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Cahier de l'élève



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Mathématiques : Division euclidienne ou divisibilité dans Z

I] Diviseurs et multiples d'un entier relatif

A) Définition

On dit que l'entier relatif b divise l'entier relatif a s'il existe un entier relatif q tel que : a=bq
q est le quotient exact de a par b. On dit aussi que b est un diviseur de a. Ou alors a est divisible par b. Ou a est un multiple de b.


Notation
Se note : b|a
Se prononce : "b divise a"

Exemple
-12\,=\,3\,\times\,(-4) Alors 3|-12, 3 divise -12.

Propriétés Soit n appartenant à \mathbb{N}^*
1) n a un nombre finit de diviseurs.
2) tout diviseur d plus grand que 0 de n, est tel que latex/pictures/math_993_66a7c185ff8f0287810a84ea2f4c2e18.png

Démonstration
Si d divise n, il existe un entier naturel k tel que : n=d*k
latex/pictures/math_990.5_5cd5e58f97c5929b0fd15b2ed44e2aa3.png
latex/pictures/math_992.5_b1c2753d7cbf11fe7bc4f2bcd3f4e2ff.png
latex/pictures/math_992.5_25ef3c7d416c88ad5f692e5982a1298d.png
latex/pictures/math_992.5_6a97de16d5d6617ae73d4edbb8a71da0.png
et n a, au plus, n diviseurs. (autrement dit, il y a un nombre finit de diviseurs de n dans N)

Remarques Soit a appartenant à Z
1) latex/pictures/math_990.5_b9d222d1b3c982db9db87c896654abef.png
Tout entier relatif admet au moins 4 diviseurs dans Z : a, 1, (-a) et (-1)
2) latex/pictures/math_992.5_d39d3f0d303f0991fc06eb6adc0581b5.png
Tout entier relatif a divise 0. (donc 0 admet une infité de diviseurs)
3) L'ensemble des multiples de a est : -(k+1)a;\,-ka;\,...;\,-2a~;\,-a;\,0;\,a;\,2a;\,ka;\,(k+1)a
(k appartenant à N*)
Si a=0 ensemble des multiples de 0 : {0} (c'est un singleton)
Si a=1 ensemble des multiples de 1 : Z

B) Propriétés

Soient a, b et c, trois entiers relatifs.
    1) La transitivité
Si a|b et b|c alors a|c
Démonstration
Hypothèses :
  • a|b <=> Il existe un entier relatif q tel que : b=aq
  • b|c <=> Il existe un entier relatif q' tel que : c=bq'

Alors c=aqq' or qq' appartientà Z, donc par définition : a|c

    2)
Si a|b alors ac|bc
Démonstration
Hypothèses :
  • a|b <=> Il existe un entier relatif q tel que : b=aq

Donc bc=acq
Alors ac|bc

    3)
Si a|b et a|c alors a|(b+c) et a|(b-c)
Plus généralement, pour tout entier relatif k et k' : a|(kb+k'b)

Démonstration
Hypothèses :
  • a|b <=> Il existe un entier relatif q tel que : b=aq
  • a|c <=> Il existe un entier relatif q' tel que : c=aq'

k et k' appartenant à Z on a :
kb + k'c = kaq + k'aq'
              = a(kq + k'q') avec (kq + k'q') appartient à Z
Alors a|(kb+k'c)
  • En prenant k=k'=1 : a|(b+c)
  • En prenant k=1 et k'=(-1) : a|(b-c)



II] Diviseurs euclidienne dans Z

A) Théorème

Soit a un entier relatif et b un entier naturel, b étant différent de 0.
Il existe un unique entier relatif q et un unique entier naturel r tel que :
\left\{\begin{array}{lll} a = b \times q + r\\0 \leq r<b\end{array}\right.


