La Bnbox !

Créateur de sourires...

Mon compte

S'inscrire

Recherche

Vous êtes ici : Accueil » Cahier de l'élève » Mathématiques » Le raisonnement par analyse-synthèse

Cahier de l'élève



« Article précédent - Sommaire - Article suivant »

Mathématiques : Le raisonnement par analyse-synthèse

Introduction


Dans la série des "grosses méthodes de raisonnement" en mathématiques, je voudrais le petit frère...
Et oui, vous avez deviné, on va recommencer à raisonner ici, mais d'une manière encore différente.
Récapitulons... en Mathématiques, on distingue plusieurs types de raisonnement : le raisonnement direct, le raisonnement par récurrence, le raisonnement par l'absurde, et enfin le raisonnement par analyse-synthèse.

Il est un peu moins utilisé que ses grands frères, mais peut s'avérer très utile pour certaines démonstrations.

Mais alors qu'est-ce que tu attends ? Explique-nous !


Oui, oui, j'y viens j'y viens.

Principe



Je vais d'abord vous donner le principe global de la chose, puis j'expliquerai en détail avec un exemple imagé, et ensuite avec des vrais exemples mathématiques.

Supposons qu'on vous demande de démontrer quelque chose qui vous semble très compliqué au premier abord. Tellement que vous ne savez pas comment faire.
Le raisonnement par analyse-synthèse peut s'avérer une bonne solution. Il se déroule en 2 étapes :

L'Analyse : Supposez que ce que vous voulez démontrer est vrai, et cherchez des conditions nécessaires à satisfaire pour que cela puisse être vrai.

La Synthèse : Vérifiez si la chose qui vérifie ces conditions est bien solution du problème posé.

Bon, vu comme ça, c'est très abstrait bn_wink. Donc on va travailler sur des exemples assez simples : un exemple complètement hors du domaine des mathématiques, pour vous permettre de mieux appréhender le principe du raisonnement; et un autre exemple d'utilisation en mathématiques.

Exemples


Le BN géant

Un jour, on vous demande de prouver l'existence d'un BN au chocolat géant vivant !
A première vue, ça semble assez difficile à faire... Et vous n'avez aucune idée de la manière de procéder.
Alors procédons par Analyse-Synthèse !
  • Première partie, l'analyse : supposons qu'il existe un BN au chocolat géant vivant quelque part dans le monde.
    Si un BN de ce genre existe, il est évident qu'il vivra nécessairement loin de l'eau, parce qu'un BN dans l'eau devient tout mou et se dissous...
    Si ce type de BN existe, il se trouvera nécessairement loin des régions chaudes, sinon son chocolat fondrait et il disparaitrait bn_sad.
    Il sera aussi nécessairement loin des régions très froides, pour ne pas geler.

    Ces conditions nécessaires qu'on vient de trouver réduisent déjà notre champ de recherche. On sait que maintenant, le seul endroit où on peut trouver un BN de ce type, c'est en France.
    Mais la France c'est toujours assez grand. On va donc chercher d'autres conditions nécessaires encore plus restrictives.

    Un grand BN comme ça, ça a besoin de beaucoup de chocolat pour tenir ensemble... Ca doit donc vivre nécessairement près d'une chocolaterie, ou d'une biscuiterie.
    Et en plus, les BN sont créés à Nantes, donc forcément, le grand BN habite près de ses parents, donc près de Nantes.
    Ce qui nous amène directement à la conclusion que le BN géant habite dans la biscuiterie BN.

  • Deuxième partie, la synthèse : nous devons vérifier notre conclusion, c'est-à-dire que nous devons prendre le premier avion pour Nantes (ou le premier TGV bn_tongue), et nous rendre à la biscuiterie pour vérifier que le BN géant s'y trouve.
    Soit on le trouve, et on a bien prouvé qu'il existe.
    Soit on ne le trouve pas, et on a prouvé qu'il n'existe pas, puisqu'il n'est pas à l'endroit où il devait nécessairement être.


(Maintenant, eh bien je vous laisse aller vérifier par vous-même. bn_tongue)


Fonctions paires et impaires

Voici l'énoncé de l'exercice : Soit f une application définie sur \mathbb{R}. Montrer que f s'écrit d'une façon unique comme la somme d'une application paire et d'une application impaire (application est synonyme de fonction dans ce cas).

