylindre entre t et t+dt.
Le premier principe de la thermodynamique affirme que pour ce cylindre :
dU \,=\, \delta W \, + \, \delta Q
où :
  • \delta W est le travail élémentaire des forces qui s'exercent sur le cylindre.
  • \delta Q est le transfert thermique élémentaire échangé par le cylindre avec l'extérieur.
  • dU est la variation d'énergie interne du cylindre entre t et t+dt.


Reste à évaluer chacun des termes.

Le travail


C'est le plus facile. Puisque le cylindre est au repos macroscopique, et que les forces de pression ne travaillent pas, le travail élémentaire \delta W est nul.

L'énergie interne


On est dans le cas d'une diffusion dans un matériau quelconque. On est donc en présence d'une phase condensée, que l'on suppose idéale. En notant C sa capacité thermique massique, \rho sa masse volumique, et V son volume, on sait qu'on a : dU \,=\, \rho VCdT.
(dT étant une variation de température.)

Ici la température dépend du temps et de l'espace donc on passe en notation de dérivées partielles. (Ici le problème est uniquement mathématique, pour éviter des problèmes d'homogénéité par la suite).
De plus V \,=\, Sdx.
Ce qui nous donne : dU \,=\, \rho SdxdtC \frac{\partial T}{\partial t}.

Le transfert thermique


En toute logique, le transfert thermique correspond à la différence entre l'énergie qui entre dans le cylindre et celle qui en sort.
Or on sait qu'on obtient la puissance thermique par le flux thermique.
On obtient donc le transfert thermique par la différence entre le flux thermique entrant et le flux thermique sortant.
Le flux thermique est nul à travers la surface latérale du cylindre par le produit scalaire qui le définit. (\iint \vec j \, . \, d \vec S)

Reste le flux à travers les faces circulaires.

Résumons tout ce qu'on vient de dire :

\delta Q \,=\,( \Phi_{e} \,-\, \Phi_{s} )\,dt

Reste à calculer les flux entrant et sortant. C'est là qu'il faut suivre sur le schéma.
On a : \Phi_{e} \,=\, \iint \vec j(x,t) \, . \, d \vec S
Et puisque le flux est uniforme sur une section du cylindre, et qu'on oriente d \vec S dans le même sens que \vec j(x,t), l'intégration donne : \Phi_{e} \,=\, j(x,t)S

On suit exactement le même raisonnement pour le flux sortant :
\Phi_{s} \,=\, \iint \vec j(x+dx,t) \, . \, d \vec S
Ce qui donne \Phi_{s} \,=\, j(x+dx,t)S.

On a donc :
\delta Q \,=\,S( j(x,t) \,-\, j(x+dx,t))\,dt
On passe alors en notation de dérivées partielles :

\delta Q \,=\,-S \frac{\partial j(x,t)}{\partial x}\,dxdt

Equation de la chaleur


Reste à réunir tous les bouts du bilan qu'on a fait :
-S \frac{\partial j(x,t)}{\partial x}\,dxdt \, = \, \rho SdxdtC \frac{\partial T}{\partial t}.

Soit :
- \frac{\partial j(x,t)}{\partial x} \, = \, \rho C \frac{\partial T}{\partial t}.

C'est ici qu'intervient la loi de Fourier :  \vec j \,=\, - \lambda \vec{grad} T, où \lambda est la conductivité thermique du matériau.
Dans le cas unidimensionnel où l'on se trouve, cette loi de Fourier projetée sur l'axe Ox s'écrit :  j(x,t)= -\lambda \frac{ \partial T}{\partial x}

Cela permet de faire disparaître j de l'équation précédente, et d'obtenir l'équation aux dérivées partielles suivante, appelée l'équation de la chaleur, ou équation de diffusion :

 \frac{\partial T}{\partial t} \, = \, \frac{\lambda}{\rho C} \frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}}




         
                           

Ailleurs sur la Bnbox

Ailleurs sur la Toile

Mini-tchat

?

jaja tergiverse : Nnnnnnnnnnnn Le 19 avril, 11h38 via Résumé : La Guerre de Troie...

jaja déclare : Pigjh Le 19 avril, 11h38 via Résumé : La Guerre de Troie...

aliou super saiyan white scribouille : Hi, ls gars cmmnt aller vous? Le 18 avril, 20h49

jhbgyvfvxesryv dit : Génial !!! Le 17 avril, 15h05 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

fnhjyj(jy gribouille : Corniche Le 09 avril, 15h46 via Résumé scène par scène - Le...

ZEDAKA scribouille : N Le 07 avril, 13h42 via Résumé - Les Fourberies De ...

wawa bafouille : Bonjour Le 07 avril, 12h09 via Le personnage mythologique ...

mimine dit : Mdrrr Le 04 avril, 19h43 via Résumé : La Guerre de Troie...

NOOB gribouille : Bonjour je voudrai savoir le ton que doit pendre la fleche au IIIscene svp Le 02 avril, 20h04 via Texte intégral - L'Avare de...

R?elalàal déclame : Sa fait 7 Le 31 mars, 20h24 via Résumé - Les Fourberies De ...

gzhgz scribouille : Bonsoir paris Le 25 mars, 19h33 via Résumé scène par scène - Le...

kim proclame : J'ai une questions: est ce que rodrigue et chimène font passer l'honneur avant tout dans la scène 3 actes3 Le 25 mars, 14h46 via Résumé scène par scène - Le...

kim gribouille : Lol Le 25 mars, 14h44 via Résumé scène par scène - Le...