Démonstration
Considérons les multiples de b : -(k+1)b;\,-kb;\,...;\,-2b~;\,-b;\,0;\,b;\,2b;\,kb;\,(k+1)b
  • 1er cas : a est multiple de b.
    Selon la définition, il existe un entier relatif q unique tel que : a=bq et r=0
  • 2ème cas : a est compris entre 2 multiples de consécutifs de b.
    Il existe un entier relatif q unique tel que : latex/pictures/math_990.5_d327046de48da5eeb844fb9474f6534b.png
    Or b(q+1) = bq+b
    Alors : latex/pictures/math_993_0472b55fca3763058a262a424984a9f8.png
    Or a-bq=r
    On a alors : latex/pictures/math_992.5_1afa5c10c795d17352614dce9ef02ece.png
    Il existe donc un unique entier naturel r avec latex/pictures/math_993_127aedbc1ab9732b7cb854a2b7fc94c9.png


Définition
On dit qu'on a effectué la division euclidienne de a par b. Où q est le quotient et r le reste.

B) Propriétés
  • b|a <=> r=0
  • On peut étendre le théorèùe ou cas où b est un entier relatif :
    Il existe un entier relatif unique q et un entier naturel unique r tel que :
    [tex]\left\{\begin{array}{lll} a = b \times q + r\\0 \leq r<|b|\end{array}\right.[/math]


C) Remarques
  • latex/pictures/math_992.5_f5e9c971241ccd3c4a64f2c51e5f29ed.png  est une inégalité vraie mais ce n'est pas la division euclidienne de 21 par 5. (car 6>5)
  • Les restes possible d'un entier relatif a par un entier latex/pictures/math_993_58c1c8ac5fc5d6935f45843b1ea07b70.png  sont : 0, 1, 2, ..., b-1, ...
    Ainsi tout entier relatif a peut s'écrire :
    a=2k ou a=2k+1 (k appartenant à Z)
    a=3k'  ou a=3k'+1 ou a=3k'+2 (k' appartenant à Z)
    a=4k'' ou a=4k''+1 ou a=4k''+2 ou a=4k''+3 (k'' appartenant à Z)
  • Tout entier naturel n pair peut s'écrire : latex/pictures/math_992.5_ccde0c1a4b3e46b81e6276cfeba081db.png
    Tout entier naturel n impair peut s'écrire : latex/pictures/math_992.5_5c28a5e8f8350e632efe45811675495c.png



III] Algorythme d'Euclide et PGCD

A) Définition

Soient a et b, deux entiers naturels, non-nuls. Le plus grand diviseur commun à a et à b est appelé PGCD de a et de b. Il est noté : PGCD(a,b)

Conséquences
  • b|a\, \Longleftrightarrow \, PGCD(a,b)\,=\,b
  • PGCD(a,b)\, \Longleftrightarrow \, b|a

B) Lemme d'Euclide

Soient a et b, deux entiers naturels non-nuls. Si des entiers naturels a et r (r \neq 0) sont tels que : a=bq+r
Alors le PGCD de a et b est égale au PGCD de b et r. Soit : PGCD(a,b)\,=PGCD(b,r)


Démonstration
Soit d un diviseur commun à a et b, alors :
  • d divise a et d divise b. Donc d divise bq.
  • Alors d divise (a-bk)
  • Donc d divise r. Donc d est un diviseur commun à b et r.


Réciproque
Soit d' un diviseur commun à b et r, alors :
  • d' divise b et d' divise r. Donc d' divise bq.
  • Alors d' divise (bq+r)
  • Donc d' divise a. Donc d' est un diviseur commun à b et a.


Par conséquent, (a,b) et (b,r) ont les mêmes diviseurs, en particulier le même PGCD.

Exemple
Trouver le PGCD de 80 et 35.
  • On fait la division Euclidienne de 80 par 35 :
    80 = 35 x 2 + 10
    Or d'après le Lemme d'Euclide : PGCD(80,35) = PGCD(35,10)
  • On fait la division Euclidienne de 35 par 10 :
    35 = 10 x 3 + 5
    Alors PGCD(35, 10) = PGCD(10, 5)
  • De même :
    10 = 5 x 2 + 0
    Alors PGCD(10,5) = PGCD(5,0) Or 5 divise 0, donc PGCD(5,0) = 5

Donc : PGCD(80,35) = 5
C) Calcul du PGCD par l'algorythme d'Euclide


A suivre...





         
                           

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