A première vue, et en essayant différentes méthodes, ce problème paraît difficile à résoudre. Il se peut même que vous n'y arriviez pas bn_tongue. Mais c'est normal.
Pour résoudre ce problème, il faut utiliser le raisonnement par analyse-synthèse.

Allez on est partis !

Première étape : L'Analyse

Soit f une fonction définie sur \mathbb{R}.
Supposons qu'il existe 2 fonctions, que l'on nommera p et i (p pour paire, et i pour impaire, un peu d'originalité bn_tongue), qui soient solution du problème, c'est-à-dire des fonctions telles que :

- p soit paire
- i soit impaire
- f soit la somme de ces deux fonctions, i.e. f \, = \, p \, + \, i

Traduisons ces 3 phrases : ces deux fonctions sont donc telles que :

 \forall x \in \mathbb{R} \, \left\{ \begin{array}{rcl} f(x) \, = \, p(x) \, + \, i(x) \\ p(-x) \, = \, p(x)\\ i(-x) \, = \, -i(x)\\ \end{array} \right.
Jusque là on n'a fait que traduire en rajoutant des x les 3 conditions vérifiées par i et p pour être solutions du problème.
Evidemment, pour l'instant, cela ne nous avance pas à grand chose.
Mais le principe de l'analyse-synthèse, comme pour l'exemple du BN géant, est d'affiner au maximum la recherche pour obtenir à la fin des conditions nécessaires suffisamment restrictives.

On va donc faire quelques petites manipulations sur les 3 "équations" obtenues.

Par exemple, cherchons f(-x). (Oui, j'avoue, il faut parfois faire preuve d'inventivité... Ca peut sembler tomber du ciel, mais au bout d'un moment, vous aurez pris l'habitude, et vous aurez un certain flair pour détecter ce qu'il faut faire.)

D'après les définitions des fonctions paires et impaires, on obtient :

 \forall x \in \mathbb{R} \, f(-x)  = \, p(-x) \, + \, i(-x)
   = \, p(x) \, - \, i(x) \,\,\, (1)


Or on sait qu'on a aussi :

 \forall x \in \mathbb{R} \, f(x)  = \, p(x) \, + \, i(x) \,\,\, (2)


On dispose donc des relations (1) et (2) ci-dessus.
Il faut maintenant en faire quelque chose. Et là, (oh miracle! bn_heureux) on remarque que si on fait la somme de ces deux relations, on aura disparition de la fonction i.
De même on voit que si on fait la différence des deux relations, ce sera la fonction p qui va disparaître.
La preuve :

 (1) \, + \, (2) \, \longrightarrow \forall x \in \mathbb{R} \,\, f(-x) \, + \, f(x) = \, p(x) \, + \, p(x) \, + \, i(x) \, - \, i(x)
= \, 2p(x)


D'où on en tire par simple division : \forall x \in \mathbb{R} \,\, p(x) \, = \, \frac{f(x) \, + \, f(-x)}{2}

D'autre part, on a :
 (1) \, - \, (2) \, \longrightarrow \forall x \in \mathbb{R} \,\, f(-x) \, - \, f(x) = \, p(x) \, - \, p(x) \, - \, i(x) \, - \, i(x)
= \, -2i(x)


D'où on en tire par une division et un petit changement de signe : \forall x \in \mathbb{R} \,\, i(x) \, = \, \frac{f(x) \, - \, f(-x)}{2}

Vous vous en doutez, après cela, on arrive bientôt à la fin de notre analyse... On a assez torturé les formules, et elles n'ont plus rien à nous dire.

Faisons donc une conclusion de l'analyse.
On sait que si f peut s'écrire comme une somme de deux fonctions, l'une paire et l'autre impaire, il est nécessaire que ces fonctions soient de la forme :
\forall x \in \mathbb{R} \,\, p(x) \, = \, \frac{f(x) \, + \, f(-x)}{2}
\forall x \in \mathbb{R} \,\, i(x) \, = \, \frac{f(x) \, - \, f(-x)}{2}
Ceci nous assure aussi que si ces fonctions existent, elles sont uniques (en effet, il n'y a qu'une seule fonction que l'on peut définir de telle manière).

On a bien avancé dans notre travail, et on a fait le plus dur.
Mais tout n'est pas terminé.


Deuxième étape : La Synthèse

Il reste à vérifier si les fonctions p et i trouvées sont bien solution du problème, c'est-à-dire que : p est paire, i est impaire, et f s'écrit comme la somme des deux.

