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Cahier de l'élève



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Mathématiques : ROC : Suite croissante, non-majorée

Théorème


Si la suite U_n est croissante et non-majorée alors :
\lim_{n \rightarrow + \infty} U_n = + \infty

Démonstration en langage courant


La suite U_n n'est pas majorée signifie que : quelque soit le réel M, il existe un entier N tel que U_N \, > \, M

Puisque la suite U_N est croissante, alors il existe un entier naturel n \geq N tel que U_n \geq U_N
Par conséquent, quelque soit l'entier naturel n \geq N : U_n \geq M
Donc, pour tout réel M > 0 il existe un entier N tel que : quelque soit n \geq N\,\,U_n > M

Ce qui prouve bien que la limite quand n tend vers + \infty de U_n est + \infty.

Démonstration en langage mathématique


La suite U_n n'est pas majorée signifie que : \forall \in \mathbb{R} \,\, \exists N \in \mathbb{N} \,\, U_N > M

Puisque la suite U_N est croissante, alors \forall n \geq N \,\,\, U_n \geq U_N
Par conséquent \forall n \geq N \,\,\, U_n \geq M
Donc, \forall M > 0 \,\, \exists N \mathbb{N} \,\, (\forall n \geq N \,\,\, U_n > M)


Ce qui prouve bien que : \lim_{n \rightarrow + \infty} U_n = + \infty

Le symbôle \forall signifie "Quelque soit", "Pour tout".
Le symbôle \in signifie "appartient".
Le symbôle \exists signifie "il existe".
Ce sont des symbôles Mathématiques compréhensibles par les matheux des quatre coins de la planète bn_big_smile



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