BELAMIFAN38 chuchote : Coucou les amis je suis un fan du roman Bel-ami Le 18 mars, 10h37 via Fiches sur les personnages ...

7 écrit : Tout ça est faux Le 17 mars, 15h16 via Résumé : L'Avare

mmm bafouille : Dd Le 14 mars, 19h28 via Fiches sur les personnages ...

uyftè bafouille : Bonsoir Le 12 mars, 8h21 via Fiches sur les personnages ...

Demetrius gribouille : Download fortnite crack Le 11 mars, 23h00

???????? proclame : Ce livre est bien Le 11 mars, 13h21 via Résumé - Les Fourberies De ...

???????? bafouille : Je me sair pour mon devoir de école Le 11 mars, 13h17 via Résumé - Les Fourberies De ...

lulu dit : Bonjour Le 10 mars, 21h31 via Résumé - Les Fourberies De ...

La fan du CID murmure : La gifle est donnée à Don Diegue par le Compte car le Compte juge que ça aurait dû être lui le gouverneur du prince ( vers ? ) Le 06 mars, 18h03 via Résumé scène par scène - Le...

La fan du Cod chuchote : Le page est un jeune servant qu'on les nobles et qui les suit partout ( une sorte de chien quoi ) Le 06 mars, 18h01 via Résumé scène par scène - Le...

youredese gribouille : Bonjour Le 03 mars, 12h59 via Résumé scène par scène - Le...

choco déclare : Qui d'éclanche la gifle citer le vers? Le 25 février, 17h36 via Résumé scène par scène - Le...

choco déclare : Qui est Page Le 25 février, 17h18 via Résumé scène par scène - Le...

choco écrit : Salut c'est moi choco Le 25 février, 17h17 via Résumé scène par scène - Le...

qsdfghjklm* chuchote : Resume du livre naissance du fa Le 20 février, 17h43 via Recherche

yo proclame : Yo yo Le 17 février, 20h54 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

eva scribouille : Qu el qu un a un resume sur le voyage de mr perrichon ? Le 11 février, 18h38 via Fiches sur les personnages ...

evalol déclare : 1a2z Le 11 février, 18h36 via Résumé - Les Fourberies De ...

sysy s'exclame : Quelqun a un resume des evenements importants ds bel ami? Le 11 février, 1h38 via Fiches sur les personnages ...

jojolerigolo tergiverse : Qui est a Léon Blum Le 10 février, 18h00 via Politique d'accessibilité

tom s'exclame : Bonjour Le 09 février, 13h39 via Résumé scène par scène - Le...

dams chuchote : Et dams lithopedion Le 02 février, 11h08 via Résumé scène par scène - Le...

dams écrit : Qui et votre rapeure prefere ou chanteure moi DAMSO DAMSO DAMSO DAMSO DAMSO c'est cqfd !! Le 02 février, 11h07 via Résumé scène par scène - Le...

dams dit : Bonjour Le 02 février, 11h05 via Résumé scène par scène - Le...

dams déclame : Elle et bien mais c'est notre prof de francais quoi qui nous demande de la faire Le 02 février, 11h05 via Résumé scène par scène - Le...

Laura.lly gribouille : BONJOUR Le 01 février, 21h00 via Résumé scène par scène - Le...

juliaaaaaa griffonne : HEYYYY!!Vous allez bien? Le 31 janvier, 18h47 via Résumé scène par scène - Le...

maelys griffonne : Le cid en soit n est pas si mal c'est juste qu il est compliqué a comprendre j ai un oral a faire devant toute ma classe et j ai a peux pres compris Le 31 janvier, 16h11 via Résumé scène par scène - Le...

leane écrit : Et le je travail sur le cid je comprend rien sa me soule Le 30 janvier, 14h51 via Résumé scène par scène - Le...

leane dit : Moi jai fait les fourberie de scapin lannee derniere quand jetais en 5eme Le 30 janvier, 14h51 via Résumé scène par scène - Le...

Charlienette déclare : Nan .. je hurle la Le 30 janvier, 9h58 via Résumé - Les Fourberies De ...

Charlienette chuchote : Je murmure pas ! Le 30 janvier, 9h58 via Résumé - Les Fourberies De ...

Charlienette murmure : JE l'ai demain Le 30 janvier, 9h58 via Résumé - Les Fourberies De ...

Charlienette griffonne : Vous avez déjà fait un cibtrole sur les fourberies de scapin acte 2 ? Le 30 janvier, 9h58 via Résumé - Les Fourberies De ...

Charlienette déclame : Coucou Le 30 janvier, 9h57 via Résumé - Les Fourberies De ...

lkjhgfds chuchote : Coucou Le 28 janvier, 20h43 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

kikoudu73 écrit : Octogone Le 28 janvier, 14h30 via Fiches sur les personnages ...

Publicité



©Bnbox (Infos) - Cahier de l'élèves - Atelier webmaster - Boîte à Nuts - Bar à Nougat - Plus ou moins valide XHTML 1.0, CSS 2, RSS 2.0
Flux RSS