Reprenons les fonctions p et i définies à la fin de notre analyse.
On a alors :
\forall x \in \mathbb{R} \,\, p(-x)  = \, \frac{f(-x) \, + \, f(-(-x))}{2}
   = \, \frac{f(-x) \, + \, f(x)}{2}
   = \, p(x)


D'où p est bien une fonction paire.

De plus:
\forall x \in \mathbb{R} \,\, i(-x)  = \, \frac{f(-x) \, - \, f(-(-x))}{2}
   = \, \frac{f(-x) \, - \, f(x)}{2}
   = \, -i(x)


D'où i est bien une fonction impaire.

Enfin, on a :
\forall x \in \mathbb{R} \,\, i(x) \, + \, p(x)  = \, \frac{f(x) \, - \, f(-x) \, + \, f(x) \, + \, f(-x)}{2}
   = \, \frac{2f(x)}{2}
   = \, f(x)


D'où on a bien  f \, = \, p \, + \, i .

Les 3 conditions de départ étant bien vérifiées par i et p, on en déduit que ces deux fonctions sont bien solution du problème posé. Donc que celui-ci admet bien une solution bn_tongue.

Donc : une fonction f étant donnée, il existe un unique couple de fonctions, l'une paire, l'autre impaire, telles que leur somme soit égale à f.

Et vous pouvez enfin mettre à la fin de votre copie le beau CQFD habituel. bn_wink

Conclusion



Je sais que vous pouvez trouver ça très étrange comme méthode de pensée. J'avoue que j'ai moi-même eu un peu de mal à m'y faire et à bien comprendre le principe.
Mais ne vous inquiétez pas. Comme d'habitude, la pratique amène une meilleure compréhension de la théorie. A force de faire ce type de raisonnements, vous finirez par bien le maîtriser bn_wink.






         
                           

Ailleurs sur la Bnbox

Ailleurs sur la Toile

Mini-tchat

?

Licorne écrit : Super sympa se que vous faite Aujourd'hui, 18h42 via Résumé - Les Fourberies De ...

Nimabbbhhhhhh proclame : Pamale Le 21 avril, 11h10 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

booba déclame : 7 Le 20 avril, 19h12 via Résumé : La Guerre de Troie...

lolilol écrit : Ca fait 7 Le 19 avril, 11h07 via Résumé du livre : Le Cid de...

sltje suis scribouille : Slt je suis nouvelle sur ce sit esque vous pouver medir si se cite eet bien Le 16 avril, 10h01 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

Latzo 109 écrit : Slt comme rooro l a dit c est pas le bn site mais moi aussi je joue a Fortnite mn compte c est PlayerSarro.
BYE
Le 15 avril, 22h23 via Résumé du livre : Le Cid de...

587564 griffonne : 3+4=7 Le 14 avril, 18h51

92000 scribouille : Trop facile Le 12 avril, 10h36 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

Okee25 bafouille : La réponse est 7 car 1+1+1(3)+1+1+1+1(4)=7.
C'est une logique mathématiques qui revient le plus souvent au classe de CP et GS.
Le 08 avril, 13h08 via Résumé scène par scène - Le...

milena bafouille : ùùmm Le 02 avril, 16h13 via Résumé - Les Fourberies De ...

sdefef" griffonne : Savazf Le 30 mars, 22h58 via Texte intégral - Le Médecin...

linabourhrou écrit : Bonjour Le 30 mars, 13h14 via Résumé - Les Fourberies De ...

Sora dit : Merci j'ai aussi un control tout à l'heure Le 26 mars, 8h09 via Résumé - Les Fourberies De ...

yoan déclare : Lol Le 25 mars, 21h01 via Résumé - Les Fourberies De ...

IKG murmure : GO Le 24 mars, 18h57 via Résumé : L'Avare

Canada griffonne : Qui aime la POUTINE Le 23 mars, 18h45 via Résumé scène par scène - Le...

Vladimir Poutine dit : Essaye Le 23 mars, 18h44 via Résumé scène par scène - Le...

Kim Jong Hun scribouille : Attention je vais envoyer un missile thermo-nucléaire Le 23 mars, 18h44 via Résumé scène par scène - Le...

Mac Gyver scribouille : Bon écoutez faut s'barrer d'ici donnez moi un trombone Le 23 mars, 18h41 via Résumé scène par scène - Le...

