Equation de la Chaleur

Auteur :DarKnight
Créé le :25/05/2008
Modifié le :27/09/2015

Introduction

Nous allons voir dans cet article comment établir une "équation de la chaleur", ou "équation de diffusion". Evidemment, on ne se place pas dans le cas général, ce qui serait trop complexe. On va prendre des hypothèses simplificatrices.

Niveau : Bac +2 environ

Prérequis :

Cours sur le premier principe de la Thermodynamique
Cours sur la diffusion thermique, et au moins sur la loi de Fourier
Notions sur les bilans et les opérateurs en physique (divergence, gradient, laplacien)

Hypothèses de travail :

Le flux d'Energie thermique est unidimensionnel (on choisira de dire que l'énergie thermique se diffuse suivant l'axe Ox du repère cartésien usuel).
Le vecteur densité volumique de courant d'énergie thermique (ou vecteur densité de flux thermique) est invariant suivant 2 directions de l'espace (on choisira ici les directions y et z du repère cartésien usuel).

Etablissement de l'équation

Etablir l'équation de la chaleur est assez simple, finalement, puisqu'il s'agit tout simplement d'appliquer le premier principe de la Thermodynamique à un système choisi.

En général, on choisit un cylindre de section $S$ , et de longueur $dx$ , situé entre les abscisses $x$ et $x+dx$ .
Je vous propose de regarder le schéma suivant, et de vous y reporter au fur et à mesure du raisonnement.

On considère donc ce cylindre, et on va faire un bilan de ce qui se passe au niveau énergétique pour ce cylindre entre $t$ et $t+dt$ .
Le premier principe de la thermodynamique affirme que pour ce cylindre :
$dU \,=\, \delta W \, + \, \delta Q$
où :

$\delta W$ est le travail élémentaire des forces qui s'exercent sur le cylindre.
$\delta Q$ est le transfert thermique élémentaire échangé par le cylindre avec l'extérieur.
$dU$ est la variation d'énergie interne du cylindre entre $t$ et $t+dt$ .

Reste à évaluer chacun des termes.

Le travail

C'est le plus facile. Puisque le cylindre est au repos macroscopique, et que les forces de pression ne travaillent pas, le travail élémentaire $\delta W$ est nul.

L'énergie interne

On est dans le cas d'une diffusion dans un matériau quelconque. On est donc en présence d'une phase condensée, que l'on suppose idéale. En notant $C$ sa capacité thermique massique, $\rho$ sa masse volumique, et $V$ son volume, on sait qu'on a : $dU \,=\, \rho VCdT$ .
( $dT$ étant une variation de température.)

Ici la température dépend du temps et de l'espace donc on passe en notation de dérivées partielles. (Ici le problème est uniquement mathématique, pour éviter des problèmes d'homogénéité par la suite).
De plus $V \,=\, Sdx$ .
Ce qui nous donne : $dU \,=\, \rho SdxdtC \frac{\partial T}{\partial t}$ .

Le transfert thermique

En toute logique, le transfert thermique correspond à la différence entre l'énergie qui entre dans le cylindre et celle qui en sort.
Or on sait qu'on obtient la puissance thermique par le flux thermique.
On obtient donc le transfert thermique par la différence entre le flux thermique entrant et le flux thermique sortant.
Le flux thermique est nul à travers la surface latérale du cylindre par le produit scalaire qui le définit. ( $\iint \vec j \, . \, d \vec S$ )

Reste le flux à travers les faces circulaires.

Résumons tout ce qu'on vient de dire :

$\delta Q \,=\,( \Phi_{e} \,-\, \Phi_{s} )\,dt$

Reste à calculer les flux entrant et sortant. C'est là qu'il faut suivre sur le schéma.
On a : $\Phi_{e} \,=\, \iint \vec j(x,t) \, . \, d \vec S$
Et puisque le flux est uniforme sur une section du cylindre, et qu'on oriente $d \vec S$ dans le même sens que $\vec j(x,t)$ , l'intégration donne : $\Phi_{e} \,=\, j(x,t)S$

On suit exactement le même raisonnement pour le flux sortant :
$\Phi_{s} \,=\, \iint \vec j(x+dx,t) \, . \, d \vec S$
Ce qui donne $\Phi_{s} \,=\, j(x+dx,t)S$ .

On a donc :
$\delta Q \,=\,S( j(x,t) \,-\, j(x+dx,t))\,dt$
On passe alors en notation de dérivées partielles :

$\delta Q \,=\,-S \frac{\partial j(x,t)}{\partial x}\,dxdt$

Equation de la chaleur

Reste à réunir tous les bouts du bilan qu'on a fait :
$-S \frac{\partial j(x,t)}{\partial x}\,dxdt \, = \, \rho SdxdtC \frac{\partial T}{\partial t}$ .

Soit :
$- \frac{\partial j(x,t)}{\partial x} \, = \, \rho C \frac{\partial T}{\partial t}$ .

C'est ici qu'intervient la loi de Fourier : $\vec j \,=\, - \lambda \vec{grad} T$ , où $\lambda$ est la conductivité thermique du matériau.
Dans le cas unidimensionnel où l'on se trouve, cette loi de Fourier projetée sur l'axe Ox s'écrit : $j(x,t)= -\lambda \frac{ \partial T}{\partial x}$

Cela permet de faire disparaître j de l'équation précédente, et d'obtenir l'équation aux dérivées partielles suivante, appelée l'équation de la chaleur, ou équation de diffusion :

$\frac{\partial T}{\partial t} \, = \, \frac{\lambda}{\rho C} \frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}}$

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