ROC : Corolaire du théorème des valeurs intermédiaires
- Auteur : Bnmaster
- Créé le : 31/10/2005
- Modifié le : 27/09/2015
Théorème admis des Valeurs Intermédiaires
Abréviation : TVI
Ce théorème est nécessaire pour démontrer le corolaire du TVI, mais sa démonstration n'est pas exigible.
Ce théorème est nécessaire pour démontrer le corolaire du TVI, mais sa démonstration n'est pas exigible.
Soit une fonction définie et continue sur I.
Soit a et b, deux réels de I.
Pour tout réel k compris entre et , il existe un réel L compris entre a et b tel que
Exemple
Soit l'équationLa fonction est définie et continue sur . (car ) En particulier, elle est continue sur
Comme , d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet au moins une solution c dans l'intervalle
Corolaire du théorème des Valeurs Intermédiaires
C'est ce corolaire qu'il faut savoir démontrer.
Si est une fonction continue et strictement monotone (monotone : Soit croissante tout le temps, soit décroissante tout le temps.) sur un intervalle alors pour tout réel k compris entre et , l'équation admet une solution unique dans l'intervalle
On dit que réalise/effectue une bijection (ou encore : est une bijection) de l'intervalle sur l'intervalle ou .
Démonstration à connaître
Existence d'une solutionL'existence d'une solution c dans de l'équation est assurée par le théorème des valeurs intermédiaires puisque est continue sur l'intervalle .
Unicité de la solution
Raisonnons par l'absurde.
Supposons qu'il existe une autre valeur de l'intervalle appelé c' tel que : avec .
On a alors
Puisque est strictement monotone et on a :
- soit
- soit
Donc l'hypothèse de départ est fausse, donc . D'où l'unicité de la solution.
Conclusion
L'équation admet une seule et unique solution sur .
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