Don Diegue proclame : Je suis déshonoré Le 23 mars, 18h39 via Résumé scène par scène - Le...

Anonymous2.0 écrit : Wsh y a u bot Le 23 mars, 18h39 via Résumé scène par scène - Le...

bOTbUG dit : COPY/SITE/ROOM Le 23 mars, 18h38 via Résumé scène par scène - Le...

Yoo0Thy dit : Grace a se cite j ai remonter ma moyenne de 2 ptns franchement merci au createur de se cite merci beaucoup Le 18 mars, 14h32 via Résumé - Les Fourberies De ...

Bnmaster murmure : @Anonymous C'est un moyen simple de se prémunir contre les bots postant (au mieux) de la publicité. Le 16 mars, 12h56 via Résumé : Andromaque

Anonymous 2.0 chuchote : 3+4 est = à 7? Je ne comprend pas pourquoi ils ont mit ça.. Le 15 mars, 16h14 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

* dit : Que font les personnage les personnage dans cette scene 1 Le 13 mars, 17h58 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

* déclare : Rien Le 13 mars, 17h56 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

* griffonne : Je fait 555555 Le 13 mars, 17h55 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

marius déclame : Slt qui joue a last day on earth ? Le 12 mars, 19h57 via Résumé - La Chèvre De M. Se...

marius déclare : C trop bête Le 12 mars, 19h53 via Résumé - La Chèvre De M. Se...

marius s'exclame : Fastoche Le 12 mars, 19h44 via Résumé - La Chèvre De M. Se...

555555 gribouille : 3+4=7
sa va ?
Le 09 mars, 9h30 via Résumé - Les Fourberies De ...

louis s'exclame : Sklt Le 08 mars, 18h38 via Résumé scène par scène - Le...

louis klepak proclame : Salut les gars Le 08 mars, 18h38 via Résumé scène par scène - Le...

lol déclame : 3+4=7 Le 08 mars, 12h07 via Résumé - Les Fourberies De ...

rooro726bf s'exclame : Ca m'a aidé pour ma disertation Le 08 mars, 10h49 via Résumé du livre : Le Cid de...

rooro726bf déclare : Mais sinon très bien le résumé Le 08 mars, 10h49 via Résumé du livre : Le Cid de...

rooro726bf proclame : Ouais je sais que c'est pas le bon site mais si vous voulez jouer avec moi sur fortnite sur xbox one s mon pseudo c'est DemonZero61721 Le 08 mars, 10h44 via Résumé du livre : Le Cid de...

rooro726bf s'exclame : 7 Le 08 mars, 10h43 via Résumé du livre : Le Cid de...

rooro726bf griffonne : 7 Le 08 mars, 10h43 via Résumé du livre : Le Cid de...

nbh scribouille : 7 Le 07 mars, 19h53 via Résumé scène par scène - Le...

5OP s'exclame : 9RT788TY67 Le 07 mars, 17h20 via Résumé - La Chèvre De M. Se...

Mi écrit : Les gars vous me sauvez merci? Le 05 mars, 23h38 via Résumé scène par scène - Le...

Amisko chuchote : Ohh !!! Grace a vous uje sort de la gualere parceque je 'ai pas lu mon livre que je devait lire pour les petit vacance mtn !!OMG ce site est vraiment incroyab els!!! Le 04 mars, 19h20 via Résumé : L'Avare

Amisko écrit : Jadore !!! Oh.. Un père noel !!! Le 04 mars, 19h19 via Résumé : L'Avare

lili scribouille : J'aime beaucoup cette pièce, et elle est encore mieux quand on la joue tout les jours! Le 03 mars, 10h20 via Résumé - Le Médecin Malgrè ...

l gribouille : F Le 27 février, 21h11 via La Compagnie du Saint-Sacre...

Dionisio murmure : Merci Le 25 février, 17h42 via Résumé scène par scène - Le...

Bonjour bafouille : Cette pièce de théâtre est simplement NUL Le 23 février, 13h48 via Résumé : Le Mariage de Figa...

lolman dit : ZZzzZZZZZzzzzzZZzZzz Le 22 février, 17h24 via Résumé - Les Fourberies De ...

Publicité



©Bnbox (Infos) - Cahier de l'élèves - Atelier webmaster - Boîte à Nuts - Bar à Nougat - Plus ou moins valide XHTML 1.0, CSS 2, RSS 2.0
Flux RSS